基于Iwan模型的螺栓非线性接触建模与参数辨识

朱明扬， 苗慧慧， 李兵

(西安交通大学制造系统工程国家重点实验室， 西安 710049)

在机械工程领域中，螺栓结构由于其具有强度高、稳定可靠、可拆卸等特点得到了广泛的应用。螺栓接触是典型的非线性接触，非线性特征来自接触面的微观碰磨以及宏观滑移、间隙拍击等现象，从而使结构产生能量耗散，产生结构阻尼[1]。对非线性连接结构，建模和分析时常用线性化思想。但线性建模方法不能准确描述螺栓连接结构的非线性行为，也不能表征螺栓结构的非线性响应现象[2]。为了实现更合理的螺栓连接结构分析设计与计算，需要建立螺栓结构非线性参数化模型[3]。

目前在常见的本构模型中，应用Iwan模型描述结构非线性特征的方法得到了较多的应用。Iwan[4]提出了均匀分布函数的Iwan模型。Segalman[5]提出了有并联-串联Jenkins单元的Iwan模型。Song等[6]提出了一种新型Iwan模型，在Segalman模型中添加一线性弹簧，代表了发生临界滑移后的残余刚度。张相盟等[7]计算了Segalman模型的力-位移关系与能量耗散-位移的解析关系。但以上模型不能完全描述现有的连接结构实验现象[8]。Li等[9]提出非均匀的密度函数，表示发生滑移后的残余刚度，表征能量幂次关系现象。Segalman等[8]在实验中计算了螺栓连接的能量耗散。刘冰等[10]对螺栓连接结合面非线性等效模型进行了研究并给出算例。李朝峰等[11]对螺栓连接界面参数辨识进行了静力学实验研究。孙志勇等[12]将螺栓结合面用薄层单元表达,利用遗传算法在响应面模型基础上实行辨识和优化。王东等[13]应用Iwan模型对连接结构非线性接触进行动力学建模和非线性响应求解。艾延廷等[14]基于非线性阻尼识别法对螺栓连接进行检测。郭凌云等[15]、张丹丹等[16]研究了往复加载下螺栓滞回曲线特征。曹曦等[17]研究了提高螺栓连接结构耗能能力的方式。目前基于Iwan模型的非线性接触建模依赖于参数辨识方法与参数辨识的准确性，必须结合有效的辨识技术完成模型构建，但目前针对栓连接结构Iwan模型的参数辨识研究较少。

现应用六参数Iwan模型，对模型力-位移关系进行数值求解，分别得到六参数Iwan模型中表示初次加载力-位移关系方程曲线和卸载-加载迟滞特性曲线。针对无法直接获取的Iwan模型参数进行参数辨识研究。利用MTS材料疲劳试验机进行螺栓连接结构拉伸实验，得到螺栓结构力与位移关系，并通过拟合获得模型中的宏观滑移残余刚度；利用激振平台进行螺栓振动实验。计算螺栓连接结构能量耗散，获取螺栓连接结构Iwan模型参数,最终实现模型的构建。

1 螺栓界面非线性接触建模

1.1 六参数Iwan模型

图1为Iwan模型示意图。Iwan模型[4]由若干个并联的Jenkins单元共同组成，Jenkins单元则包含一个弹簧单元和一个滑块单元。

F代表模型所受外力图1 Iwan模型Fig.1 Iwan model

Li等[9]在Segalman模型[18]中引入一个狄拉克(Dirac)函数，描述残余刚度现象。得到如式(1)所示的分布函数，表达式为

(1)

式(1)中：φ为屈服位移；ρ(φ)为屈服力分布概率密度函数；H(φ)为赫维赛德(Heaviside)函数；δ(φ)为狄拉克(Dirac)函数；φ1为微观滑移起始位置；φ2为宏观滑移的起始位置；K2为宏观滑移开始时的接触刚度；K∞为宏观滑移阶段的残余接触刚度；R为屈服力分布参数；α为幂次关系参数。

图2所示为模型非均匀密度函数的示意图，密度函数中含有6个有效参数(R、α、φ1、φ2、K2和K∞)，称为六参数分布函数。采用该密度分布函数的Iwan模型称为六参数Iwan模型。

图2 六参数Iwan模型非均匀密度函数Fig.2 Six-parameters Iwan model non-uniform density function

1.2 六参数Iwan模型力-位移关系

图3所示为六参数Iwan模型首次加载示意图。初次加载时Iwan模型在开始滑移前相当于线性弹簧，在部分单元开始滑移后，导致力-位移关系非线性，在宏观滑移阶段类似线性弹簧，此时曲线斜率即为残余接触刚度K∞。

图3 六参数Iwan模型首次加载曲线Fig.3 The first loading curve of the six-parameter Iwan model

在模型卸载过程中，发生微观滑移、宏观滑移的情况下，卸载方程有不同的表达方式。

1.2.1 发生微观滑移

A为第一次加载位移幅值，卸载过程位移x满足-A≤x≤A。

(1)当A-2φ1≤x≤A时，所有单元未发生屈服，则黏着状态微观滑移卸载方程[19]为

(2)

式(2)中：下标u表示卸载；a→b表示黏着阶段。

(2)当-A≤x

(3)

式(3)中：b→c表示微观滑移阶段。

1.2.2 发生宏观滑移

(1)当A-2φ1≤x

(4)

式(4)中：a→b表示黏着阶段。

(2)当A-2φ2≤x

(5)

式(5)中：b→c代表微观滑移阶段。

(3)当-A≤x

(6)

式(6)中：c→d代表宏观滑移阶段。

根据Masing[20-21]假定，再加载阶段的力-位移关系为

Fr(x)=-Fu(-x)

(7)

式(7)中：下标r表示处于加载阶段。

1.3 Iwan模型栓连界面建模算例

以周期载荷为例进行计算，对模型给出算例，假设Iwan模型右端存在一个小周期振动位移随时间t变化，设其位移表达式为

x=1.5×10-5sin(100πt)

(8)

设置仿真参数，绘制在周期载荷作用下的力与位移关系曲线，结果如图4所示，非线性力变化出现畸变，残余接触刚度对系统的影响较大。初次加载图像通过零点，形成闭合滞回曲线，体现了螺栓界面非线性系统的滞回特性。

图4 六参数Iwan模型非线性力-位移曲线Fig.4 Six-parameters Iwan model nonlinear force and nonlinear displacement curve

1.4 含非线性连接界面的弹性体建模

以常见的螺栓简单搭接结构为例，对如图5所示的结构进行研究，并简化其数值计算模型。

F为结构在节点10处所受加载力；F1、M1为节点5处所受广义外力；F2、M2为节点6处所受广义外力图5 含非线性连接界面弹性体建模结构Fig.5 Modeling structure of elastomer with nonlinear interface

螺栓结构所受非线性力，来自切向方向上出现的微观滑移和宏观尺度的滑动，以及法向上出现的间隙、碰磨和拍击等现象。为描述螺栓结构在切向与法向的力学行为，在切向和法向各设定一个Iwan模型单元，计算两节点的广义外力。

F1=f(Δ1,h1)

(9)

(10)

F2=-f(Δ2,h2)

(11)

(12)

(13)

式(13)中：0为零矩阵;E为单位矩阵；M为总体质量矩阵；K为总体刚度矩阵；C为总体阻尼矩阵；F1为激励力；F2为非线性力。

(14)

式(14)中：fnl为每个非线性单元在系统上施加的非线性力。Δ1、Δ2的表达式分别为

(15)

(16)

给定几何参数与模型参数，计算系统动力学响应，可以得到各节点处位移响应，图6为含螺栓连接结构弹性体节点5和节点6位移曲线。

图6 节点动力学位移响应Fig.6 Node dynamic displacement response

由图7可知，动力学位移响应存在明显的颤振现象，含六参数Iwan模型悬臂梁振动能量集中于前两阶固有频率，相比四参数Iwan模型，六参数Iwan模型响应频谱各组分更清晰，有限元动力学响应更快。

图7 四参数与六参数Iwan模型悬臂梁频谱图Fig.7 Spectrum diagram of cantilever beam of four parameter and six parameter iwan model

2 螺栓界面非线性接触模型参数辨识与能量耗散

2.1 螺栓界面非线性接触模型参数辨识

宏观滑移临界加载力Fs表达式为

(17)

在周期载荷作用下，对模型力-位移上的滞回曲线积分即为能量耗散，可以获得能量耗散与加载力幅值的关系式为

(19)

通过对连接结构进行拉伸实验与振动实验，可获得不同加载幅值Fi下的不同能量耗散值Di。将微观、宏观滑移阶段的Fi和Di代入式(18)与式(19)，获得方程组为

Fi=F(Di)

(20)

通过螺栓结构拉伸实验获得的力与位移关系识别φ2和K∞两个参数。通过测量栓连结构振动实验的能量耗散值，求解方程组[式(20)]即可识别R、α和K2这3个参数。当螺栓结构受外力作用时，结构就会产生滑移现象，所以将起始点φ1视为0。

2.2 栓连非线性接触模型能量耗散

螺栓连接结构在受外载情况下其位移量较小，实验设备所引起的噪声与误差会严重影响能量耗散的定量测量。

图8所示为单自由度系统示意图。利用该单自由度系统测量其能量耗散值。给出单自由度振动系统能量耗散的表达式为

R为非线性阻尼和刚度；c为阻尼；k为弹簧；m为质量；f为输入激励图8 单自由度系统示意图Fig.8 Single degree of freedom system

(21)

3 螺栓连接界面拉伸与振动实验

3.1 螺栓结构拉伸实验

实验采用MTS双轴材料试验机，实验螺栓结构接触表面粗糙度为1.6，预紧力矩为10 N·m，螺栓类型采用含六角头螺栓的单螺栓试件。通过对螺栓连接结构施加单调拉伸载荷，可以获得实验结构力-位移关系。

对3种型号M8X45、M10X40、M12X45螺栓连接结构施加拉伸载荷，得到如图9所示的螺栓连接结构拉伸载荷下力-位移曲线。实验控制加载速率为1 mm/min。经过最小二乘法处理得到近似曲线后，近似曲线在宏观滑移阶段的斜率表示残余刚度K∞。宏观滑移起始点的横坐标表示宏观滑移起始点φ2，纵坐标表示宏观滑移初始时刻的加载力Fs。通过参数辨识算法辨识可以得到如表1所示的辨识参数。

表1 单调拉伸加载实验参数辨识表Table 1 Parameter identification table of monotonic tensile loading experiment

图9 螺栓连接结构单调拉伸加载下力-位移曲线Fig.9 Force-displacement curve of bolted structure under monotonic tensile loading

实验结果表明连接结构螺栓直径越大，宏观滑移残余刚度越大。其误差来源主要为，准静态实验由于对连接件拉伸，其中位移可能包含连接件的弹塑性变形，需要考虑使用位移计测量。

3.2 BMD振动实验

测量栓连结构在振动载荷作用下的动态响应，利用品质因子法测量能量耗散。实验装置如图10所示。螺栓结构材料为6061铝合金，上层板尺寸为100 mm×100 mm，底座60 mm×80 mm，板厚为12 mm，分别由M8X45、M10X40、M12X45螺栓螺母连接。搭建的实验检测系统由计算机、振动控制仪、功率放大器、振动台、加速度传感器、被测试件组成。

图10 BMD振动实验装置Fig.10 BMD vibration experimental device

首先对实验装置进行扫频，范围为100～2 000 Hz，采样频率为3 000 Hz。通过扫频实验先确定一阶共振频率，之后在共振频率附近扫频，获得振动台与振子加速度幅值。实验采用型号为M362C65的PCB单轴加速度传感器，灵敏度为96.8 mV/(m·s2)。控制振动台不同振幅，测量螺栓连接结构上下两侧板加速度幅值和共振频率。

通过连接结构实验，利用品质因子法可确定、K2、α和R。最终获得如表2所示的Iwan模型全部参数。通过对表2中的Iwan模型参数进行数值求解，可以得到图11所示的螺栓连接结构Iwan模型非线性力-位移曲线。在实际工况中，不同的预紧力、螺栓尺寸、垫片等变量都会对传递关系产生影响，最终对栓连结构Iwan模型的具体参数产生影响。不同的螺栓结构均有力学特性的差异，体现在宏观滑移起始点φ2、宏观滑移初始时刻加载力Fs、宏观滑移阶段刚度K∞这3个参数上。实验结果表明随着栓连结构直径的增加，宏观滑移残余刚度K∞随之增大。

表2 Iwan模型参数表Table 2 Iwan model parameter table

图11 基于Iwan模型的栓连结构非线性力-位移曲线Fig.11 Nonlinear force-displacement curve of bolted structure based on Iwan model

螺栓直径增加导致宏观滑移残余刚度增加，滞回曲线形态发生改变，其包围的面积变小，即模型能量耗散随直径的增加而减小。

将螺栓连接结构参数辨识所得非线性力-位移关系与单调拉伸加载实验所测数据对比如表3所示，其相对误差较小，该方法实现对螺栓连接结构的参数辨识，适合描述微观、宏观滑移阶段螺栓连接结构非线性力学特性。其误差来源主要为，实验条件下，由于振动台传感器特性、噪声干扰等因素，导致实验结果不够稳定；另外，激发振动的参数也会影响实验的稳定性。

表3 参数辨识非线性力误差Table 3 Parameter identification nonlinear force error

通过螺栓连接界面静、动力学实验最终获得螺栓结构六参数Iwan模型的所有参数，其力学特性非线性的力-位移曲线体现了栓连结构的能量耗散特征。

4 结论

以基于Iwan模型的栓连结构动力学建模与参数辨识实验为主要研究内容，对螺栓连接结构动力学分析方法进行研究。针对螺栓接触界面的动力学特性进行理论研究。对于螺栓界面非线性响应现象复杂的问题，建立本构模型，数值求解非线性位移与非线性力关系曲线。进行栓连结构的实验研究，通过万能试验机进行栓连结构拉伸实验，获得结构的非线性力与位移关系曲线。实验结果表明，随着栓连结构直径的增加，其宏观滑移残余刚度随之增加。利用激振平台进行栓连结构振动实验，利用品质因子法计算能量耗散。通过以上方法实现了参数辨识，确定了所构建模型，该模型可以用于对栓连结构能量耗散现象的表征。