如何理解锐角三角函数应有的函数之义

黄秀旺

“锐角三角函数”是苏科版初中数学教材九年级第七章的内容。在此之前，我们已经学习了一次函数、反比例函数以及二次函数，但很多同学感到锐角三角函数与以上函数不同，或者说并没有体会到锐角三角函数应有的函数之义，而是把锐角的正弦、余弦、正切当成数学公式了。接下来，我们将再次认识锐角三角函数。

一、函数与锐角三角函数在初中数学教材中的设置

函数是刻画客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律用不同的函数来刻画。“函数”是2011年版《义务教育数学课程标准》中“数与代数”部分的重要内容，具体包含一次函数、反比例函数及二次函数。初中阶段的函数定义为：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。三类常见函数的不同之处在于函数的表达式不同，它们的一般式分别为y=kx+b（k≠0）、y=[kx]（k≠0）、y=ax2+bx+c（a≠0），但研究它们时却表现出相同的路径，即感受实例中的变量关系→形成概念及其表达形式（表格、图像、表达式）→研究函数的图像与性质→运用函数解决简单的问题。

而“锐角三角函数”是2011年版《义务教育数学课程标准》中“图形与几何”部分的重要内容。其实，“锐角三角函数”属于三角学，中学数学把三角学分成两部分：第一部分安排在初中阶段，研究锐角三角函数的概念和解直角三角形;第二部分安排在高中阶段，主要研究任意角的三角函数、解斜三角形等。

二、对锐角三角函数概念的理解

三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要作用。锐角三角函数是三角函数的基础内容，它将函数与三角形的知识联系起来，也是解决实际问题的重要方法。

教材中通过问题探究，发现：任意大小的直角三角形，只要其中一个锐角确定，那么这个角的对边与斜边的比值就是一个固定值，可以用相似三角形的知识证明这个结论，并把这个固定值确定为这个锐角的正弦。类比正弦，给出锐角的余弦、正切的概念。在此基础上，定义：∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数。教材中特意说明：“对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数。同样地，cosA、tanA也是A的函数。”显然，锐角三角函数符合初中阶段的函数定义，自变量是锐角，函数是（直角三角形中某两边的）比值。

我们不妨以锐角A的正弦为例，sinA是A的函数，它建立了锐角与它的对边与斜边的比之间的对应关系。一方面，锐角A取不同的特殊锐角，对应不同的sinA（比值）;另一方面，对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应。其实，为了区別函数与算式，我们也可以将函数写成y=sinA（A为锐角）。

三、锐角三角函数与其他函数的比较

一次函数、反比例函数和二次函数是在学习字母表示数、代数式、方程、不等式等知识的基础上进行学习的，都属于“数与代数”部分，这是一个循序渐进的过程，知识之间的联系比较紧密。而锐角三角函数是在学习直角三角形的边、角以及相似三角形等知识的基础上，进一步研究直角三角形边、角之间的关系的内容，因此，它属于“图形与几何”部分。

在一次函数、反比例函数和二次函数对应关系中，函数值是借助函数表达式，通过对自变量的代数运算得到的。锐角三角函数的函数值不是通过对自变量（角度）的代数运算得到的，而是依托直角三角形，通过确定与该角具有某种位置关系的某两边的比值得到的，并且使用比较抽象的符号表示某两边的比值，且不同两边比值采用不同符号。

一次函数、反比例函数和二次函数都有研究概念、图像与性质及应用，而锐角三角函数没有进一步去研究图像与性质（此内容将在高中阶段研究）。

总之，有的同学不理解锐角三角函数，感觉锐角三角函数的表达式不像之前学过的函数表达式（含加减乘除运算符号的式子），它所赋予的特定符号（sin、cos、tan）在一定程度上隐去了函数与自变量之间的关系。同时，我们没有从函数概念的角度理解锐角三角函数，没有说明锐角三角函数也是存在“对应”关系的函数，更多的是关注特殊角度所对应的两边比值及其计算。但是，随着学习的深入，我们一定会理解锐角三角函数应有的函数意义。

（作者单位：江苏省南京市江宁区教学研究室）