关注核心 突破难点

董荣燕

重难点1 统计量（平均数、中位数、众数、方差）的计算、理解和应用

例1 （2021·陕西）今年9月，第十四届全国运动会将在陕西省举行。本届全运会主场馆在西安，开幕式、闭幕式均在西安举行。某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平均气温状况。他们收集了西安市近五年9月份每天的平均气温，并绘制成如下统计图：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）这60天的日平均气温的中位数为 ，众数为 ;

（2）求这60天的日平均气温的平均数;

（3）若日平均气温在18℃～21℃的范围内（包含18℃和21℃）为“舒适温度”。请预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数。

【解析】（1）求一组数据的中位数，先按大小顺序排列。若奇数个数，取中间位置数，若偶数个数，取中间两个数的平均数。60是偶数，取日平均气温排列后的第30、31个数据的平均数，即19.5℃。众数是数据中出现次数最多的数据，19℃共出现13次，最多，故众数为19℃。（2）根据加权平均数的定义列式计算，即[160]×（17×5+18×12+19×13+20×9+21×6+22×4+23×6+24×5）=20（℃）。（3）用样本中气温在18℃～21℃的范围内的天数所占比乘今年9月份的天数，即[12+13+9+660]×30=20（天）。

重难点2 数据的收集、整理与分析，根据统计图表计算、解释、分析数据中蕴含的信息

例2 城南中学九年级共有12个班，每班48名学生，学校对该年级学生数学学科学业水平测试成绩进行了抽样分析，请按要求回答下列问题：

【收集数据】（1）要从九年级学生中抽取一个48人的样本，你认为以下抽样方法中最合理的是 。①随机抽取一个班级的48名学生;②在九年级学生中随机抽取48名女学生;③在九年级12个班中每班各随机抽取4名学生。

【整理数据】（2）将抽取的48名学生的成绩进行分组，绘制成绩频数分布表和成绩分布扇形统计图如下。

九年级学生数学成绩频数分布表

[成绩（单位：分） 频数 频率 A类（80～100） 24 [12] B类（60～79） 12 [14] C类（40～59） 8 m D类（0～39） 4 [112] ]

请根据图表中数据填空：

①表中m的值為 ;

② B类部分的圆心角度数为 °;

③估计C、D类学生一共有 名。

【分析数据】（3）教育主管部门为了解学校学生成绩情况，将同层次的城南、城北两所中学的抽样数据进行对比分析，得到下表：

请你评价这两所学校学生数学学业水平测试的成绩，提出一个解释来支持你的观点。

【解析】数据的抽样要有广泛性和代表性。频数的和是样本容量，频率的和是1，[频数样本容量]=频率，频率×360°=圆心角度数。对数据的分析，要分析每个数据，根据分析结果提出观点，做到言之有据。

（1）③。（2）①[16]，②90，③144。（3）本题答案不唯一。城南中学成绩好，因为虽然平均数相同，但城南中学成绩的方差小，说明成绩波动小;或城北中学成绩好，因为虽然平均数相同，但城北中学成绩中A、B类的频率和大，说明优秀学生多。

重难点3  通过列表、画树状图、列举法等方法列出简单随机事件的所有等可能的结果，计算概率

例3 甲、乙、丙三人随机到学校餐厅就餐。

（1）若甲、乙两人随机到A、B、C餐厅就餐，求两人到同一餐厅就餐的概率;

（2）若甲、乙、丙三人随机到A、B餐厅就餐，求三人到同一餐厅就餐的概率。

【解析】（1）这是一个两步试验，假设第一步是甲到餐厅就餐，第二步是乙到餐厅就餐，所有等可能性的结果有（A，A）、（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，B）、（B，C）、（C，A）、（C，B）、（C，C），共9种，其中甲、乙到同一餐厅就餐的可能性有（A，A）、（B，B）、（C，C）3种，故概率是[13]。（2）这是一个三步试验，假设第一步甲到餐厅就餐，第二步乙到餐厅就餐，第三步丙到餐厅就餐，所有等可能性的结果有（A，A ，A）、（A，A ，B）、（A，B ，A）、（A，B，B）、（B，A ，A）、（B，A ，B）、（B，B，A）、（B，B ，B），共8种，其中甲、乙、丙到同一餐厅就餐的可能性有（A，A ，A）、（B，B ，B）2种，故概率是[14]。

（作者单位：江苏省南京市六合区横梁初级中学）