如影随形 由影知形

钱福明

在测量校园中的旗杆、教学楼、一棵大树等物体的高度时，我们不难发现直接测量很不方便，而通过测量物体影子的长度便可轻松求出其高度，这就是相似三角形在实际生活中的一个具体应用，也是历年中考中的一个热点。下面我们就一起来探索太阳光下的物体影子长度与物体高度之间的关系。

一、“躺平”式——物体的影子全部落在水平地面上

【操作方法】某校数学兴趣小组为测量学校旗杆的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图1所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆的影子BC的长度为6米，问旗杆的高度为多少米？

【点拨】因为在同一时刻物高与影长成正比，

所以[DFAC]=[EFBC]，即[1.5AC]=[16]，

所以AC=9。

所以旗杆的高度为9米。

【感悟】在太阳光（平行光）线下，同一时刻，两个物体的高度和影长（水平地面上）的比是相等的，即物高与影长的比相等。解题时要注意物体和各自影长的对应关系不要弄错。

二、“垂直”式——物体的影子有一部分落在墻上

【操作方法】王红想利用影长测量学校旗杆的高度，如图2，她在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影的一部分在地面上，另一部分刚好在学校教学楼的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，试求学校旗杆的高度为多少米？

【点拨】由于太阳光线是平行光，在同一时刻物高与影长成正比。因此，我们可以延长AD交BC的延长线于点E，如图3所示，先求出影子CE的长，得到旗杆在水平地面上的影子BE的长度，最后求出旗杆AB的高度。

【解析】由题意可知[CDEC]=[11.2]，[ABBE]=[11.2]，BC=9.6，CD=2，

所以CE=2.4，BE=BC+CE=9.6+2.4=12，

所以AB=10，即旗杆AB的高度为10米。

【感悟】当物体的影子有两部分时，我们可以把落在垂直墙面上的影子转化为水平地面上的影子，得到总的影子长度，然后利用在同一时刻物高与影长成正比的关系，求出物体的高度。

三、“竖弯”式——物体的影子有一部分落在台阶上

【操作方法】在阳光下，小玲测得一根长为1米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强测量树的高度时，如图4所示，发现树的影子有一部分落在教学楼的第一级台阶上，其长度为0.2米，落在地面的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米。小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是4.62米。”小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比4.62米要长。”

（1）你认为小玲和小强的说法对吗？

（2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度;

（3）要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是多少？

【点拨】首先建立如图5所示的数学模型，由平行光线下同一时刻的物高与影长成正比可得[ABAF]=[10.6]，要求物高AB的长，只要求出影子AF的长即可。因为AE=4.42米，FH=DG=0.2米，所以问题就转化成求HE的长度。

【解析】（1）小玲的说法不对，小强的说法对。

（2）由平行投影可知[ABAF]=[10.6]，DE=0.3，

∴EH=0.3×0.6=0.18。

∵四边形DGFH是平行四边形，

∴FH=DG=0.2。

∵AE=4.42，

∴AF=AE+EH+FH=4.42+0.18+0.2=4.8。

∵[ABAF]=[10.6]，

∴AB=8。

答：树的高度为8米。

（3）由（2）可知AF=4.8。

答：树的影子长为4.8米。

【感悟】当物体的影子落在一个或者多个台阶上时，我们可以把全部的影子都投影到水平地面上，并利用平行光线下同一时刻物高与影长成正比求出影长，最后求出原物体高度。本题考查了相似三角形的应用、平行投影，解决本题的关键是理解平行投影。

四、“倾斜”式——物体的影子有一部分落在斜坡上

【操作方法】如图6，小明想测量长在一个土坡上的树高，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长是0.6米，此时，树顶A的影子落在斜坡坡面上的点F处。经测量，土坡的坡比为1∶[3]，坡顶C与树根B的距离为3米，与点F的距离为4米，坡脚D与点F的距离为2米，且树根所在平面BC与地面DE平行。试求树AB的高度。

【点拨】本题影子中有一部分是落在水平地面上（BC），另一部分是落在斜坡上（CF），所以我们只需将在斜坡上的影子CF转化成落在水平地面上的影长以及CF的竖直高度。

【解析】如图7，过点F作FE⊥AB，交AB的延长线于点E，过点C作CG⊥EF于点G，

则CG=BE，EG=BC=3，且[CGGF]=[13]。

∵CF=4，

∴在Rt△CGF中，

BE=CG=[12]CF=2，GF=[23]，

∴EF=GF+EG=[23]+3。

∵同一时刻，不同物体与其影长的比相等，

∴[AEEF]=[10.6]，

∴AE=[10.6]EF=[10.6]（[23]+3）

=[103+153]，

∴AB=AE-BE=[103+153]-2

=[103+93]。

答：树AB的高度为[103+93]米。

【感悟】当影子落在斜坡上时，关键是把影子分解为水平地面上的影子和竖直高度，利用坡度的知识求出水平地面上的影子长度以及竖直高度，最后用求出来的总高度减去竖直高度，就可以得到原物体高度。

总之，在平行光线下，物体的影子一般有落在水平地面上、垂直墙面上、一个或多个台阶上、斜坡上等几种情况，无论是哪一种情况，我们都可以将这些影子转化成落在水平地面上的影子，求出相应的线段长度，得到物体落在水平地面上的总影长，然后根据在同一时刻物高与影长成正比，计算出物体的高度。

（作者单位：江苏省苏州市吴中区临湖第一中学）