回归教材，注重几何直观

高如玉

“平面图形的认识（一）”是在小学的基础上进一步探究线段、射线、直线、角的有关性质以及直线的平行、垂直关系。通过学习，我们掌握了常见图形的性质定理和探索图形的基本方法，为研究其他图形的性质奠定了基础。在中考中，几乎所有的几何题都有这一章的影子。面对这些题目，我们应回归教材，注重直观图形的分析，不仅要掌握教材中的基本定义、性质、定理，还要知其所以然，低起点，小跳跃，从而夯实几何学习的基础。

1.如图1，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（ ）。

A.线段PA B.线段PB

C.线段PC D.线段PD

【解析】直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短。故答案为B。

2.如图2，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD。下列说法错误的是（ ）。

A.∠AOD=∠BOC

B.∠AOE+∠BOD=90°

C.∠AOC=∠AOE

D.∠AOD+∠BOD=180°

【解析】∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC;由EO⊥CD知∠DOE=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°;∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC=∠BOD;∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠AOD+∠BOD=180°。故答案为C。

3.线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有3个点时，线段共有3条（如图3）;如果线段上有4个点时，线段共有6条（如图4）;如果线段上有5个点时，线段共有10条（如图5）。

（1）观察操作，当线段上有6个点时，线段共有多少条？

（2）探索发现，当线段上有n个点时，线段共有多少条？（用含n的式子表示。）

（3）实践应用：若在火车行驶路线图中有10个车站，那么当火车在这条线路上往返行驶时，铁路公司需印刷多少种车票？

【解析】建立数学模型是同学们体会和理解数学与生活世界联系的一种方法。此题其实就是线段模型，我们可以从简单情形入手，找出模型。

（1）当线段AB上有6个点时，线段总数共有1+2+3+4+5=15条。

（2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有1+2+3+4+…+（n-1）=[12]n（n

-1）条。

（3）2×[12]×10×（10-1）=90（种）。答：需印刷90种车票。

4.若∠AOB=80°，过点O作射线OC（不同于OA、OB），满足∠AOC=[35]∠BOC，则∠AOC的大小为 。（注：题中所说的角都是小于平角的角。）

【解析】中考考查分类讨论思想的概率很高，因为有关分类思想的题目能考查我们思维的条理性和概括性。本题如果结合直观作图的方法进行分析，能清晰地排除不符合要求的情况。因此，解决此类问题应明确分类标準，对每一类问题进行详细分析，逐步解决，做到不重复、不遗漏。

（1）当OC落在∠AOB内部时，如图6。

∵∠AOC=[35]∠BOC，∠AOB=80°，

∴∠AOC=80°×[38]=30°。

（2）当OC落在∠AOB外部时，如图7，反向延长OA、OB。

①若OC落在∠BON内，则∠AOC>∠BOC，而∠AOC=[35]∠BOC，

∴这种情况不存在。

②若OC落在∠MOA内部，

则∠BOC-∠AOC=80°，

又∵∠AOC∶∠BOC=3∶5，

∴∠BOC=200°>180°，这种情况不存在。

③若OC落在∠MON内部，

则∠AOC+∠BOC=360°-80°=280°，

∴∠AOC=280°×[38]=105°。

综上所述，∠AOC=30°或105°。

（作者单位：江苏省常州市武进区礼嘉中学）