探究数学本质 培养核心素养——以一道数列高考试题的探究为例

天津 高成龙

对于“等差乘等比”型数列的前n项和，教材中常用的处理方法是错位相减法，即通过错位相减把该类数列的求和转化为等比数列的求和问题.该方法学生理解起来容易，但是对前n项和Sn进行化简时会涉及因式分解、合并同类项、提取公因式等烦琐步骤，另外学生在化简过程中没有一个明确的目标，学生甚至不知道化简到什么程度才是最简形式，进而给求解带来很大的障碍.鉴于此种情形，文章用不同的方法对2020年全国卷Ⅲ理科第17题进行多方面的探究，并将解法推广至一般情形，得到了等差乘等比数列前n项和的三个常用模型：“裂项求和模型”“待定系数模型”和“导数模型”.这样通过建立模型就可以把该类数列的求和问题转化为数学模型问题，实现数列问题模型化.这一过程很好地培养了学生运用数学模型解决数列问题的能力，同时也可以帮助教师很好地进行教学反思和提升教师的专业素养.

一、试题呈现及评析

【例】(2020·全国卷Ⅲ理·17)设数列{an}满足a1=1,an+1=3an-4n.

(1)计算a2,a3，猜想{an}通项公式并加以证明；

(2)求数列{2nan}前n项和Sn.

【试题评析】(1)主要考查数列的递推关系，易得an=2n+1；(2)以等比数列的求和模型为背景，求等差乘等比数列的前n项和，这是一个综合情境，解决问题的关键是利用错位相减法将不能直接求和的数列转化为等比数列的前n项和，这一过程可以很好地培养学生在综合情境中提出运算问题和确定运算对象的能力，进一步提升学生的数学运算素养.下面分别运用错位相减法、累加法、裂项相消法、导数法、面积法对(2)的解题方法进行探究.

二、试题解法探析

思路1：错位相减法

设cn=(2n+1)·2n，

Sn=3×21+5×22+7×23+…+(2n+1)2n，

2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)2n+(2n+1)2n+1，两式相减，得

-Sn=6+2(22+23+…+2n)-(2n+1)×2n+1

=6+8(2n-1-1)-(2n+1)2n+1

=-2-(4n-2)2n，

解得Sn=2+(4n-2)2n.

思路2：累加法

设cn=(2n+1)2n，则cn+1-cn=(2n+3)2n+1-(2n+1)2n=(2n+5)2n=cn+2n+2，

c2-c1=c1+23，

c3-c2=c2+24，

……

cn+1-cn=cn+2n+2，

累加得cn+1-c1=Sn+(23+24+…+2n+2)=Sn+8(2n-1)，

解得Sn=2+(4n-2)2n.

【评注】累加法是数列求和中的常用方法，通过累加法把等差乘等比数列的求和问题转化为等比数列的求和与解一元一次方程，它与错位相减法的本质是一样的.

思路3：裂项相消法

于是F(n)=(2n-3)2n，于是Sn=c1+c2+c3+…+cn=F(n+1)-F(1)=2n+1(2n-1)-2(2-3)=2n(4n-2)+2.

【评注】应用裂项求和法的关键是根据通项公式的特点先把数列cn进行等价变形写成F(n+1)-F(n)的形式，最后利用函数恒等式的原理求得F(n)的解析式，裂项求和法的实质是对数列作等价变形.

思路4：导数法

思路5：面积法

分别过点P1,P2,…，Pn,Pn+1作y轴的垂线，垂足分别为H1,H2,…，Hn,Hn+1，

【评注】应用面积法求解数列问题思路比较新颖，方法十分巧妙，该思路来源于2017年山东省高考数学第19题.应用面积法的关键是根据数列通项公式的特点去构造n+1个动点，进而形成n个直角梯形，使得第n个直角梯形的面积恰好等于该数列的通项.该方法可以让学生从几何图形的角度去体会“等差乘等比”型数列前n项和的几何意义，真正实现“代数运算与几何直观之间的融合”，这也是《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《课程标准》)对几何与代数主题的要求.

三、试题拓展

1.“等差乘等比”型数列求和探究

模型1(裂项求和模型)：若数列{an}的通项an=(an+b)qn(q≠1)，则其前n项和模型为Sn=F(n+1)-F(1),其中F(n)=(An+B)qn，A,B可以由a,b唯一确定.

证明：设F(n)=(An+B)qn，则F(n+1)=(An+A+B)qn+1，

an=F(n+1)-F(n)=(Aqn+qA+qB-An-B)qn=(an+b)qn，

模型2(待定系数模型)：若数列{an}的通项为an=(un+v)qn(q≠1)，则其前n项和模型为Sn=A+qn(Bn-A)，其中A,B为常数，可以由a1,a2唯一确定.

证明：由裂项求和模型得，Sn=F(n+1)-F(1)，其中F(n)=(un+v)qn，u,v可以由a1,a2唯一确定，所以

Sn=F(n+1)-F(1)=(un+u+v)qn+1-(u+v)q=qn(uqn+uq+vq)-(uq+vq),

令-(uq+vq)=A,uq=B则Sn=A+qn(Bn-A)，其中A,B为常数，可以由a1,a2唯一确定.

所以Tn=aqF′(q)+bF(q).

2.“等差乘等比”型数列求和模型拓展

模型2说明了等差乘等比数列的前n项和公式为Sn=A+(Bn-A)qn，其中A,B为待定系数，可以利用a1,a2唯一求得.事实上,可以将等差乘等比数列中的等差数列推广到关于n的任意次多项式，即

四、等差乘等比数列求和模型在高考中的应用

1.2016至2021年高考中的“等差乘等比”型数列统计

“等差乘等比”数列在高考中出现的频率较高，现对2016至2021年高考中的等差乘等比数列的题型与分值进行统计，可以得到：

年份试题科别题型题号分值考点2016山东文简答题1912等差乘等比数列求和理简答题1812等差乘等比数列求和2017山东天津文简答题1912等差乘等比数列求和理简答题1912等差乘等比数列求和文简答题1813等差乘等比数列求和理简答题1813等差乘等比数列求和2020全国卷Ⅰ理简答题1712等差乘等比数列求和全国卷Ⅲ理简答题1712等差乘等比数列求和2021全国乙卷文简答题1912等差乘等比数列求和浙江卷———简答题2015等差乘等比数列求和天津卷———简答题1915等差乘等比数列求和

2.“等差乘等比”型数列求和模型在高考中的应用

下面以2021年全国乙卷文科第19题为例来说明“待定系数模型”“裂项求和模型”“导数模型”在解决等差乘等比数列前n项和中的应用.

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

思路1：待定系数模型

思路2：裂项求和模型

由bn=F(n+1)-F(n)得，

思路3：导数模型

五、素养展现与方法反思

1.素养展现

文章从一道高考题目出发用不同的方法对“等差乘等比”型数列的求和进行了深入探究，给出了该类数列前n项和的三个模型，体现了特殊到一般的数学思想，同时这一过程还可以很好地培养和提升学生的数学素养.具体表现为①题目是以等比数列的求和模型为背景，求等差乘等比数列的前n项和，这是一个综合情境，解决问题的关键是利用错位相减法不能直接求和的数列转化成等比数列的前n项和，这一过程可以很好地培养学生在综合情境中提出运算问题和确定运算对象的能力，进一步提升数学运算素养；②在实际教学中通过五种思路的比较，让学生感受到运用求和模型求解该类数列前n项和的优势，同时五种思路能让学生从不同的层面、不同角度入手去研究“等差乘等比”型数列的前n项和问题，培养学生根据问题特点及运算的条件合理选择运算方法的能力，进一步提升数学运算素养；③运用三种求和模型求解“等差乘等比”型数列的前n项和问题，可以促进学生对函数模型多样性的理解；④运用函数模型求解等差乘等比数列前n项和，体现了数列是一种特殊的函数，在数列教学中应该培养学生运用函数模型解决数列求和问题的能力，从函数的角度去研究数列，让学生感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性，这也是《课程标准》对数列部分的要求.

2.方法反思

学生运用错位相减法求解等差乘等比数列的前n项和问题时，对Sn进行化简时会涉及因式分解、合并同类项、提取公因式等烦琐步骤，进而给求解带来很大的障碍，究其原因，主要是学生在化简过程中没有一个明确的目标，甚至不知道化简到什么程度是最简形式，而模型2正好为化简提供了方向和目标.因此，学生在求解该类数列前n项和时，无论是选择错位相减法，还是裂项求和模型、待定系数模型、导数模型，其最终结果均是A+(Bn-A)qn的形式，这也体现了等差乘等比数列前n项和的对称美.