脉冲切换系统有限时间稳定性分析与控制

柳 静，牛玉俊，王国欣

(南阳理工学院 数理学院， 河南 南阳 473004)

1 引言

脉冲是指系统运行过程中的一些变量于某一时刻的瞬时骤增或瞬时剧减，系统运行状态受这种短暂骤变的影响会很大变动，发生这种现象的系统被称为脉冲切换系统。脉冲切换系统能够同时准确地描述物体的运动状态和运动轨迹，被广泛应用与保密通讯、航空航天等新型领域，因此针对该系统的研究受到广泛关注。但在在实际应用中，当脉冲切换系统的初始条件在有限时间内比确定数小时，脉冲切换系统的状态不能超过给定阈值，所以提出有限时间稳定性。有限时间稳定性是在给定初始条件下，要求脉冲切换系统在一段特定时间内其状态保持在某特定区域内，令其满足众多实际应用的需求。分析有限时间稳定性时，脉冲切换系统的操作处理不受固定有限时间间隔的限制，其要求系统变量在指定范围内。因为实际应用中的脉冲切换系统变量必须处于界限内，所以有限时间稳定性具有理论与实际意义。本文结合平均停留时间与代数矩阵不等式法对脉冲切换系统的有限时间稳定性进行分析，并通过一些充分条件来保证一段特定时间区间内的脉冲切换系统状态始终在某个特定区域中，从而提升脉冲切换系统的稳定性。

2 脉冲切换系统有限时间稳定性分析与控制

2.1 脉冲系统切换规则

有限时间稳定性的影响因素主要为脉冲切换系统的暂态行为，通过求解微分方程组，解出脉冲切换系统的解，用于判断是否满足有限时间稳定的充分必要条件，只要系统符合其充分必要条件就能保证其有限时间稳定性。脉冲切换系统可以用以下方程表示：

(1)

式中，状态变量描述为()∈，=1…表示脉冲切换信号。

假设，…,为切换不稳定状态，+1，…,为切换稳定状态。若脉冲时间∈[，+1]，则激活第个子系统。脉冲切换次数描述为(，)，针对任意的正标量≥≥0，有：

(2)

式中，表示平均停留时间。因为，…,不稳定，+1，…,稳定，则有一系列正数，…，存在，能够保证-(≤)，+(>)稳定。基于上述公式求解结果，通过代数矩阵理论可得出如下系统的切换规则：

(3)

(4)

至此，通过求解微分方程组求得脉冲切换系统的解，并获得脉冲系统的切换规则，为有限时间稳定性的分析奠定基础。

2.2 脉冲切换系统的有限时间稳定性

在上述脉冲系统切换规则的基础上，分析有限时间稳定性，脉冲切换系统表示为：

(5)

‖()‖≤‖()‖

(6)

(7)

(8)

切换时刻描述为，，…，通过(=0，1，…)，∈[1，]描述切换信号在(，+1]内的值，=0。若∈(0，]，通过常微分方程理论得出()=，若∈(，+1]，系统切换次数(0，)=，可得：

(9)

若≥，即便全部子系统均不稳定，则(，)=0，可得：

‖()‖≤‖‖

(10)

并且(0，)=表示在(0，)上切换次数，得出：

(11)

根据上述计算，可知脉冲切换系统于任意平均停留时间下，具有有限时间稳定。

2.3 脉冲切换系统的有限时间稳定控制

通过上述脉冲切换系统的稳定性分析，设计一个有限时间保性能控制器，利用控制器缩短系统的收敛速度，从而提高有限时间稳定性。令其对应闭环系统是有限时间保性能控制，同时计算保性能控制界。

(12)

其中：

=(+)-++

(13)

并且切换信号()的平均逗留时间符合：

(14)

得出脉冲切换系统关于参数(，，，，，)为有限时间有界。对脉冲切换系统的一个有限时间稳定性控制界进行计算，得出：

(15)

因脉冲切换系统的参数是有限的，通过推导得出：

(16)

结合切换时刻所发生脉冲的影响进行计算可得：

(17)

为解决参数或选值不恰当导致的代数矩阵不等式无解的问题，脉冲切换系统若对∀∈有正实数，、非负实数，，，以及矩阵>0，>0，>0，2，>0，2，>0，记：

(18)

同时切换信号的平均逗留时间符合：

(19)

(20)

至此，完成控制器的设计与全部充分必要条件的有效性验证，完成脉冲切换系统的稳定控制。

3 实验分析

通过Matlab对脉冲切换系统进行仿真，通过子系统与子系统的切换研究脉冲切换系统的有限时间稳定性参数=02，脉冲切换系统的有限时间保性能控制器的参数=17，=09。通过脉冲切换系统分别在总时间1.2 s与1.5 s下的系统状态轨迹，分析其是否具有有限时间稳定性，结果如图1、图2所示。

图1 T=1.2 s的脉冲切换系统状态轨迹

图2 T=1.5 s的脉冲切换系统状态轨迹

通过图1可知，脉冲切换子系统、的状态轨迹在总时间为12 s的情况下均超过了有限时间的界，脉冲切换系统不是有限时间稳定的，而图2中，脉冲切换子系统、的状态轨迹在总时间为15 s的情况下均在有限时间的界内，显然此时脉冲切换系统是有限时间稳定的。

研究脉冲切换系统加入本文设计的有限时间保性能控制器后的同步误差与各系统同步状态变量，结果如图3、图4所示。

图3 加速控制器后系统的同步误差曲线

图4 加入控制器后各系统状态变量同步曲线

通过图3可知，在脉冲切换系统中加入本文设计的有限时间保性能控制器后，子系统、都于0.2 s内收敛至0点，脉冲切换系统趋于稳定状态由图4可以发现，在脉冲切换系统加入控制器后，子系统的状态变量在7 s后几乎完全同步，通过图3和图4可以证明本文设计的有限时间保性能控制器具有显著效果。。因为本文在设计控制器前，利用微分方程组计算了脉冲切换系统的解，并在有限时间有界的充分条件基础上进行设计，进一步缩短了计算时间，可以在非常短的时间内使系统趋于稳定状态。

4 结论

通过平均逗留时间方法得到脉冲切换系统有限时间有界的充分条件，在此基础上设计有限时间保性能控制器，同时利用代数矩阵不等式法验证条件的有效性，实现脉冲切换系统的稳定控制。根据实验结果，证明加入所设计的控制器后，可以在0.2 s内收敛至零点，系统趋于稳定状态，并且在7 s后子系统的状态变量几乎同步，进一步验证了可以在有限时间内快速实现系统的稳定控制。未来的研究重心为：① 放松脉冲切换系统的有限时间稳定性条件；② 根据目前的有限时间稳定性结果分析脉冲切换系统的跟踪问题。