知错纠错 追本溯源

段侠

锐角三角函数这一章要求我们能“认识锐角三角函数（sinA、cosA、tanA），知道30°、45°、60°角的三角函数值;能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题”。虽然这块知识在每年的中考中都是必考题，但在实际解题过程中我们又会出现各种各样的错误。下面老师列举部分典型错误，希望同学们引以为戒。

一、直角三角形是解题的前提

例1 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c，且a∶b∶c=3∶4∶5，求sinA、tanB的值。

【错解】设a=3k，b=4k，c=5k（k>0），

则sinA=[ac]=[3k5k]=[35]，tanB=[ba]=[4k3k]=[43]。

【错因分析】虽然结果是正确的，但对条件的解读不够，跳过了证明△ABC是直角三角形而直接解题，缺乏关键的解题步骤，从而无法获得满分。

【正解】设a=3k，b=4k，c=5k（k>0）。

∵a2+b2=（3k）2+（4k）2=25k2，

c2=（5k）2=25k2，

∴a2+b2=c2，

∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，

∴sinA=[ac]=[3k5k]=[35]，

tanB=[ba]=[4k3k]=[43]。

【总结】解直角三角形的前提是“在直角三角形中”，如果题目未出现直角三角形或未说明三角形是直角三角形，则需要构造直角三角形或者证明某个三角形是直角三角形，再运用正弦、余弦、正切的定义去求解。此外，在平时的学习过程中既要关注答题结果的正确性，也要关注答题步骤的规范性。

二、不是所有的网格都是正方形

例2 如图1，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点。已知菱形的一个角（∠O）为60°，A、B、C都在格点上，则tan∠ABC的值是 。

【错解】[12]。

【错因分析】如图2，以∠ABC为锐角构造出直角三角形后，误把菱形网格当成正方形网格，认为BE=2AE，得到错误解答tan∠ABC=[AEBE]=[12]。

【正解】如图2，连接EA、EC。

根据题意，得∠AEF=30°，

∠ACE=∠ACG=∠BCG=∠BEF=60°，

∴∠AEC=∠AEF+∠BEF=90°，

∠ACE+∠ACG+∠BCG=180°，

∴E、C、B三点共线。

设菱形的边长为a，

∴AE=[3a]，EB=2a，

∴tan∠ABC=tan∠ABE=[AEBE]=[3a2a]

=[32]。

【总结】思维定式有利于常规思考，它使思考者在思考同类或相似问题时能省去许多摸索和试验的步骤，但在解题時不能因为图相似就只看问题而忽略题干，想当然地得出答案。数学解答讲究的是严谨，因此，我们在解题时要认真审题，圈点勾画题干重要信息，如本题中的“菱形组成网格”。

三、题中无图需警惕漏解

例3 在△ABC中，若∠B=45°，AB=[102]，AC=[55]，则△ABC的面积是 。

【错解】75。

【错因分析】忽略此三角形的已知要素是“SSA”，误认为三角形的形状是确定的，导致漏解。三角形的形状确定是以三角形全等的判定定理（“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”）为依据。

【正解】本题有两种情况：△ABC可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形，如图3中的△ABC和△ABC'。

过点A作AD⊥BC，垂足为D。

在Rt△ABD中，

∵AB=[102]，∠B=45°，

∴AD=AB·sinB=[102]×[22]=10，

BD=AB·cosB=[102]×[22]=10。

在Rt△ACD中，

∵AD=10，AC=[55]，

∴CD=[AC2-AD2]=[（55）2-102]=5，

∴BC=BD+CD=10+5=15，

BC'=BD-CD=10-5=5，

∴S△ABC=[12]BC·AD=[12]×15×10=75，

S△ABC'=[12]BC'·AD=[12]×5×10=25。

综上所述，△ABC的面积是75或25。

【总结】解直角三角形时，需要根据题中给出的各个元素，结合全等知识判断三角形是否唯一，尤其当题干中未给出图形时。数学解题讲究严谨，数学知识讲究逻辑关系，数学学习讲究积累与联想，我们在遇到问题时要注意知识间的联系，不能因为考虑不全面导致漏解。

四、构建直角三角形不当

例4 公交总站（A点）与B、C两个站点的位置如图4所示，已知AC=6km，∠B=30°，∠C=15°，求B站点离公交总站的距离即AB的长（结果保留根号）。

【错解】如图5，过点A作AD⊥BC，垂足为D。

在Rt△ACD中，∠ADC=90°，

∠C=15°，AC=6，

∴sin15°=[ADAC]，

∴AD=ACsin15°……（就此止步，无法进行下去）

【错因分析】本题是常见图形，易习惯性过A点作BC边上的高，构造出两个直角三角形（Rt△ABD和Rt△ADC）解题，但15°角的三角函数值未知，从而无法求解下去。

【正解】如图6，过点C作CD⊥AB，垂足为点D。

∵∠B=30°，∠ACB=15°，

∴∠CAD=45°。

在Rt△ACD中，∠ADC=90°，

∠CAD=45°，AC=6，

∴AD2+CD2=AC2，

即AD2+AD2=62。

∵AD>0，

∴AD=CD=[32]。

在Rt△BCD中，∠BDC=90°，

∴tanB=[CDBD]，

∴BD=[CDtanB]=[32tan30°]=[36]，

∴AB=BD-AD=[36]-[32]。

因此，B站点离公交总站的距离即AB的长为（[36]-[32]）km。

【总结】解一般三角形的思路为“化斜为直”，本着保留特殊角或构造特殊角的原则，将其分解为两个直角三角形进行求解。由于本题中出现15°角，我们需在构造直角三角形时，通过角的和差、倍分关系来转化，如15°=45°-30°，60°-15°=45°，2×15°=30°，等等。

（作者单位：南京晓庄学院滨河实验学校）