运用相似 灵活解题

赵宏敏

图形相似是初中数学的一项重要内容，特别是相似三角形具有很多重要性质，如：对应角相等，对应边成比例，对应角平分线、对应中线、对应高线、周长之比都等于相似比，面积之比等于相似比的平方。利用相似三角形的性质可以解决很多问题，下面举例说明。

一、利用相似三角形求线段长

例1 如图1，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB。若AD=2，BD=3，则AC的长为 。

【分析】解答这道题时，很多同学会想到作AE⊥BC于点E，如图2，由角平分线的性质得出[ACBC]=[ADBD]=[23]，设AC=2x，则BC=3x，由线段垂直平分线得出MN⊥BC，BN=CN=[32]x，又MN∥AE，得出[ENBN]=[ADBD]=[23]，NE=x，BE=BN+EN=[52]x，CE=CN-EN=[12]x，再由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果，同学们可以试着去写一下。但是这种解法既要添辅助线，计算量也大。我们不妨从角的角度出发，证出∠ACD=∠DCB=∠B，证明△ACD∽△ABC，得出[ACAB]=[ADAC]，即可求出AC的长。

解：∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，∴CD=BD=3，

∴∠B=∠DCB，AB=AD+BD=5。

∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=∠B。

∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，

∴[ACAB]=[ADAC]，

∴AC2=AD×AB=2×5=10，∴AC=[10]。

【感悟】利用相似三角形的性质求线段长，主要是通过证明两个三角形相似，得出对应边的比例关系式，再根据相似三角形对应边的比值相等和已知条件求出线段的长。解答本题时要充分利用线段的垂直平分线性质，把边的条件转化成角的条件，从而在判定相似后，利用相似三角形对应边成比例的性质，求出线段的长。

二、利用相似三角形求面积比

例2 如图3，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，△ADE∽△ABC，M、N分别是DE、BC的中点，若[AMAN]=[12]，则[S△ADES△ABC]= 。

【分析】掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键。根据相似三角形对应中线的比等于相似比，求出[DEBC]，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可解答。

解：∵M、N分别是DE、BC的中点，

∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线。

∵△ADE∽△ABC，∴[DEBC]=[AMAN]=[12]，

∴[S△ADES△ABC]=（[DEBC]）2=[14]。

【感悟】利用相似三角形解答与面积相关的问题，常用到如下性质：1.等高的两个三角形面积的比等于对应底的比，等底的两个三角形面积的比等于对应高的比;2.相似三角形面积的比等于相似比的平方。灵活运用上述性质可以快速解答面积问题。

三、利用相似三角形证明比例线段

例3 如图4，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，CD与BE、AE分别交于点P、M。求证：MP·MD=MA·ME。

【分析】要想证明乘积相等，可先转化为比例式，观察这四条线段是否分布在两个三角形中。由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边关系可证△BAE∽△CAD，通过等积式倒推可知，证明△PME∽△AMD即可。

证明：∵AC=[2]AB，AD=[2]AE，

∴[ACAB]=[ADAE]。

∵∠BAC=∠EAD，∴∠BAE=∠CAD，

∴△BAE∽△CAD，∴∠BEA=∠CDA。

∵∠PME=∠AMD，∴△PME∽△AMD，

∴[MPMA]=[MEMD]，∴MP·MD=MA·ME。

【感悟】靈活运用相似三角形的相似比是证明线段成比例的常用方法。一般地，当所证线段成比例式时，或等积式中的四条线段都在同一条直线上时，或所证比例式中的四条线段分别是两个三角形的两边时，均可以借助等量代换和相似三角形，得到比例式或等积式，进而使所求证结论成立。

相似三角形在解题中的应用十分广泛，是破解求线段长，证明角相等、线段相等、线段成比例式或等积式问题的重要利器。 同学们要牢固掌握相似三角形知识，做到准确迁移和灵活运用，从而提高解题的能力。

（作者单位：苏州工业园区星澄学校）