例谈“特例法”与“设元法”的另类应用
2022-02-15甘肃省张家川县第一高级中学马启荣
⦿甘肃省张家川县第一高级中学 马启荣
比较大小是近年高考数学中经常考查的一类常规题型,侧重考查指数函数、对数函数以及幂函数的图象与性质在解题中的灵活运用,考查学生的运算求解能力以及逻辑推理能力.基于此,笔者着重归纳整理了含有三个变量的指数式连等(或者对数式连等)的大小比较问题,旨在帮助学生灵活运用“特例法”与“设元法”迅速分析、解决此类问题,进而提高解题能力,提升数学核心素养.
1 三个“指数式连等”的大小比较问题
一般地,分析、解决含有三个变量且涉及三个指数式连等的大小比较问题时,常用的解题方法有两种:一是先假定其中的某一个变量的取值为常数,再根据这个变量的取值分析其他两个变量的取值情况,以便灵活运用相关指数运算法则或者其他知识进行大小比较,这种方法称之为“特例法”;二是先对连等式进行换元,即设连等的指数式为某一个参数,再根据指数式与对数式的互化,将指数式转化为对数式,从而便于灵活运用相关对数运算法则或者其他知识进行大小比较,这种方法称之为“设元法”.
例1已知x>0,y>0,z>0,如果2x=3y=5z,那么( ).
A.3y<2x<5zB.2x<3y<5z
C.3y<5z<2xD.5z<2x<3y
解析1:假设z=1,则根据2x=3y=5可得x=log25,y=log35,所以2x=log225 假设y=1,则根据2x=3可得x=log23,所以2x=log29>3y. 综上所述,3y<2x<5z.故选答案:A. 故选答案:A. 一般地,处理含有三个变量且涉及三个对数式连等的大小比较问题时,常用的解题方法有两种:一是先假定某变量的取值为一个常数,再根据该变量的取值分析其他两个变量的取值情况,以便灵活运用相关对数运算法则或者其他知识进行大小比较,这种方法称之为“特例法”;二是先对连等式进行换元,即设连等的对数式为某一个参数,再根据对数式与指数式的互化,将对数式转化为指数式,从而便于灵活运用相关幂函数的单调性或其他知识进行大小比较,这种方法称之为“设元法”. 所以应选:B. 温馨提醒,幂函数y=xα在区间(0,+∞)上的单调性可分为以下三种情况:①当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增;②当α=0时,幂函数y=xα(为常数函数)在(0,+∞)上不具有单调性;③当α<0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递减. 牛刀小试:(多选题)(2021届江苏省扬州市高三上学期期中考试)已知正数x,y,z满足3x=4y=6z,则下列说法中正确的是( ). 解法1:假设z=1,则根据3x=4y=6可得x=log36,y=log46,则x>1,y>1. 综上所述,应选择:ACD. 解法2:设3x=4y=6z=k,则k>1,且x=log3k,y=log4k,z=log6k. 因为x+y=log3k+log4k =log6k·log36+log6k·log46 =log6k·(log36+log46) 综上所述,应选择:ACD. 综上,通过上述归类举例解析以及牛刀小试可知,分析、解决涉及三个指数式连等(或者三个对数式连等)的大小比较问题,常用解题方法有“特例法”和“设元法”.对比即知,利用“特例法”解题往往比较简单,便于迅速获解;而运用“设元法”解题需要具有较强的对式子进行化简、变形的能力,同时需要对相关指数函数、对数函数以及幂函数的单调性具有较强的运用能力.总之,希望通过学中“悟”,以达成在“悟”中不断提升解题能力. 诚如此,那么有关涉及指数式连等、对数式连等的大小比较问题,我们真的可以说:Soeasy!2 三个“对数式连等”的大小比较问题