用好回归原点策略 打造灵动数学课堂——以“一类含参数不等式恒成立问题”为例

江苏 郭建华 于 健

一、问题的背景

考试时学生面对较难的试题，有的怕耽误时间就会选择放弃，或者选择暂时“放弃”，而回头又没时间做；有的因产生恐惧心理或者不自信，会直接选择放弃；有的因解题方案选择不佳，耗时太长，便会得不偿失；有的总想寻找解题的捷径，喜欢“套路”题，问题稍加变化，便束手无策，以失败告终……

教学中有的教师依然存在重教轻学，重结果轻过程的现象；对于较难的试题，有的教师会因大部分学生不会做，觉得讲了也白讲，选择放弃讲评；有的教师为了赶教学进度，便会直接抛给学生很多“秒杀”的技巧，不肯花时间挖掘技巧背后的“秘密”……

上述学生和教师对处理较难试题所表现出来的态度和做法，应值得我们反思.为了追求解题和解题教学的“长期利益”，教师应该加强对解题的深入研究并探索有效的教学策略.教学要始终以发展学生素养为导向，教师要理解学生、理解教学，引导学生把握数学问题的本质，启发思考，增强学生战胜困难的信心，不要轻易选择“放弃”，促进学生学会学习，进而培养学生的关键能力.

二、回归原点策略

华罗庚先生曾说过：学好数学的一个诀窍要善于“退”，足够的“退”，“退”到原始而不失去重要性的地方.在解题和解题教学中要学会“退”(即“回归”)，“退”回“原点”.“退回原点”即“回归原点”，首先从“数学的原点”出发，以涉及的概念、定理、性质等作为分析起点，思考教学；其次从“试题的原点”出发，在共性求解的基础上具体分析，追求问题的“个性解”，找到解题的最优路径；最后经过解题探索(无论成功与否)再回到原点，反思对相关数学内容的理解程度.通过这一系列环节，达到知识理解、技能熟练、思想方法感悟等方面的螺旋上升.

“回归原点”准确体现了解题的本质，它对于解题具有启发性，对于解题教学具有可操作性.“回归原点”让课堂充满灵动，确保学生的主体地位，发挥教师的主导作用，通过交流和反思，让学生学会思考，掌握解题策略和方法.“回归原点”不仅引导学生解决问题，而且对数学核心素养的落地提供保障.

下面以“一类含参数不等式恒成立问题”为例，利用“回归原点”策略进行解题教学的实践与思考，以期与同行交流.

三、教学案例

【例1】若不等式(ax2+bx+1)ex≤1对一切x∈R恒成立，其中a,b∈R，e为自然对数的底数，则a+b的取值范围是________.

本题研究的是一道含参数不等式的恒成立问题.它蕴含了丰富的数学思想方法，如化归与转化、数形结合、分类讨论、函数与方程等，是发展数学核心素养的较好素材.教学中应用“回归原点”策略引导学生内化“四基”，促进学生数学关键能力的不断提升.

1.分析数学的原点，探寻题眼

先让学生思考片刻，再与学生进行如下交流：

教师：求解本题会用到哪些数学知识?

众生：不等式、函数、导数、最值与极值.

教师：对于含参数的不等式恒成立问题，大家准备从哪里作为突破口?

学生1：求函数f(x)=(ax2+bx+1)ex的最值.

教师：你准备如何求解?

学生1：令f(x)=(ax2+bx+1)ex，则f(x)max≤1，发现f(0)=1，即f(x)max≤f(0)，f(x)在x=0处取得最大值，也是其极大值，所以f′(0)=0，求得b=-1，于是将问题转化为求实数a的取值范围.其求解过程如下：

由b=-1，得f′(x)=x(ax+2a-1)ex.

(1)当a=0时，得f′(x)=-xex,f(x)=(1-x)ex，易证f(x)max=f(0)=1，即f(x)≤1对一切x∈R恒成立，此时a+b=-1.

综上，可得a+b的取值范围是(-∞,-1].

反思：并非所有的学生都能发现f(x)在x=0处取得最大值(也是其极大值).教师应引导学生回归到该题所涉及的概念、定理、性质等，作为分析、求解问题的起点.本题求解的关键是将最值与极值紧密联系，确定b的值，从而把双变量问题转化为单变量问题，降低问题的难度.

用这种方式求解取得成功实在令人欣慰，毕竟这是一道填空题.

2.审视试题的原点，优化解法

在通法求解的基础上，继续引导学生思考，回归试题的结构，探究新的解题思路.对于客观题，通常提倡多思少算、小题巧做.

以上对参数a的分类讨论较为烦琐，总给人以“杀鸡用牛刀”的感觉.

教师：对一个形式较为复杂的函数，我们一般如何处理?

学生2：通常采取对“整体”进行“分割”的方式处理，即先把它转化为两个常见的函数，再结合两个函数的图象和性质进行求解.由b=-1，得(ax2-x+1)ex≤1对一切x∈R恒成立，即ax2-x+1≤e-x对一切x∈R恒成立，易证e-x≥-x+1，所以ax2-x+1≤-x+1对一切x∈R恒成立，即ax2≤0对一切x∈R恒成立，由x2≥0，得a≤0，所以a+b≤-1，故a+b的取值范围为(-∞,-1].

学生对上述解法很惊叹，而后又眉头紧皱，好像对上述解法有不解之处.

让学生思考片刻，笔者继续与学生交流.

教师：大家还有什么疑问和想法，请说说看.

学生3：曲线y=e-x的切线有无数条，为什么要选择直线y=-x+1呢?

教师：我也有这个疑问，估计其中必有“玄机”.

学生4：是巧合吧?

学生5：不是巧合，应该是曲线y=ax2-x+1,y=-x+1,y=e-x之间存在一定的内在联系.

教师：是吗?会有什么联系呢?

……

学生善于思考、敢于质疑、严谨求实的精神值得表扬.

对好的探究机会，稍作停顿，让学生独立思考、动手实践、自主探索、分组交流，发展学生自主学习的能力.

不一会儿，有的小组示意要发言.

(教师再借助于数学软件geogebra动态演示，当改变a的取值时，观察函数图象的变化情况，验证学生6的想法.)

反思：要想找到更优的解法，就要打破原有的认知，重新回归试题的原点，即,它是一道什么类型的题，涉及了哪些参数，试题的结构是否熟悉，能否用已有的知识和方法解决它等.利用数形结合、化归与转化等数学思想方法，把陌生的情境转化为熟悉的问题，再结合geogebra软件给予直观的分析，增强学生对问题本质的理解和掌握.

3.回归基本的原理，正本清源

教师：数形结合是求解问题的理想方法，大家还有什么疑问吗?

学生7：老师，切线y=-x+1为什么一定在函数h(x)图象的下方(切点除外)?

教师：同学们能给予解释吗?

学生8：对于熟悉的函数图象可以观察出来，也可以构造新函数φ(x)=e-x-(-x+1)，证明φ(x)≥0恒成立.

教师：很好，这种方法我们很熟悉.大家还有别的解释吗?

大家又回到函数的图象上，看看能否有新的发现，过了一会，还是没有找到答案，教师继续抛出问题让学生们思考.

学生各自动手画图，老师巡视.

教师：你们有什么发现，请说说看?

学生9：除了函数y=x3，其它的几个函数图象都在它切线的同一侧.

大家频频点头，表示同意.

教师：既然大家都同意这个观点，那么能否给予严格的说明?

大家面面相觑，看来这个问题很难回答，教师继续给予补充.

教师：其实，这是函数的“凸凹性”所致.下面我们一起来学习一下函数的凸凹性.

学生已经熟悉指数函数和对数函数的图象与性质，为了更易于理解函数的凸凹性，分别给出两道习题.

提出以下问题，供学生讨论，让学生初步感受函数的凸凹性.

问题1：分析两个函数图象，它们各自具有什么特征，存在哪些不同之处?

问题2：能否用几何语言刻画它们所具有的特征?

通过讨论，借助于geogebra动态演示，引导学生归纳出如下结论：

(1)曲线f(x)=2x上任意两点的弧段总在这两点连线的下方；

(2)曲线f(x)=lgx上任意两点的弧段总在这两点连线的上方.

我们把具有前一种特征的曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数；后一种称为凸的，相应的函数称为凸函数.

下面，给出凸凹函数的定义以及相关定理.

定义：设f(x)为定义在区间I上的连续函数，若对I上的任意两点x1,x2和任意实数λ∈(0,1)，总有f(λx1+(1-λ)x2)≤(≥)λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称f(x)为I上的凹(凸)函数.

定理1：设f(x)为区间I上连续，且有一阶和二阶导数，则在I上f(x)为凸(凹)函数的充要条件是f″(x)≤0(f″(x)≥0)，x∈I.

定理2：设f(x)为区间I上的可导函数，则下列论断互相等价.

(1)f(x)为I上的凸(凹)函数；

(2)f′(x)为I上的增(减)函数；

(3)对于I上的任意两点x1,x2，有f(x2)≥(≤)f(x1)+f′(x)(x2-x1).

注意：如图，论断(3)的几何意义：曲线y=f(x)总是在它的任一切线的上方(下方).

学生10：哦，我明白了.由f″(x)=e-x>0，得f(x)在(-∞,+∞)上为凹函数，由论断(3)知其切线y=-x+1一定在函数f(x)图象的下方(切点除外)，找到公切线是求解该题的关键.

反思：对学生解题的指导，不能只局限于通性通法，还要鼓励学生拓展思路，探寻新法.在问题解决的过程中“回归原点”，引导学生发现和提出问题，探究命题的背景，让解题达到“举一反三”的效果.

4.选择相似的题组，乘胜追击

为了让学生体会凹凸性在解题中的应用，将探究活动推向深入，选择一道相似的题目进行巩固训练.

【例2】设函数f(x)=(1-x2)ex，当x≥0时，f(x)≤ax+1，求a的取值范围.

教师：大家对比一下两道题，看看有哪些异同点?

学生11：从结构上看两道题相似，考查的知识点也相同，然而例2是一道解答题，不可以用数形结合的方法求解.

学生12：可以先借助于“形”的直观得到答案，再做进一步的推理.

教师：这是一个很不错的想法，能否快速得到答案呢?

学生13：经分析发现，左边是一个定函数，右边是一个过定点的动直线，而且函数的图象与直线具有公共的端点.我的想法是f′(x)=(-x2-2x+1)ex，f″(x)=(-x2-4x-1)ex<0(x≥0)，所以当x≥0时，f(x)为凸函数，如图，令g(x)=ax+1，则f(0)=g(0)=1，因此，只要g′(0)≥f′(0)，即a≥1.

(看到学生13很快得到结果，其他同学投来赞许的目光.)

教师：你能解释一下你的想法吗?

学生13：在区间[0,+∞)上，两个函数具有公共的起点A，如图，当x∈R时，曲线f(x)在点A处的切线方程为h(x)=x+1，由于函数f(x)在[0,+∞)上为凸函数，根据定理2的论断(3)，易知当x≥0时，切线h(x)=x+1恒在函数f(x)图象的上方(公共点除外)，因此，只要直线g(x)=ax+1恒在直线h(x)=x+1的上方或与其重合即可，故a≥1.

教室里自发地响起掌声，大家都表示赞同.

趁着这个探究的热度，继续提供以下两道试题供学生分组强化训练，以巩固学习成果.

(1)设函数f(x)=ex-e-x，对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围.

(2)已知函数f(x)=(x2-ax+1)ex(a≥0)，若对于x∈[0,1]，f(x)≥1恒成立，求a的取值范围.

教师：由于函数的凹凸性，在例2中才保障了利用条件g′(0)≥f′(0)求得结果的正确性.通过对以上题目的分析和求解，我们能否归纳一下利用函数凸凹性求解这一类含参数不等式的基本模型.

停顿，让学生思考、分析、讨论和提炼.得到如下结论：

已知可导函数f(x)具有凹凸性，g(x)=ax+b(a,b是可同时为0的常数).

(1)当f(x)≥g(x)在区间[a,b]恒成立，若f(a)=g(a)，则f′(a)≥g′(a)；若f(b)=g(b)，则f′(a)≤g′(a).

(2)当f(x)≤g(x)在区间[a,b]恒成立，若f(a)=g(a)，则f′(a)≤g′(a)；若f(b)=g(b)，则f′(a)≥g′(a).

通过对结论的提炼和归纳，学生格外开心，消除了对类似问题的敌对或者恐惧感.

教师：我们再回到习题2，如何说明a<1不成立呢?对于解答题，还要做到推理的严谨和书写的规范.请大家思考并完成.

学生14：(2)当a≥1时，令h(x)=f(x)-ax-1=(1-x2)ex-ax-1(x>0)，则h′(x)=(-x2-2x+1)ex-a，h″(x)=(-x2-4x-1)ex<0，于是h′(x)在[0,+∞)上单调递减，故h′(x)≤h′(0)=1-a≤0(h′(x)不恒为0)，即h(x)在[0,+∞)上单调递减，因此，h(x)≤h(0)=0，即f(x)≤ax+1，满足题意；当a<1时，h′(x)在[0,+∞)上单调递减，h′(0)=1-a>0，且存在x0，使得h′(x0)=0，当x∈(0,x0)时，h′(x)>0，则h(x)在(0,x0)单调递增，故h(x)>h(0)=0，即f(x)>ax+1，与题意矛盾，故舍去，所以实数a的取值范围为[1,+∞).

反思：借助函数的凹凸性分析和求解上述类型的问题，可以迅速、准确找到代数推理过程中的分类讨论的分界点，从而大大降低了思维的难度，缩短了思维的时间，提高了解题的效益，同时也增强了学生求解这一类较难试题的信心.

四、结束语