一次函数图象的应用——行程问题

冯长征

本课选自辽宁教育学院“学到汇”公众服务平台“辽宁省初中数学学科教研核心团队名师公益学堂”，旨在引领教师专业发展，服务学生自主学习，减轻学生学业负担。

真题呈现

在某自行车队的一次训练中，1号队员以高于其他队员10 km/h的速度独自前行，匀速行进一段时间后，又返回队伍，在往返过程中速度保持不变. 设分开后行进的时间为x（h），1号队员和其他队员距分开时地点的路程分别为y1，y2（km），并且y1，y2与x的函数关系如图1所示. （1）1号队员折返点A的坐标为       ;（2）求1号队员与其他队员经过几小时相遇.

解析：根据题意及图象可知1号队员折返时距出发点10 km，由关键点[19 ，5]可知[19] h行进5 km，则1号队员的速度为45 km/h，行进10 km用[29] h，则A [29 ，10]. 其他队员的速度为45 - 10 = 35（km/h）. 设经过x小时相遇，由“1号队员与其他队员的速度之和 × 时间 = 总路程”，则（35 + 45）x = 10 × 2，解得x = [14]. 故应填[29 ，10]，[14].

思考：①该试题与教材中例題、习题有何联系？②解决此类问题的方法与策略？

真题溯源

一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35 km/h的速度前进. 突然1号队员以45 km/h的速度独自行进，行进10 km后掉转车头，仍以45 km/h的速度往回骑，直到与其他队员会合. 1号队员从离队到与队员重新会合，经过了多长时间？（七年级上册第151页习题）

该题信息可用函数形式呈现. 设分开时的地点为出发点，1号队员和其他队员分开后行进的时间为x（h），距离出发点的路程分别为y1，y2（km）. 你能在同一坐标系中画出y1，y2关于x的函数图象吗？

解析：如图2，两组队员同时同地出发，由1号队员的速度快可知其图象位于上方. 1号队员在10 km处掉头后，其图象向下与其他队员的图象交于一点，且图象折点的纵坐标是10 km. 由1号队员的速度为45 km/h，可知其折返时行进了[29] h，列方程为35x + 45x = 10 × 2，可得[14] h与其他队员会合. 此时其他队员行进的路程为8.75 km.

显然，前面呈现的中考真题源自这道课后习题. 命题者变换条件，将部分信息以函数图象形式给出，教材中的方程问题就化为中考试卷中的一次函数图象问题.

方法归纳

此类问题的具体解法：1. 确定横、纵坐标分别表示的实际意义;2. 根据图象形状与趋势还原行进过程;3. 从图象中的横坐标观察各时间点的实际意义;4. 从图象的纵坐标观察相应因变量的实际意义;5. 理解图象中关键点的意义，如图象的折点、图象之间的交点、已知坐标的点、图象与坐标轴的交点等. 只有全面准确地从图象中获取有用信息，方能结合线段图与方程解决实际问题.

变式延伸

甲、乙两人沿笔直公路匀速由A地到B地，甲先出发30 min，到达B地后沿原路原速返回，与乙在C地相遇. 甲的速度比乙的速度快35 km/h，甲、乙两人与A地的距离y（km）和乙行进的时间x（h）之间的函数关系如图3所示，则B，C两地的距离为_______km （结果精确到1 km）.

解析：纵轴表示两人与A地的距离，横轴表示乙出发后的时间. 观察图象可知：甲先用30 min行进25 km，则甲的速度为50 km/h，乙的速度为15 km/h;甲行2 h后沿原路返回，说明甲共行2.5 h，则A，B两地的距离为125 km.

如图4，三段路程之和等于A，B两地距离的2倍，列方程为50x + 15x + 25 = 125 × 2，则相遇时间为[4513] h. B，C两地距离为A，B两地距离减去乙的路程，约为73 km. 故填73.

拓展提升

育红学校七年级学生步行到郊外旅行. 七（1）班出发1 h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍间联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图5所示. 若已知联络员用了[23] h第一次返回自己班级，则七（2）班需要_______h才能追上七（1）班. （答案见第33页）

（作者单位：辽宁省阜新市第十一中学）