立足教材，反思与提升

戴成成

在数学学习中，有人会遇到“刷题千百遍，成绩不动如山”的现象，究其原因，主要还是没有用心去研究典型问题，做完练习后也没有进行反思。其实，我们遇到的很多问题都可以在教材中找到原型。如何跳出题海，立足教材，勤于反思？本文示例如下。

（苏科版数学教材九年级下册第115页问题3）如图1，为了测量停留在空中的气球高度，小明在某处利用测角仪测得气球的仰角（从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角）为 27°，然后他沿正对气球方向前进了 50m，再次测得气球的仰角为 40°。如果测角仪高度忽略不计，那么气球的高度是多少？（精确到0.1m）

教材是利用方程思想来解决这个问题的。方法1：假设气球的高度为xm，利用等量关系AD-BD=50，列出方程[xtan27°][-xtan40°]=50，进而求解。

思考1：本题有没有其他解法？既然是方程思想，不妨联想到七年级的一元一次方程和二元一次方程组，列方程的关键是要找到等量关系。本题等量关系有两个：一是Rt△ACD中的CD等于Rt△BCD中的CD，二是AD-BD=50。方法2：设BD长度为xm，方程为x·tan40°=（x+50）·tan27°，解出x的值，再通过Rt△BCD求出CD。方法3：设AD为xm，CD为ym，则方程组为[y=x·tan27°，y=（x-50）·tan40°，]解出x、y的值即可。

思考2：引入字母，可否将问题及结论一般化？若本题中27°、40°分别为α、β，50m为am，如图2，那么本题结论为CD=[a·tanα·tanβtanβ-tanα]，这样就得到一般化的结论。从特殊到一般，能提升我们的解题能力，培养我们的探究精神。

思考3：本题的解题思路是什么？又渗透了什么数学思想？先在斜三角形中构造直角三角形，再寻求CD与已知量的关系式，最后利用锐角三角函数计算得出CD的长度。所用的数学思想就是转化思想，具体说就是“化斜为直”，将斜三角形转化为直角三角形，进而寻求基本圖形，确定思考方向。我们在做题时不能凭感觉，要学会必要的联想，要看着目标，从条件联想，建立模型，解决问题。

思考4：本题有没有“基本图形”？如图2，将本题结论一般化后，出现了两个“共直角边”的直角三角形，此图可以作为“基本图形”，有同学将此称为“共边差”基本图形，将图3称为“共边和”基本图形。积累基本图形，会提供思考方向。

由感悟形成经验，通过回顾反思，升华成新经验，久而久之，数学素养随之提高。锐角三角函数的两个“基本图形”本质上是两个等量关系，运用方程思想便可轻松解决。但有些锐角三角函数问题并没有出现“共边”，而是满足其他“某种关系”，不过做法类似，这就需要我们通过反思来提升，进而形成新的经验。

（作者单位：江苏省南京市宏运学校）