厘清概念关注结构重视应用

2022-02-16杨春霞

初中生世界·九年级 2022年2期

杨春霞

“锐角三角函数”属于“图形与几何”知识领域，是初中数学学习的重要内容。很多地方在考查时不仅要求我们会利用相似的直角三角形，认识并探索锐角三角函数，知道30°、45°、60°角的三角函数值，还要求能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。下面将结合2021年各地中考试题中的三角函数典型题进行分析，着力探寻试题特点，挖掘解题通法，并做分析解读，希望能给大家一些学习启示。

一、考查锐角三角函数的定义

例1 （2021·四川广元）如图1，在4×4的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在⊙O上，点E是线段CD与⊙O的交点，则∠BAE的正切值为。

【分析】本题以网格为背景，借助圆周角定理相关知识对锐角三角函数进行考查。由题意易得BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∠BAE=∠BDC，然后根据锐角三角函数定义可进行求解。

解：根据题意，得

BD=4，BC=2，∠DBC=90°。

∵∠BAE=∠BDC，

∴tan∠BAE=tan∠BDC=[BCBD]=[12]。

二、考查特殊角的锐角三角函数值

例2 （2021·内蒙古通辽）计算：（[12]）-1+（π-3）0-2cos30°+[3-12]。

【分析】本题考查了实数的计算，包含负整数指数幂、0指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，熟练掌握运算法则并熟记特殊角的三角函数值是解题关键。利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质，代入特殊角的三角函数值分别化简计算即可得出答案。

解：（[12]）-1+（π-3）0-2cos30°+[3-12]

=2+1-2×[32]+[23]-3=[3]。

三、考查锐角三角函数的综合应用

例3 （2021·广东清远）如图2，在Rt△ABC中，∠A=90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE=AB。

（1）若AE=1，求△ABD的周长;

（2）若AD=[13]BD，求tan∠ABC的值。

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、锐角三角函数的定义以及勾股定理等知识，掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解决本题的关键。第（1）问，作出BC的垂直平分线，连接BD，由垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DB=DC，由此即可求出△ABD的周长;第（2）问，可以设AD=x，则BD=3x，进而得到AC=AD+CD=4x，再由勾股定理表示AB=[22]x，由此即可求出tan∠ABC的值。

解：（1）如图3，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F。

∵DF为BC垂直平分线，

∴BD=CD。

C△ABD=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC。

∵AB=CE，

∴C△ABD=AE=1。

（2）设AD=x，则BD=3x，

∴AC=AD+CD=4x。

在Rt△ABD中，根据勾股定理，

得AB=[22]x，

∴tan∠ABC=[ACAB]=[4x22x]=[2]。

例4 （2021·新疆）如图4，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将△DAE按逆时针方向旋转得△DCF，连接EF，分別交BD、CD于点M、N。若[AEDN]=[25]，则sin∠EDM= 。

【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、方程思想等知识点，熟知各类图形的性质与判定是解题的基础，构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义是解题的关键。因此，本题可以过点E作EP⊥BD于点P，将∠EDM构造在直角三角形DEP中，设法求出EP和DE的长，然后用锐角三角函数的定义即可解决。

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥DC，

∠A=∠BCD=∠ADC=90°，

AB=BC=CD=DA=1，

∴BD=[2]。

∵△DAE绕点D逆时针旋转得到△DCF，

∴CF=AE，DF=DE，

∠CDF=∠ADE。

∴∠EDF=∠ADC=90°。

设AE=CF=2x，则DN=5x，

得BE=1-2x，CN=1-5x，BF=1+2x。

∵AB∥DC，