分形理论及修正钻速方程预测石膏夹层岩石可钻性

李嵬岩

（大庆钻探工程公司地质录井一公司，黑龙江大庆163411）

伊拉克鲁迈拉油田位于伊拉克南部巴士拉省与科威特交界处，构造位置属于中东波斯湾盆地美索不达米亚平原。油田由南北2个长轴背斜构造构成，中部以鞍状构造相连，北鲁迈拉近南北方向展布，南鲁迈拉以NNW向展布[1]。其RUS地层发育厚层硬石膏，夹薄层白云岩，地层软硬交替，易造成机械钻速过低、PDC钻头崩齿、定向工具面不稳定等诸多不利情况发生。对该层岩石剖面的可钻性研究，直接影响到钻头的优选和参数的优化。针对该区块缺少钻井取芯、室内岩石力学分析等条件的不足，引入上返岩屑分布规律可确定岩石破碎难易程度的理论，结合修正钻速方程，为钻井施工中选择合理的钻井参数及钻头优选提供了科学依据。

1 分形几何理论

分形（Fractal）是由Harvard 大学Benoit B.Mondel⁃brot教授在1975年首次提出，其原意：“不规则的、分数的、支离破碎的”的物体，可看作大小碎片聚集的状态，是特征长度的图形和构造以及现象的总称。分形几何学在岩石力学方面得到了广泛应用：岩体爆破破碎分形、断裂构造分形、岩石分形强度理论、岩石断裂、损伤分形等[2]。大量的研究发现破碎后的岩石颗粒具有自相似表面，颗粒表面积明显非线性颗粒的平均半径，颗粒的表面积与颗粒尺度的关系在统计意义下表现为分形[3]。

1.1 上返岩屑颗粒分布函数

在众多颗粒分布规律函数中，Rosin-Rammler 和Gaudin-schuhmann 分布函数为最具代表性。通常认为Rosin-Rammler 分布趋向粗粒端，Gaudin-schuh⁃mann分布趋向细粒端[2]。井筒上返岩屑粒度总体分布细粒端占较大比例，因此Gaudin-Schuhmann分布函数更适合钻井现场上返岩屑块度分布的分形描述，其函数表达式为：

式中：x——破碎产物的尺寸；

y——岩石破碎产物小于尺寸x的相对累积量；

xm——粒度特性系数，即岩屑的理论最大粒径；

n——均匀性系数，表征粒度分布范围。

1.2 上返岩屑块状粒度分形维数模型

上返岩屑块状粒度分布分形模型一般采用1 岩屑颗粒数量—尺寸关系、2 岩屑筛分质量—尺寸关系来确定。由于上返岩屑颗粒尺度分布趋于细粒端，因而单纯从颗粒数量统计角度出发来分析上返的岩屑颗粒分布特征是及其困难的。为了方便研究，选用质量—尺寸关系确定分形维数。

使用不同孔径r的“筛子”对上返岩屑颗粒筛选，其结果：粒径小于r的碎屑颗粒漏下去，而粒径大于r的碎屑颗粒则存留在筛面上。设岩屑颗粒的总数为N(r)，粒径小于r的岩屑估计质量为M(r)，岩屑总质量为M，那么上返岩屑遵循式（1）中的G-S分布函数：

对式（2）两边取对数：

对式（3）两边求导数：

由分形的概念得：

考虑到 dM∝r3dN，有：

由式（4）、（5）、（6）可知分形维数D：

由式（3）可知，均匀性系数n可由做一元线性拟合求解斜率。

1.3 岩屑样品采集

由于研究区在区域地质沉积变化不大，所选井基本上可以代表区域整体情况。本次实验对象选择R-X井，上返岩屑采集井段为：670.00～830.00m，层位：RUS，主要岩性为：厚层硬石膏夹薄层白云岩。样品采集密度为10m/次，取样地点为振动筛处，每个样本重量为约300g，自然干燥后装袋并标注井深。

将采集的岩屑样品选用不同孔径的筛子筛分称重，筛孔为方形，孔径分级为0.5mm、1.0mm、1.6mm、2.0mm、5.0mm、10.0mm，不同孔径条件下筛分的岩屑质量累计百分比结果见表1。

表1 上返岩屑筛分百分比

对岩石可钻性级值与分形维数拟合可得：

从表2数据中可以看出：在纵向上岩屑样本具有较好的分形结构，相关系数均在0.80以上，分形维数集中在2.01～2.3 之间。其中，岩屑颗粒直径越小所占的质量分数越大，分形维数越高；反之，则相反。

2 钻速方程逆推求解岩石可钻性

在钻具组合、泥浆性能、地层压力等各种条件恒定的前提下，结合岩石可钻性因素，钻速方程可以表达为[4-6]:

式中：ROP——机械钻速，m/h；

RPM——钻头每小时总转数，r/h；

W——钻压，kN；

Kd——岩石可钻性等级。

实际上钻压与钻速之间并不是呈现指数关系，使用对数关系拟合更符合实际，即：钻压增加，机械钻速随着增加；但是当钻压增加到某一数值后，机械钻速的增幅逐渐减小趋于平稳。因此。可将（9）式修正为：

表2 各样本粒度分形维数统计

由式（10）得到岩石可钻性级值Kd：

式（11）中b和c可以根据不同岩性条件下各钻井参数的录井数据拟合回归求得，例如纯泥岩岩性条件下的可钻性级值表达式为：

3 粒度分形维数与钻速方程逆推法预测结果分析对比与实际使用情况

在R-Y 井于井段530～1950m 地层中对采用上述两种预测方法进行计算处理(图1)，两种岩石可钻性结果相似度极高，相关系数高达95%以上，说明预测结果符合实际，均可以用于该区域可钻性预测。在软硬交替石膏地层中，根据岩石可钻性预测，在9口井中优选KM533X复合钻头，累计总钻井进尺7059m，平均机械钻速为6.67m/h,比单只PDC机械钻速提高29.90%，比3A钻头机械钻速提高31.92%。

图1 岩屑粒度分形维数与修正钻速逆推法预测结果对比图