大倾角、大收缩角泄槽收缩段边墙水深计算方法探讨

吴 健，张小飞，黄佳敏，肖天培

(广西大学 土木建筑工程学院，南宁 530004)

收缩段是泄水建筑物中往往需要设置的过渡段。目前，收缩段冲击波的计算分析主要基于Ippen提出的冲击波理论，而该冲击波理论建立于收缩段为平底、小收缩角的条件。实际工程中，泄水建筑物通常具有一定的底坡倾角，有些泄水建筑物泄槽的底坡倾角甚至大于30°，重力溢流坝下游直线段的倾角往往在50°～60°之间。实际工程的应用表明，利用Ippen冲击波理论来计算分析底坡倾角大于30°、收缩角大于15°的大倾角、大收缩角收缩段边墙处水深时会出现较大误差。为了计算分析大倾角、大收缩角收缩段水流问题，一些学者进行了初步的探索。刘亚坤等[1]通过物理试验研究了35°倾角，15°、20°收缩角的收缩段水流，并对Ippen公式进行了修正，但保留了部分和大倾角、大收缩角水流特性不一致的假定，其适用性还需进一步验证。黄智敏等[2]通过对陡坡收缩段冲击波的理论分析，提出一种计算边墙沿程水深的方法，此法也保留了部分和大倾角、大收缩角水流特性不一致的假定，且计算需反复迭代，在工程中应用不便。

本文依托FLUENT软件，采用基于RSM湍流模型的三维湍流数值模拟方法，对大倾角(30°～60°)、大收缩角(15°～35°)收缩段的急流冲击波波前后水深系统地进行模拟分析计算，并根据数值模拟获得的结果，基于多元非线性回归方法，尝试提出一种大倾角、大收缩角收缩段冲击波波前后水深比的计算公式，为更好地解决大倾角、大收缩角收缩段急流冲击波的计算问题提供参考。

1 计算模型的建立及验证

目前，湍流数值模拟方法主要包括直接数值模拟方法、大涡模拟和Reynolds平均法。其中，直接数值模拟方法和大涡模拟对网格精度的要求高、计算量大，得到广泛应用的是Reynolds平均法。RSM模型是Reynolds平均法中较为精细的模型。大底坡倾角、大收缩角收缩段的流速较大，收缩段内的水流为湍流，为获得较高的计算精度，采用RSM模型模拟湍流流动，同时采用VOF法追踪自由液面，用有限体积法对控制方程进行离散化，压力-速度耦合方法采用PISO算法，设置时间步长为0.001 s。

1.1 基本控制方程

采用RSM模型对大倾角、大收缩角泄槽收缩段水流进行数值模拟。由于收缩段内水流可视为不可压缩的黏性流体，可运用连续性方程和Navier-Stokes方程来描述。

连续性方程：

(1)

Navier-Stokes方程：

(2)

(3)

(4)

1.2 计算模型的建立

为了系统地获得不同倾角、不同收缩角的收缩段冲击波波前和波后水深的数值，为收缩段冲击波波前和波后水深计算公式的建立提供样本，根据正交性原则，建立边墙收缩角为30°、底坡倾角分别为30°、40°、50°、60°和底坡倾角60°、边墙收缩角分别为15°、20°、25°、30°、35°的两组收缩段数值模型；为了避免收缩段出口宽度过小，以便更好地观察边墙沿程水面线的变化规律，数值模型的入口宽度取为20 m；为了使各种计算条件下收缩段进口断面的水流相似，都处于均匀流状态，使研究结果具有可对比性，在收缩段前设置与收缩段坡度一致且长度为3 m的调整段；同时为了减轻水流从水平段进入收缩段时跌水对水流流态的影响，参考堰型设计，在水平段和调整段之间设置圆弧段作为平滑过渡。见表1和图1。

表1 不同倾角和不同收缩角收缩段模型尺寸表

图1 泄槽陡坡收缩段几何模型示意图

由于几何模型同时具有较大的倾角和收缩角，计算区域很不规则，考虑网格对几何模型的适应性，采用四面体单元进行网格划分，使用FLUENT内自带Meshing功能生成网格，同时在底板和边壁处设置边界层网格。网格参数见表2，划分的网格见图2。

表2 网格参数

图2 网格示意图

1.3 边界条件

根据实际情况，给定大倾角、大收缩角收缩段流动数值模拟的边界条件如下：

1) 入口边界条件：液相设置为速度入口边界，气相设置为压力入口边界。本文模拟工况水流在入口处的流量和水深为设定，假定数值模型的入口处水流流态均匀，根据流量和水深计算可得到入口断面的流速。

2) 出口边界条件：采用压力出口边界，在流场出口边界定义静压为大气压强。

3) 壁面边界条件：采用标准壁面函数法确定。

4) 自由液面条件：采用VOF模型追踪自由液面。

1.4 计算模型验证

参考何飞龙所进行的大倾角直线边墙收缩段的试验研究[4]，建立和试验模型一致的数值模型，对其中部分工况下的泄槽收缩段水流进行仿真数值模拟，并将计算所得结果与试验结果进行对比分析，验证所建立的大倾角、大收缩角收缩段水流数值模型的可靠性和计算精度。模拟的工况见表3。

表3 数值模拟工况

1.4.1 流态对比验证

图3和图4为通过0.051 3 m3/s时陡坡泄槽收缩段数值模拟结果与试验流态对比。两图反映流态相同：越靠近边墙的水流越先与收缩边墙交汇、碰撞，碰撞水流沿边墙跃升、爬高并向下游流动，先交汇、碰撞的水流在边墙的上部运动，后交汇、碰撞的水流则在边墙的下部运动，各股水流互不混掺，分层明显；边墙处的水深主要是由收缩段起始断面沿边墙跃升的水流决定；由于重力作用边墙处上部水流不会一直壅高，又因为受到下部水流的向上顶托作用，无法发生回落，因此边墙处水深逐渐趋于稳定。

图3 流态对比

图4 收缩段边墙水流对比

1.4.2 沿程水深对比验证

收缩段进口断面至出口断面的中线沿程水深、边墙沿程水深的数值模拟计算值与试验实测值见图5。从图5中可以看出，模拟结果和试验结果吻合良好，两者的沿程水深数值最大差值约0.02 m，相对误差绝对值在2%以内。

图5 0.051 3m3/s时的沿程水深

1.4.3 流速对比验证

选距收缩段进口断面距离(沿边墙方向)L=0 m、L=0.05 m、L=0.35 m的3个断面的波后流速进行对比验证，结果见表4。由表4可以看出，采用RSM湍流模型模拟得到的平均流速与试验实测值相比较，最大相对误差2.4%，在允许范围内。

表4 0.051 3 m3/s下各断面波后流速模拟值与试验实测值对比

根据以上3个方面对比结果，综合分析说明所采用的数值模拟方法是可靠的，RSM模型能够很好地模拟大倾角、大收缩角收缩段的水流特性，并且模型的网格划分能够满足计算精度的要求。

2 收缩段冲击波波前后水深比计算

为了给大倾角、大收缩角泄槽收缩段边墙水深计算公式的建立构建样本空间，在倾角30°～60°、收缩角15°～35°的区间内，根据正交性原则，建立不同泄槽收缩段的数值模型，模型具体参数见表1。系统地计算不同倾角和收缩角组合下，不同工况的冲击波波角及波前后水深，计算结果见表5。

表5 不同计算工况冲击波波角及波前后水深比的模拟计算值

续表5

续表5

3 收缩段波前后水深公式的建立

根据冲击波波前后水深比的计算结果，对冲击波波前后水深比的影响因素进行分析，运用SPSS软件，基于多元非线性回归分析方法，建立多因素共同作用下的冲击波波前后水深比的计算公式。

从表5可以发现，冲击波的前后水深均与底坡倾角、收缩角和来流弗劳德数有关，且因断面位置的不同有所变化，因此冲击波前后水深比r可以构成α、ψ、Fr0和S的关系，公式如下：

r=f2(α,ψ,Fr0,S)

(5)

由于冲击波前后水深比r受多因素影响，各因素之间的关系尚不明确，因此有必要对影响因素进行分析。

3.1 单一影响因素分析

3.1.1 底坡倾角与水深比关系

取边墙收缩角为30°，流量为120 m3/s，底坡倾角分别为30°、40°、50°、60°，距进口断面距离X为3、6、9、12 m时，相应的S值分别为0.173、0.346、0.52、0.693，观察水深比的变化，见图6。

图6 底坡倾角与水深比关系曲线

由图6可见，在相同的S值条件下，倾角越大，冲击波前后水深比越大，与斜向水跃水流特征相似。根据斜向水跃理论，底坡倾角为ψ的矩形明渠水流的水跃方程为：

(6)

其中：Q为流量；G为水跃段水体重量；h1、h2分别为水跃跃前、跃后水深；A1、A2分别为水跃跃前、跃后断面的面积。

根据式(6)并结合图6的曲线形状，选择三角函数进行曲线拟合，拟合结果见表6。

表6 底坡倾角与水深比曲线拟合结果

从表6可发现，三角函数方程拟合结果良好，拟合方程的复相关系数R2最小值为0.944 2，且和方差SSE和均方根RMSE均接近于0，故底坡倾角与水深比方程选用表6中的方程f1、f2均可。结合不同S值取值，分别计算方程f1和方程f2的R2平均值，得到方程f1的R2平均值为0.975，方程f2的R2平均值为0.977，两者相差不大。从计算简便考虑，同时为避免过拟合，底坡倾角与水深比曲线方程取为方程f1，其关系表达式如下：

r=a1*cos(ψ)+b1*sin(ψ)+c1

(7)

式中：a1、b1、c1为与边墙收缩角、弗劳德数、S值有关的系数。

3.1.2 收缩角与水深比关系

取底坡倾角为60°，流量为120 m3/s，收缩角分别为15°、20°、25°、30°、35°，无因次S值分别为0.1、0.2、0.3、0.4、0.5时，观察水深比的变化，见图7。根据图7的曲线形状，结合平底情况下理想冲击波的基本关系式，采用三角函数进行曲线拟合，拟合结果见表7。

图7 收缩角与水深比关系曲线

表7 收缩角与水深比曲线拟合结果

从表7拟合结果可发现，三角函数方程拟合结果良好。相比较而言，方程f2的拟合结果更好，因此收缩角与水深比曲线方程取为方程f2，其关系表达式如下：

r=a2*sin2(α)+b2*sin(α)+c2

(8)

式中：a2、b2、c2为与底坡倾角、弗劳德数、S值有关的系数。

3.1.3 来流弗劳德数与水深比关系

取底坡倾角为60°，收缩角为30°，流量分别为60、90、120、150 m3/s，相应的来流弗劳德数分别为4.48、3.65、3.20、2.95，距进口断面距离X分别为3、6、9、12 m时，观察水深比的变化，见图8。根据图8的曲线形状，结合平底情况下理想冲击波的基本关系式，选择线性、二次、指数函数进行曲线拟合，拟合结果见表8。

图8 来流弗劳德数Fr0与水深比关系曲线

表8 来流弗劳德数Fr0与水深比曲线拟合结果

从表8拟合结果可发现，仅二次方程拟合结果良好，拟合方程的复相关系数R2最小值为0.973 9，和方差SSE和均方根RMSE均接近于0，故弗劳德数Fr0与水深比方程选用二次方程f2，其关系表达式如下：

(9)

式中：a3、b3、c3为与底坡倾角、边墙收缩角、S值有关的系数。

3.1.4 无因次S值与水深比关系曲线

取底坡倾角为60°，收缩角为30°，流量为120 m3/s，无因次S值分别为0.173、0.346、0.520、0.693时，观察水深比的变化，见图9。根据图9的曲线形状，选择线性、二次函数进行曲线拟合，拟合结果见表9。

图9 无因次S值与水深比关系曲线

从表9拟合结果可发现，S值与水深比拟合时，仅二次方程拟合结果良好，拟合方程的复相关系数R2最小值为0.973 9，且和方差SSE和均方根RMSE均接近于0，故S值与水深比方程选用二次方程f2，其关系表达式如下：

r=a4*S2+b4*S+c4

(10)

式中：a4、b4、c4为与底坡倾角、边墙收缩角、弗劳德数有关的系数。

3.2 公式的建立

从以上单一因素的拟合结果可发现，在相同的α、ψ、Fr0条件下，冲击波前后水深比沿程增加。底坡倾角、收缩角对冲击波前后水深比影响较大，弗劳德数对其影响相对较小，且底坡倾角、收缩角、S值、弗劳德数与水深比的变化均呈正相关。结合单一因素与水深比的曲线拟合方程，提出大倾角、大收缩角收缩段冲击波前后水深比的多元非线性回归方程：

(11)

根据数值分析所得的数据表5，通过SPSS的非线性回归分析方法，求解得到方程的回归系数值见表10。表11为拟合的方差分析。

从表11可以看出，回归方程的R2值为0.931，说明方程的拟合程度高。代入回归系数值，得到大倾角、大收缩角条件下，以底坡倾角、收缩角、S值、弗劳德数为变量的冲击波前后水深比的计算公式如下：

表11 方差分析表

(12)

为了验证水深比计算式(12)的合理性，根据何飞龙的试验[4]，采用式(12)对部分试验工况进行计算，并将计算水深比与试验实测数据进行对比分析，结果见表12。

表12 计算公式验证结果

表12中断面位置和文献[4]的测试断面对应，试验实测值引自文献[4]中表4-1和表4-2。由表12可见，计算水深比与实测水深比的相对差均在10%以下，说明式(12)在一定程度上能够反映实际的水面波动情况，有较高的精度，可用来计算收缩段内冲击波前后的水深比。

4 结 论

本文依托FLUENT软件，基于RSM湍流模型，对大倾角、大收缩角收缩段水流进行数值模拟。根据模拟结果，基于多元非线性回归分析方法，建立了冲击波波前后水深比的计算公式。经初步验证，该式具有较好的计算精度，而且避免了多次的反复迭代计算，可为泄水建筑物收缩段的边墙设计提供借鉴，其适用范围为：30°≤ψ≤60°，15°≤α≤35°，2.95≤Fr0≤4.53。