对2022年全国新高考数学Ⅱ卷第22题的探究
2022-02-15海南省昌江黎族自治县昌江中学廖明艳林瑞记浙江杭州优才教育科技有限公司李红庆
⦿海南省昌江黎族自治县昌江中学 廖明艳 林瑞记 ⦿浙江杭州优才教育科技有限公司 李红庆
1 高考试题呈现
(2022年全国新高考数学Ⅱ卷第22题)已知函数f(x)=xeax-ex.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x>0时,f(x)<-1,求a的取值范围;
此题第(1)问难度较小易求解.笔者重点阐述第(2)(3)问的解题方法与逻辑分析.这两问考查学生证明不等式的综合能力,证明过程中会用到相关函数的性质,甚至需要学生自行构造新的函数,再推导题目中的不等式成立.
2 第(2)问的解法探析
针对第(2)问,具体解答思考过程的思维导图如图1所示:
图1
解法1:探求充分性,证明必要性.
设φ(x)=ax+1-e(1-a)x,则有φ(0)=0,φ′(x)=a-(1-a)e(1-a)x.
(iii)当a≥1时,存在x0=1,使得h(1)=ea-e+1>0,也不符合题意.
令φ(x)=(x-2)ex+x+2,则φ′(x)=(x-1)·ex+1,从而φ″(x)=xex>0,故φ′(x)在(0,+∞)上单调递增.
所以,当x>0时,φ′(x)>φ′(0)=0,即φ(x)在(0,+∞)上单调递增,则φ(x)>φ(0)=0,即h′(x)>0,从而h(x)在(0,+∞)上单调递增.
因此,当x>0时,h(x)>h(0)=0.
(iii)当a≥1时,存在x0=1,使得h(x0)=ln(e-1)-ln 1-a<0,不符合题意.
解法3:令t=ex>1,则x=lnt.当x>0时,f(x)<-1等价于当t>1时,f(lnt)<-1.
设h(t)=talnt-t+1<0.注意到h(1)=0,下面探求充分性.
(iii)当a≥1时,由t>1易知h′(t)>0,所以h(t)在(1,+∞)上单调递增,故存在t>1,使得h(t)>h(1)=0.
3 第(3)问的解法探析
针对第(3)问通过对不等式的整理与变换,将证明不等式恒成立的问题转化为两个数列求和比较的问题.具体解答思考过程的思维导图如图2所示:
图2
方法一:巧用赋值,化繁为简.
故所证不等式成立.
方法二:应用换元的方法,将问题简化求解.
综上可知,所证不等式恒成立.证毕.
方法三:应用对数均值不等式切入巧解秒杀.
故原不等式得证.
2022年的全国新高考数学试卷突破了模拟试题的套路,试题呈现方式与解法都有创新.广大数学教师要真正聚焦课堂教学,让行之有效的学法、教法落实到位,继续加强对命题及解题方法与策略的研究.