关于数学符号感及其发展策略的探究

刘 梅，李占峰

(周口师范学院 a.数学与统计学院；b.教务处，河南 周口 466001)

符号是从具体事物和情景中抽象概括出的一种简明记号，用来交流、推理、计算和解决问题的工具[1]。从某种意义上来说，人们生活在“符号化”的世界里，由于符号和符号体系的出现，数学才能以简洁明了、结构优美的形式出现，它对数学发展的推动作用是非常大的。德国著名数学家莱布尼茨说：“符号的巧妙和符号的艺术是人们绝妙的助手，因为它们使思考工作得到节约，在这里它以惊人的形式节省了思维。”[2]杰出的俄国数学家罗巴切夫斯基说：“数学语言更加完善、准确明了地提供了把一些概念传达给别人的方法。利用符号，数学上的每一个论断和它所描述的东西就可以更快地被别人所了解。”[3]

数学符号感是对符号模式和符号关系的意识，并用这种意识灵活解决数学问题的能力[4]。数学符号是数学语言的基本成分，伴随着人类文明的发展而快速发展，是数学交流、数学思考、数学表达的重要工具。用符号来表示数的过程是人们表示和认识研究对象的开始，是深入探索数的关系、事实、性质及数学模式的必然发展。数学符号和特定的对象相联系，和概念的本质特征紧密相关，正确掌握和运用符号可以提高人们的抽象概括能力。数学中的逻辑推理关系就在于能够合理、恰当地运用符号，而这却要依赖于人们在长期的学习符号、创造符号、理解符号、应用符号的时候培养和发展起来的数学符号感的引导作用[5]。在解决实际问题时，《全日制义务教育数学课程标准 (实验稿)》(以下简称《标准》)根据数学课程和学科的特点，得出义务教育阶段一个非常重要的学习内容是在具体问题中培养学生的数学符号感。

一、数学符号的发展历史

数学符号一般分为以下几种：

(1)数量符号：如 5、3+2i、e、π、∞等。

(2)运算符号：如加、减、乘、除(+、-、×、÷)，比(∶)等。

(3)关系符号：如“=”是相等的意思、“≈”为近似等号、“≠”是不等号，还有“<”(小于号)、“>”(大于号)、“‖”(平行符号)、“⊥”(垂直符号)等。

(4)结合符号：如花括号{ }、方括号[ ]、圆括号( )等。

(5)性质符号：如绝对值符号(| |)、正负号(±)等。

(6)简写符号：如三角形(△)、因为(∵)、所以(∴)、阶乘(！)、总和(∑)等。

所有数学符号都是经过长期演变、发展而形成的，了解这些符号产生和发展的历史过程，能够让人们领略数学符号的美学价值，感受符号化思想方法和数学文化。

二、数学符号感的表现

符号感是自觉地、主动地运用符号和理解符号的意识[6]与态度，不同的人对于符号感的看法则有不同。对符号感的理解包括：理解数学符号表示的意思，会使用这些符号；领会数学符号的意义与作用，知道使用这些符号的益处；在学习符号和应用符号时，在与人交流和独立思考时，能主动地、经常地，甚至是创造性地使用符号。有人认为从语言和认知的角度来讲，数学符号感是人们在数学的语言环境中，对数学符号及数学问题本质特征的快速、敏捷反应。主要表现在面对数学符号和数学关系式时，能够准确地理解数学符号的真实含义，揭示出关系式中所蕴含的客观规律；面对与数学有关的实际问题时，能够迅速地使用符号，从中抽象出数学模型。而《标准》明确强调：“发展学生的符号感就是能从具体问题中使学生能够抽象出变化规律和数量关系，会用数学符号表示；深刻理解数学符号所表示的数量关系，并进行符号间的变换；对于用数学符号所表示的问题能选择合适的方法解决。”

1.在具体情境中抽象出变化规律和数量关系，并用符号表示

用数学符号来表示变量间的变化规律和数量关系的基础是引进字母表示[6]。荷兰数学家弗赖登塔尔表示，“用字母表示数学符号的作用：字母作为专用名词，在特定集合中使用专用名词；字母作为非专用名词，可以用日常中的‘人’来表示所有的人”。

在数学语言中，描述各种实际问题的基础是数字、字母、符号。学生认识上的飞跃是从研究数到研究用字母表示数，但是学生在初学时总是感到非常困难，有些学生基本是机械地记忆，根本不清楚符号的真正意义。因此，在实际问题中教师要尽量引入数学符号，这样可以让学生更容易理解用字母表示一般数的实际意思。

(1)用字母表示计算公式、运算法则以及运算规律。此表示方法最初是从小学数学中数的运算开始接触的。

(2)用字母表示学科和实际问题中的数量关系。

(3)用字母代表数，方便在实际问题中抽象出变量关系、变化规律，进而可以用相关的数学知识去解决与实际相联系的问题[7]。

关于《标准》中说的“在实际问题中抽象出变化规律和数量关系，会用符号表示”的意义在于，这种表示方法一般开始于发现和探索规律，再用代数式将它们一般化地表示出来。一般化超越了实际问题情境，深刻指明和揭示问题中的普遍性和共性，从而把推理和认识推向更高水平[8]。

2.理解符号表示的变化规律和数量关系

(1)从实际问题中能够深刻理解数学符号代表的意义和关系式代表的意义。

(2)用图像、表格、关系式表示变量间隐含的关系。

(3)从图像、表格、关系式表示的变量关系中得到需要的信息。

3.会进行符号间的转换

用数学符号所表示的变量关系的变换主要是指解析式法、表格法、语言表示和图像法之间的变换。

深入理解问题背景或概念本身的有效方式是呈现和描述数学对象，因此，对于单一对象掌握更多的表示方法，有助于强化对概念的深入理解。分析学习数学心理可知，学习数学的核心是不同的表达方式及其思维形式之间的转换。把变量关系从一种形式转换成另一种形式，也就是前面所提及的四种表示形式之间相互转化，这是构成学习数学过程中非常重要的方面[9]。

图像表示法的直观性对于深入理解变量间的关系非常重要，其作用也是其他表达方式不能替代的。图像表示法是把数据、关系式转变为几何形式，所以，此法是能“看见”变量关系及变化情况的一种方法。

四种表示方法是相互联系的，对于同一对象如果一种表示方法发生了变化，其他表示方法也会相应地变化。

4.选择适当的算法解决问题

将具体问题用数学符号表示是解决实际问题的第一步，之后可以选择合适的算法进行符号之间的运算。简单来说，解决问题的第一步是把实际问题转化为数学问题，然后再运用数学理论运算、推理得出结果，选择合适的算法以及进行符号运算是十分重要的问题。

三、符号感的发展策略

1.在实践活动中发展数学符号感

数学符号具有高度的形式化、精确性和概括性特点，这让学生感到数学符号太抽象、难理解，甚至感到枯燥乏味，从而导致学生缺乏学习兴趣，也影响学生对数学符号的理解和符号关系式的记忆及应用。

案例1：若“*”号表示一种运算，且满足以下两个条件：(1)1*1=1 (2)(x+1)*1=3(x*1)(x≥1，x∈N+，N+为正整数)，则x*1=( )

A.3x-2 B.3xC.3x+1 D.3x-1

这是一道高中一年级的考题，能够很好地检验学生的数学符号感。针对这一考题笔者对一所重点中学一年级的学生进行了访问调查，发现学生解答的正确率不高。在对一所普通民办高中二年级一个班80多人的集体访问调查时，在3—5分钟的时间里竟没有一位学生正确作答。对初中数学教师和大学本科、专科数学系学生的调查情况相对好一些，但在3—5分钟的时间里也只有少数人能够正确作答。是什么原因导致这样的情况出现呢？下面的访谈录可以说明一些问题。

访谈者：考试中这道题你是如何作答的？

学 生：看不懂。

访谈者：题设说的很清楚呀！“*”号表示一种运算，满足两条规律。

学 生：哪有这种运算呢？

访谈者：数学中的运算有很多，有些是已经学习过的，如加、减、乘、除等，还有更多是没有学习过的。“*”号表示的运算就是这种情况，这里的N+表示正整数，1*1=1题设已经给出，那么对于其他的一些正整数，它们和1的运算结果会怎样呢？(学生立刻从x=2、3……入手进行运算归纳，片刻得出结果)。

学 生：答案应该是3x-1，选D，我差一点儿选对。

访谈者：你当时是如何想的呢？

学 生： 我当时想1*1=1和乘法运算相似，一个数连乘就会出现乘方，所以感觉不是选D就是选B，最后选择了B。

分析以上问答，容易发现学生思路受阻的原因在于对“*”号表示运算不理解，不能敏锐地体会出“*”号所表示的运算规律。虽然学生对1*1=1有所认识，并在此产生了解决问题的数学直觉，但由于对(x+1)*1=3(x*1)(x≥1，x∈N+，N+为正整数)所蕴含的规律缺乏感知，解决问题的数学直觉合理性得不到理性的逻辑验证，最后导致盲目作答。究其根本原因则是学生对以往所学习的有关运算及其符号表示的本质缺乏理解，对符号化过程中所表示的一般化的数学思想体会不深。事实上，能够正确作答的学生也都是对x=1、2、3等各种特殊情况所得结果进行归纳得出正确答案的。但这一答案的正确性还需要用数学归纳法加以证明，对于高中一年级的学生，这一点很难做得到。如若对数学运算有较深入理解，在此基础上发展起来的数学符号感就较强，自觉地运用数学符号的意识也就强，就能产生更简捷美妙的方法。

访谈者：“*”号表示一种运算，运算就是一种关系，以往所学习的“加、减、乘、除”等运算，实质上是两个元素之间有了某种关系之后，会有一个新元素和它们对应。这里“*”号所表示的运算不也是这样吗？

学 生：(经过思考)是的。

访谈者：那么，你能将以上两个运算关系式简化一些吗？

学 生：设ax=x*1，上述关系式可表示为(1)a1=1，(2)ax+1=3ax(x∈N+)

至此被访谈者说：“这不是一个等比数列吗？我应该想到呢！”

是呀，我怎么就想不到呢？这正是数学教学和数学学习所应思考、研究的问题。

人们的数学符号感是在数学的实践活动中发展起来的，由于人先天素质的差别，后天的个人经验不同，数学符号感也不相同，表现在数学理解上就有层次之分，体现在数学思维能力上则有强弱之别。具体到所给案例，许多受访者坦言，如若给予足够的考虑，他们会想到从特殊到一般地归纳方法得到答案，但不会想到对所给关系式进一步抽象，转化为等比数列的问题来处理。因此，在数学的实践活动中发展数学符号感是非常重要的。

2.在具体情境中发展数学符号感

在已往的经验中，发展数学符号感的基础是挖掘人们内心潜藏的“符号意识”。因此，应重视生活中给人们提供的感受和体验机会，运用“现实生活问题→转化为数学问题→用数学符号表示”这种将实际问题逐步符号化的方法，锻炼发展学生的数学符号感。

案例 2：在确定烤制时间时某烤鸭店的主要依据，见表1：

表1 烤鸭质量与烤制时间对应关系

利用表1所提供的数据可以清晰地看出，鸭的质量和所需烤制时间的对应关系。然而，如果需要烤制鸭的质量是2.8千克，则需要多长时间呢？面对表格中的两组数，学生发现鸭的质量与烤制时间之间有一个对应关系，这些对应关系的直观图形是什么形状呢？从而产生一种动手操作的想法，通过作图发现，这些数据所对应的点反应在图像上是一条直线，从而对这一问题就有了更深入的理解，即鸭的质量与烤制时间具有一次函数的关系。从而想到用关系式来表示鸭的质量与烤制时间之间的关系，用w千克表示鸭的质量，用t分钟表示烤制的时间。通过表格中的数据可以得出，鸭的质量每增加0.5千克，烤制时间则增加10分钟，从而得出关系式：t=20w+10(w>0)，于是也就可以得到烤制2.8千克鸭所需的时间。当然，也可以绘制图像，如图1。

这种由具体数字到直观图形，再由直观图形到数学关系式的解题途径，表明学生对符号感的认识在逐步深入。由此也说明培养学生符号感的一个重要途径是在具体问题中发展数学符号感。

3.在解决实际问题中发展数学符号感

在解决实际问题中，教师应当在学生深刻领会数学符号、数学表达式、数学关系式含义的基础上，培养发展数学符号感，避免造成学生对符号演算的机械记忆，应多增加与符号有关的实际背景、几何解释、探索过程等内容，从而帮助学生深入理解。

案例3：如图2，用型号相同的黑白两种颜色正方形地板砖铺设矩形地面，根据所给图形回答以下问题：

(1)考察在第n个距形图中，每一横行各有____块地板砖，每一竖列各有____块地板砖。(请用含n的表达式表示，n∈N+)

(2)设铺设矩形地面所用地板砖的总数为y块，请给出变量y与(1)中的变量n的函数表达式。

(3)按照上述的铺设办法，如果铺一块矩形地面共用506块地板砖，请求出n的值。

(4)若黑色地板砖的单价是4元，白色地板砖的单价是3元，在上述问题(3)中，购买这样的地板砖共需花多少元钱？

(5)请通过计算说明是否存在所用黑色地板砖与白色地板砖块数相等的时候？

通过观察，归纳出每一横行各有n+3块地板砖，每一竖列各有n+2块地板砖，从而求出总块数y与n的函数关系式为y=(n+3)(n+2)=n2+5n+6。根据已知的函数值y=506可以求出自变量n的值为20。通过计算可得第n个图形黑色地板砖的数量为4n+6块，白色地板砖的数量为n2+n块。当n=20时可计算出黑色地板砖的数量为86块，白色地板砖的数量为420块，所以共需花费1 604元钱。最后根据解一元二次方程n2+n=4n+6，得出n的值不是正整数，与实际情况不符，所以，黑色地板砖与白色地板砖块数相等的时候是不存在的。

符号是数学的语言，数学语言系统是被符号化的系统，难以想象如果当今数学没有精确化的符号会变成怎样。所以，数学学习的一大特色是用符号表示数学内容和数学方法。数学语言体系不同于其它语言系统，如英语、汉语、德语等，正因为如此，数学语言才更有可能成为一种国际化的通用语言。培养学生的数学符号感，对他们领悟语言的概括美和简洁美，熏陶他们对数学学习的兴趣，增强其自主学习数学的积极性是非常必要的。