稳中见变务实创新 题简义丰培能选贤*

⦿四川省双流中学 邓 明 赵一凡 曹军才

1 试卷分析

2022年全国甲卷(理科)试卷落实高考改革的总体要求，贯彻德智体美劳全面发展的教育方针，聚焦核心素养，突出阅读理解、信息整理、语言表达、批判性思维四项关键能力的考查，体现了高考数学的科学选拔功能和全面育人导向作用．试题体现以下特点.

1.1 构建丰富情境，发挥育人功能

1.1.1 统计图表——创设生活情境

如第2题考查统计图表.统计图表在生产与生活中应用非常广泛，前些年是高考热点，沉寂两年之后，又出现在了高考试卷中.高考对统计图表的考查不局限于频率分布直方图、茎叶图，生产与生活中的折线图、柱形图、扇形图、雷达图在高考中都考查过.本题以社区环境建设中的“垃圾分类”为背景考查学生的数据分析能力，对数据处理与数学运算素养也作了相应的考查．

1.1.2 扇形弧长——浸润数学文化

如第8题取材于我国古代科学家沈括的杰作《梦溪笔谈》，以沈括研究的圆弧长计算方法“会圆术”为背景，以中华优秀传统文化为情境材料设置试题，让学生直观感受我国古代科学家探究问题和解决问题的过程，让学生领略中华民族的智慧和数学研究成果，进一步树立民族自信心和自豪感，培育爱国主义情感．

1.1.3 概率统计——体现应用价值

如第19题以校园体育比赛为背景考查随机事件的概率计算、随机变量的概率分布列和期望．考查学生在现实情境下解决实际问题的能力，在试题的设计引导中加强体育锻炼、劳动教育的理念．统计概率解答题注重知识的综合应用与实际应用，作为考查实践能力的重要载体，命题者要求考生会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断，进而做到由样本数据估计总体特征．

1.2 重视基础知识，考查关键能力

1.2.1 立体几何——回归基础模型

如第18题，从题干来看，为常见的四棱锥模型，且底面特殊，对初中平面几何的考查是本题的关键．设问为证明两条直线垂直和求线面角的正弦值，主要考查基础知识、基本方法，难度不大，属于得分题.利用空间向量求空间角，运算错误是失分主要原因．

1.2.2 压轴小题——狠抓关键方法

以往比较大小的问题，常表现为某函数当自变量取不同值时，比较函数值的大小．例如2021年新高考全国Ⅱ卷第7题：

A.c

C.a

高考不断推陈出新，在这类问题中增加了放缩的成分，所比较的数据结构不完全一致，但可以通过放缩达到一致.例如2020年全国高考Ⅰ卷第12题：

若2a+log2a=4b+2log4b，则( ).

A．a>2bB．a<2b

C．a>b2D．a

本题中，2a+log2a=22b+log2b=22b+log2(2b)-1<22b+log2(2b)，结合函数y=2x+log2x在(0,+∞)上是增函数，可知a<2b.该题仍然没有走出上述表现形式．

直到2021年全国乙卷理科第12题，其比较大小的理念发生了变化，添加了新的思想，即不同函数当自变量取同一值时的函数值的大小关系，这样构造函数的难度有所提升，并且函数单调性的判断难度也显著升高.例如2021年全国乙卷理科第12题：

A.a

C.b

本题中，a，b大小关系的判断仍可根据a=2ln 1.01=ln (1.012)，利用y=lnx的单调性，转化为比较1.012与1.02的大小关系，就可以判断a与b的大小关系．但c与对数函数没有关系，不得不采用以下策略：

2022年全国甲卷的第12题，明显继承了2021年全国乙卷的第12题的上述思想，事实上，2022新高考Ⅰ卷第7题亦如此．比较大小作为高考热门题型，几乎每年都会命制.甚至同一年中好几套卷子都会命制，看似屡见不鲜的比较大小，实际上其中蕴含的方法和思想已经发生了变化，体现了高考题稳中见变，务实创新的命题风格．

1.2.3 关键位置——落实计算基础

1.3 突出理性思维，考查学科素养

1.3.1 函数导数——突出转化思想

1.3.2 解析几何——检验综合能力

如第20题(2)问，设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3．设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β．当α-β取得最大值时，求直线AB的方程．

具体而言，由F，D均为定点，以及抛物线的性质可知直线AB与x轴的交点T也为定点，从而本题综合了定值、定点问题；如图1，直线XY垂直x轴于点D，交直线MN于点X，交直线AB于点Y，交抛物线于P,Q两点.由蝴蝶定理知XD=YD，可据此简化运算．如图2，直线MN与AB交于点Q,直线PQ是点D的极线，从而本题综合了配极变换；由D为定点得PQ为定直线，从而本题综合了米勒问题．

图1

图2

全国甲卷连续三年以直线和抛物线为载体考查解析几何的基础知识以及基本思想方法，且分别以阿基米德三角形、彭赛列闭合定理、蝴蝶定理和米勒问题为问题背景，不仅丰富了高考试题的文化背景，也体现了稳中见变，务实创新的命题风格．

总之，2022年高考数学甲卷(理科)试题稳步过渡新、旧高考，继续推进题型和试卷结构的改革，注重对基础知识、基本能力的考查，对数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养都有较高的要求.

2 反思教学，指导备考

2.1 查漏补缺，夯实基础

高考试卷中大量的试题考查四基，因此，储备基础知识，掌握基本方法，熟练基本题型，仍是备考工作永恒不变的首要任务．从本次考卷中呈现出的全集与补集、扇形弧长公式、分式函数值域问题等，都是高中阶段最基本的数学知识，但是以往的考卷中并不多见，导致教学中对此不够重视．因此备考时，特别需要注意对基础知识查漏补缺．

2.2 关注热点，强化训练

近年来的高考试卷，都表现出比较大小、极值点偏移、函数同构是高考的热点，它们虽然年年都考，但由于其综合性强，学生掌握起来还是很有挑战性．通过强化训练可以克服这种困难，做到有备无患，这对于考场发挥和考试信心都有积极的作用．

2.3 思想引领，理论提升

试卷中第12题比较大小，第20题解析几何问题，第21题导数问题作为试卷中的关键题目，它们呈现的共同规律就是转化化归、数形结合、函数与方程的思想和方法．数学作为解决问题的工具学科，其基本做法就是对问题进行转化，把复杂问题简单化，陌生问题熟悉化，而各种各样的数学概念、公式、定理就是实现转化的工具．因此，有必要提升学生转化化归的思想和能力，并且掌握常见的转化技巧．

2.4 推陈出新，开拓进取

高考试卷虽然年年保持稳定性，但是总有局部创新的地方.本试卷中第12题比较大小就一反往日套路，其比较大小的思路与模式可谓“出乎意料之外，又在情理之中”.比较大小这类题小巧灵活，其创新的突破口更为多样．又比如第20题解析几何问题，把蝴蝶定理和米勒问题融入之中，这也是以往的试题所未见到的．因此，有必要精研考题，寻找考法的变化点与创新点，把握考向动态，融入更多元的考试素材，命制更具有选拔功能的模拟试题，这对于培养并发掘创新型人才大有裨益．

2.5 素养导向，综合培育

高考试卷的关键题目往往集中为几个比较综合的问题．比如该卷中第20题解析几何问题，除通性通法外，又可以用蝴蝶定理、米勒问题的视角欣赏此题，此题虽然题面表现为最值问题，实际上其中蕴含着不少的定值、定点、定直线，深入研究不难发现其综合性很强．又如第21题导数问题，除了通性通法外，又可以从极值点偏移、函数同构等视角欣赏并解答，综合性可见一斑．因此，培养学生的综合能力，提高学生的核心素养，是提升学生关键竞争力所必需的．