再谈数学的教学“自然”——以高中数学人教A版新教材“正弦、余弦定理”为例

吕增锋

(象山县第二中学，浙江 宁波 315731)

近年来，在“数学是自然的”这个大概念的统摄下：一方面越来越多的教师把追求“教学自然”作为课堂教学的基本诉求，比如，“追求自然连贯的数学教学过程”[1]“追求自然朴实的数学教学”[2]，以及数学课堂要“自然呼出、自然联系、自然建构”[3]等。另一方面，很多教师并没有真正地理解“自然”的内涵，更多的是把“自然”当作一种“口号”；对于达成教学“自然”的方法与路径也是知之甚少，更多依赖的是个人的臆想，想当然地以为“这样做就是自然”，从而导致数学教学陷入“天天喊自然，就是不得自然之法”的尴尬之中。下面笔者就以高中数学人教A版新教材“正弦、余弦定理”为例，谈谈如何实现教学自然。

一、“自然”的内涵

“数学是自然的”中的“自然”：一是指“自然界”，即数学产生于“自然界”，或者是我们通常讲的“数学源于生活”；二是指“自然发生”，即数学产生与发展的过程是“自然”的。

(一)数学产生于“自然”

人类通过自己的实践活动与自然界相互联系、相互作用产生了诸多的知识与经验。数学知识也一样来源于大自然。比如，人类在大自然中观察到各种不同形状的物体：树叶、贝壳、石头、植物种子等，于是，头脑逐渐出现了“形”的观念，也有意识地把一些生活用具制作成较为规则的几何形状，几何学从那个时候开始萌芽，而三角形作为比较特殊的一类图形自然成为几何学的主要研究对象。其他数学分支也如几何学一样，最早都是源于对自然的观察和思考，然后通过不断的抽象与发展，最终建构出了当前宏伟的数学大厦。

(二)数学发展的过程“自然”

数学发展通常基于两个“自然”：一个是需求的自然，即数学的发展为了满足生产生活中需求。比如，随着人类生产力的发展，跨地区的商业贸易得到迅速发展，如何在荒无人烟的荒漠草原，或一望无际的大海上确定方向成为迫切需要解决的问题，而借助太阳、星星来辅助定位是比较有效的手段，这就需要利用三角形模型来计算星体的相对位置和距离，于是在天文观测中诞生了三角学[4]。另一个数学本身发展的自然，自从数学成为一门独立的学科后，构建完备的知识理论体系成为数学家的基本诉求。比如，在三角形的定义和形状明确后，接下就会去研究其性质：两边之和大于第三边、大边对大角、全等与相似等；除了定性研究外，还进行定量研究，三角形内角和为180度、正弦定理、余弦定理、射影定理等；除了研究三角形本身，还要研究三角形与其他图形的联系，中线、角平分线、重心、内心、外接圆等，在一系列性质、定理、推论、公式的支撑下，三角学逐步完善。

二、如何凸显教学“自然”

数学教学“自然”不是“只可意会不可言传”的天机，而是需要在理解数学“自然”内涵的基础上，以夸美纽斯《大教学论》中的教育应遵循自然规律的观点为理论指导，遵循知识的自然逻辑顺序、学生的自然认知规律与教材的自然编写意图。

(一)遵循知识的自然逻辑顺序

数学知识的研究一般遵循“定义概念—推导性质—建立联系—实践应用”的自然逻辑顺序，即先从数与形的角度抽象事物的本质属性、定义概念，明确数学对象；探索对象的要素与要素、要素与环境之间的关系和相互作用而获得性质；建立相关知识的联系而形成知识体系；应用所得知识解决数学内外的问题[5]。当然，这一自然逻辑顺序并非线性单向传递，而是呈现网状放射结构，比如，在“建立联系”后，可能又会推导出更多的“性质”；在“实践应用”中又可以进一步深化对“定义概念”的理解，从而实现对数学知识的螺旋上升式的自然建构。

对于“正弦、余弦定理”这部分内容来说，初中对三角形的性质已经有了定性的描述，比如，用SSS，SAS，ASA，AAS来判断三角形全等，因此，高中要对三角形的这些性质的进行定量刻画是自然的；初中介绍了解直角三角形的方法，因此，高中研究一般三角形的解法是自然的；之前学习了向量，因此，以向量为工具来推导正弦、余弦定理也是自然的。

知识的自然逻辑顺序就是“学什么”的顺序，这可以为数学教学的自然“引入”提供事实依据。比如，“今天我们开始学习解三角形，解三角形最常用的有两大定理，其中一个就是余弦定理”“在三角形中，两边之和大于第三边，我们能否把这个性质用定量关系进行表示呢？”“我们知道向量能够作为研究平面图形位置与数量关系的工具，那么能否借助向量进一步研究三角形中的边角关系呢？”这是余弦定理的三种“引入”，哪一种引入最“自然”？在新教材中，正弦、余弦定理是放在“向量应用”这个章节之中，其中一个重要目的是为了凸显向量的工具作用，因此，第三种引入应该是最自然的。

(二)遵循学生的自然认知规律

一谈到遵循学生的认识规律，我们自然会把它与由易到难、由特殊到一般、从具体到抽象、从整体到局部、从定性到定量等做法关联起来，以为只要照搬套用就能实现教学自然。其实不然，这些充其量只是比较好用的教学手段而已，并不能确保这样做一定就是遵循了学生的自然认知规律。所谓自然认知规律指的是数学概念产生、数学问题提出与解决是基于学生原有的数学认知结构，或者是原有数学认知结构的自然发展与完善，即以合乎学生的认知规律和心理年龄特征，以自然的、人本的方式展开[6]，使学生能自然而然地“发现”“想到”“悟到”。

学生的自然认知规律就是“如何学”的定律。由上可知，把握学生自然认知规律关键是要了解学生已经学会了什么、具备了怎样的经验与能力，然后，以此为认知的生长点，进行自然的延伸与拓展，从而实现数学教学过程的“自然”。

问题1：如何用向量关系式来表示“三角形两边之和大于第三边”？

追问：在前面向量这章内容中是如何证明这个不等式？

又比如，如何让学生自然想到类比直角三角发现正弦定理的存在。在学生已知“大边对大角，小边对小角”和经历余弦定理推导过程的基础上，教师可以做这样引导：

问题2：如何把“大边对大角，小边对小角”进行向量表示？

追问：你能证明这个结论吗？

学生自然想到借助特殊三角形去进行验证，比如，直角三角形。

为了让学生能够自然想到，必要的引导是不可少的，但教师的引导也要顺应学生的认知自然，问题的跨度不能太大，否则，很容易使数学的自然生成异化为教师的强行灌输。

(三)遵循教材的自然编写意图

在教学中，教材的重要性不言而喻。教材既是学科基础知识的凝练，又是教学的文本和指引；教材既是社会文化标准与文化规范的体现者，又是民族文化与国家意识形态的承载者。教材的编写是在综合考量各种因素后的最优方案，从而确保在明确育人目标的基础上最大可能地实现知识的普及与价值观的正向传递。因此，理解教材，遵循教材的自然编写意图是实现教学自然的重要一环。

如果不考虑教材的意图，正弦、余弦定理也可以按照下面这样来推导。

问题3：一架飞机从A地飞往B地，飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿着原来的飞行方向成21°角的方向飞行，飞行到C地，测得AC间的距离为500 km，然后再从C地飞到B点。

(1)若C地飞到B点的航线与原来的航线成35°角，则BC间的距离是多少？

(2)若测得AB的距离为700 km，则BC间的距离是多少？

解析：根据题意，作出飞机飞行的路线图，如图1所示。在初中阶段，解决此类问题的一般方法是通过“作高线”构造直角三角形，然后借助直角三角形的特殊性获得边角之间的定量关系。作AB边上的高线CD，垂足为D，如图2所示。

图1

图2

(2)CD=500sin21°，AD=500cos21°，BD=700-500cos21°，所以BC2=CD2+BD2=5002sin221°+(700-500cos21°)2=5002+7002-2×500×700cos21°。

问题4：若问题3中三角形的三条边分别用字母a，b，c表示，三个角分别用字母A，B，C表示，你能发现隐藏在其中的定量关系吗？这些关系式有几组？

余弦定理：

从具体的问题情境出发，利用初中解直角三角形的思路，经历从特殊到一般的发现与归纳，最终同时获得两个定理，你说这样的推导思路不“自然”吗？但如果参照“以向量作为研究平面几何问题的工具”这个教材意图，上面的推导方法显然偏离方向。事实上，从现代数学发展来看，传统的几何学已经走向没落，很难有新的突破，而以向量为分析工具的几何，比如，解析几何、向量几何还是方兴未艾，教材正是在这样的大背景下才萌发了这样的“意图”。由此可见，教材的自然编写意图直指“怎样才能学得好”，遵循教材的自然编写意图可以实现知识系统建构的“自然”。

综上所述，教学“自然”并非说不清道不明，而是既要考虑数学本身因素，又要考虑学生因素，还要考虑教材因素，最后需要综合多种因素，才能形成比较自然的教学方案。▲