以退为进：紧扣定义，抓住本质

陈小锋

华罗庚先生说过：“善于退，足够的退，退到最原始而不失去重要性的地方，这是学好数学的一个诀窍。”虽然与锐角三角函数相关的问题非常丰富，但只要同学们能紧扣定义，抓住本质，就能以不变应万变。

（苏科版数学教材九年级下册第113页问题1）如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α為30°，背水坡AD的坡度i（即tanβ）为1∶1.2，坝顶DC=2.5m，坝高4.5m。求：（1）背水坡AD的坡角β;（2）坝底AB的长。

【思路分析】解决水坝测量问题情境中坡角β的大小和坝底AB的长，需要作梯形ABCD的高CE、DF，构造出直角三角形，即可理解背水坡AD的坡度i（即tanβ）为1∶1.2。在Rt△AFD中，回归定义理解直角三角形锐角三角函数中的正切值是一个锐角的对边和邻边的比，假设邻边不变，锐角变大，对边增大，比值也会越来越大，具备单调性，即不同比值对应不一样的锐角度数，反之，不一样的锐角度数对应不同比值。问题中线段比（坡度i）对应锐角三角函数值，可确定坡角β的大小，并求出AF的长。对于坝底AB的长的计算，通过证明可得EF=CD，Rt△BEC中迎水坡BC的坡角α为30°，由锐角函数值对应线段比可求出BE的长，最终得出坝底AB的长。

【画龙点睛】著名数学家欧拉把三角函数看作线段之比，这种观点是数与形的巧妙结合。基于情境有助于厘清锐角三角函数与相关线段的关系，所以解决锐角三角函数的相关问题，关键在于回归定义，构造直角三角形，将锐角三角函数与所在直角三角形对应边的比进行转换，进一步可由部分已知条件得出某线段的长度或三角函数值及对应的锐角度数。

例1 （2021·甘肃武威）图2是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑。宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”。某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：

方案设计：如图3，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A、B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A、D、B在同一条直线上）。

数据收集：通过实地测量获知地面上A、B两点的距离为58m，∠CAD=42°，∠CBD=58°。

问题：求宝塔CD的高度（结果保留一位小数）。

参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60。

根据上述方案及数据，请你完成求解过程。

【思路分析】本题看似复杂，但只要根据问题情境构造直角三角形即可。设塔高CD=xm，在Rt△ACD中，根据定义可得出AD=[CDtan∠CAD]=[xtan42°]=[x0.9]。同理，在Rt△BCD中，可得BD=[CDtan∠CBD]=[xtan58°]=[x1.6]。再由AD+BD=AB，列式计算即可得出答案。

【画龙点睛】问题中AD和BD都是在理解定义的基础上，运用已知角的锐角三角函数值来确定，即将AD和BD用宝塔高CD表示，建构方程模型来解决问题。抓住定义也就抓住了本质。从以上问题的分析中不难发现，不论在怎样复杂的背景下，也不管命题人怎样巧思妙想，比如江苏南京2021年中考第21题隔河测量、江苏宿迁2021年中考第24题计算无人机飞行高度、江苏泰州2021年中考第21题游客目测山高等，只需回归定义，抓住本质，结合方程模型，皆可轻松解决。

例2 （2021·辽宁本溪）如图4，AB是半圆的直径，C为半圆的中点，A（2，0），B（0，1），反比例函数y=[kx]（x>0）的图像经过点C，则k的值为 。

【思路分析】本题会让不少同学产生困惑，无法正确求解，但如果能把锐角三角函数的定义真正理解消化并融会贯通，就会发现不一样的精彩。如图5，设半圆圆心为D，连接DC，过点C作CG⊥OA于点G，交AB于E，先求出tan∠BAO=[OBOA]=[12]，cos∠BAO=[OAAB]=[255]，sin∠BAO=[OBAB]=[55]。由于∠CDE=∠EGA=90°，∠CED=∠AEG，可得∠DCE=∠BAO，

所以tan∠BAO=tan∠DCE。在Rt△CDE中，

tan∠DCE=[DECD]，cos∠DCE=[CDCE]，求出DE=[54]，CE=[54]，AE=[54]。在Rt△AGE中，sin∠BAO=[GEAE]，cos∠BAO=[AGAE]，可得GE=[14]，AG=[12]，即得C点坐标求出k值。

【画龙点睛】解决本题的关键在于把三角函数值对应线段比的定义理解后融会贯通，妙用角相等，通过不断转化逐步求出相关线段的值，最后得解。

（作者单位：江苏省南京市江宁开发区学校）