例析“飞机投弹”问题的变化

2022-02-13杨爱平

中学生数理化·高一版 2022年1期

关键词：投弹空气阻力炸弹

■杨爱平陈宏

“飞机投弹”问题因涉及的物理情景常有创新,求解方法灵活多变,而成为很多同学感到困难的问题之一。下面就“飞机投弹”问题进行多维探究,多角度变化,总结解题规律,供同学们参考。

课本原题:(人教版必修第二册P17)如图1所示,某同学利用无人机玩“投弹”游戏。无人机以v0=2m/s的速度水平向右匀速飞行,在某时刻释放了一个小球。此时无人机到水平地面的距离h=20m,空气阻力忽略不计,g取10m/s2。

图1

(1)求小球下落的时间。

(2)求小球释放点与落地点之间的水平距离。

分析:忽略空气阻力,小球脱离无人机后做平抛运动,它在竖直方向上的分运动是自由落体运动,根据自由落体运动的特点可以求出下落的时间,根据匀速直线运动的规律可以求出小球释放点与落地点之间的水平距离。(解题过程略)

变化1:由“静止目标”变为“运动目标”。如图2所示,飞机离地面的高度H=500m,水平飞行速度v1=100m/s,地面上有一辆同向行驶的速度v2=20m/s的汽车,飞机欲投弹击中汽车,则飞机应在距离汽车多远处投弹?(g取10m/s2)

图2

变化2:由“落点在水平面上”变为“落点在竖直面上”。我国空军某部在一次实战军事演习中,一架轰炸机进行投弹训练。飞机以恒定速度沿着与竖直峭壁平面垂直的方向向着竖直峭壁水平飞行,先释放炸弹甲,飞行时间T后再释放炸弹乙。已知炸弹甲和乙均击中竖直峭壁上的目标,击中点间的距离为H。不计空气阻力,重力加速度为g。下列说法中正确的是( )。

A.炸弹甲击中目标时间T后炸弹乙才击中目标

B.炸弹甲和乙同时击中目标

C.炸弹甲离开飞机到击中目标所用的时间为

D.炸弹乙离开飞机到击中目标所用的时间为

答案:B

变化3:由“落点在水平面上”变为“落点在斜面上”。如图3所示,战机在斜坡上方进行投弹演练。战机水平匀速飞行,每隔相等时间释放一颗炸弹,第一颗炸弹落在a点,第二颗炸弹落在b点。斜坡上a、b、c、d四点共线,且ab=bc=cd,不计空气阻力。第三颗炸弹将落在( )。

图3

A.b、c两点之间 B.c点

C.c、d两点之间 D.d点

解法1:用平抛运动规律求解。如图4所示,假设第二颗炸弹的轨迹经过A、b两点,第三颗炸弹的轨迹经过P、Q两点。a、A、B、P、C五点在同一水平线上,设aA=AP=x0,ab=bc=l,斜面的倾角为θ,三颗炸弹到达a点所在水平线的竖直分速度为vy,水平分速度为v0,以第二颗炸弹为研究对象,炸弹从A点运动到b点,在水平方向上有x1=lcosθ-x0=v0t1,在竖直方向上有;以第三颗炸弹为研究对象,炸弹从P点运动到Q点,在水平方向上有x2=2lcosθ-2x0=v0t2,在竖直方向上有。联立以上四式可得t2=2t1,y2＞2y1。因此Q点在c点的下方,即第三颗炸弹将落在b、c两点之间。

图4

解法2:用几何作图法求解。如图5所示,从b点作水平线与第三颗炸弹的轨迹交于e点,连接c1e并延长交斜面于c′点。因为飞机在水平方向上做匀速直线运动,所以将第二颗炸弹的抛物线轨迹水平向右平移,则将与第三颗炸弹的抛物线轨迹重合。连接bb1、cc1,则必有bb1∥cc1,因为ab1=b1c1,所以b1b是△ac1c′的中位线,即ab=bc′,又有ab=bc,说明c′与c是同一点。由图中可以看出,第三颗炸弹的轨迹在c点左侧,即第三颗炸弹将落在b、c两点之间。

图5

答案:A

变化4:由“飞机匀速飞行”变为“飞机匀加速飞行”。如图6所示,在距水平地面高为H的上空有一架飞机在进行投弹训练,飞机沿水平方向做匀加速直线运动。当飞机飞经观察点B正上方A点时投下第一颗炸弹,当炸弹落在观察点B正前方L处的C点时,飞机投下第二颗炸弹,第二颗炸弹最终落在观察点B正前方3L处的D点。不计空气阻力,重力加速度为g。求:

图6

(1)飞机第一次投弹时的速度大小。

(2)两次投弹时间间隔内飞机的位移。

(3)飞机的加速度大小。

(2)设两次投弹时间间隔飞机的位移为x,则3L-x=(v1+at)t,x=v1t+,解得x=。

(3)飞机第一次投弹时的速度大小v1=,经过时间t=,飞机的位移x=,因此时间t中间时刻飞机的瞬时速度大小,飞机的加速度大小。

1.如图7 所示,在某次空中投弹的军事演习中,战斗机以恒定速度沿水平方向飞行,先后释放两颗炸弹,分别击中山坡上的M点和N点。飞机释放两颗炸弹的时间间隔为Δt1,在Δt1时间内飞机飞行的距离为s1,炸弹击中M、N两点的时间间隔为Δt2,M、N两点间的水平距离为s2。不计空气阻力。下列判断正确的是( )。