基于混沌透镜成像学习的哈里斯鹰算法及其应用*

尹德鑫张琳娜张达敏*蔡朋宸秦维娜

(1.贵州大学大数据与信息工程学院，贵州 贵阳 550025；2.贵州大学机械工程学院，贵州 贵阳 550025)

优化是为特定问题的所有可行解决方案找到最佳解决方案的过程。数值优化经常应用到各种领域中来处理优化问题，而群智能算法在解决优化问题中显示了高效且鲁棒的性能。每年都会出现大量新颖的群体智能算法，例如:鲸鱼优化算法(Whale Optimization Algorithm，WOA)[1]、灰狼算法(Grey Wolf Optimizer，GWO)[2]、蜻 蜓 算 法(Dragonfly algorithm，DA)[3]、绯鲵鲣优化算法(Yellow Saddle Goatfish algorithm，YSGA)[4]和麻雀搜索算法(Sparrow Search Algorithm，SSA)[5]等。2019年，Heidari等[6]通过模仿哈里斯鹰在猎物捕食过程中的合作行为提出一种新的群智能算法——哈里斯鹰算法(Harris Hawks Optimization，HHO)，HHO算法操作简单，调整参数少，易于实现，因此HHO算法常用来解决很多工程问题。但HHO算法和其他群体智能算法相似，本身仍存在面对处理多维问题时求解精度不高，易过早收敛等问题。针对这些问题，一些学者以不同的方式对HHO算法进行改进。文献[7]提出一种新型准反射哈里斯鹰算法(QRHHO)，它将HHO算法和基于准反射的学习机制(QRBL)相结合，提高HHO算法的寻优精度；文献[8]提出一种混沌哈里斯鹰优化算法(CHHO)，将混沌映射来生成初始化种群，增加种群多样性，然后将模拟退火算法与HHO结合，提高HHO的利用率且避免局部最优；文献[9]将长期记忆引入到HHO算法中，在整个搜索过程中增加种群多样性；文献[10]提出将哈里斯鹰算法和模拟重复算法混合，优化算法性能；文献[11]提出一种基于自适应协作觅食和分散觅食策略的HHO算法，有效丰富种群多样性，防止局部过早收敛。

然而，综上所述的改进算法在一定程度上提高了勘探能力，避免过早收敛，但是面对高维复杂问题易造成探索和开发之间的不平衡，随着搜索空间维度增加收敛速度变慢。针对这些问题，提出一种基于混沌透镜成像学习的哈里斯鹰算法(FLHHO)，并将FLHHO应用到工业物联网领域。本文的主要贡献如下:①利用Fuch无限折叠混沌策略生成初始种群，有效改善种群多样性。②将黄金正弦算子引入到探索阶段位置更新处，提高HHO的求解精度。③利用透镜成像学习和柯西变异策略对哈里斯鹰最佳位置进行扰动更新，增强探索和开发之间的平衡能力，避免局部最优。④利用标准测试函数和CEC 2017测试函数证明基于混沌透镜成像学习的哈里斯鹰算法(FLHHO)具有更优的算法性能。⑤将认知无线电技术应用到工业物联网传感器网络上，利用FLHHO来解决工业物联网中频谱稀缺问题。

1 哈里斯鹰算法

哈里斯鹰算法(HHO)的灵感来自哈里斯鹰探索和攻击猎物的行为，HHO由两个阶段(即探索阶段和开发阶段)组成，并且哈里斯鹰根据猎物逃逸能量E来采取不同的捕捉策略捕食猎物，能量E的计算公式如下所示:

式中:E0＝2r1-1表示能量的初始状态，该状态在每次迭代期间以(-1，1)的间隔随机变化，r1为(0，1)中的随机数。t为当前的迭代次数，T为最大迭代次数。当｜E｜≥1时，哈里斯鹰处于探索阶段，与此相反，哈里斯鹰处于开发阶段。

1.1 探索阶段

在探索阶段，哈里斯鹰根据其他成员位置和兔子的位置随机栖息在一些地点的情况，通过两种策略来寻找猎物。数学模型如下:

式中:t表示当前迭代次数，T表示最大迭代次数，x i和xrand分别表示第i只哈里斯鹰的当前位置和在当前迭代的随机个体，x m(t)表示当前哈里斯鹰的平均值，xprey(t)为当前最优位置，r1、r2、r3和r4为[0，1]的随机数，lb i和ub i为搜索空间的界限，N表示种群数量。

1.2 开发阶段

在开发阶段，猎物经常试图逃脱，哈里斯鹰则会去追赶猎物并试图抓住它。因此，HHO采用四种策略来模仿哈里斯鹰的捕食行为，这四种策略分别是软包围、硬包围、渐进式快速俯冲的软包围和渐进式快速俯冲的硬包围。HHO通过r和｜E｜两个参数来确认使用哪种策略，｜E｜表示猎物逃逸能量，r表示逃逸概率。

当｜E｜≥0.5和r≥0.5时，猎物仍然有逃逸的能量，此时，鹰使用软包围捕食猎物以使其精疲力尽，从而使鹰可以突击突袭，数学建模如下:

式中:Δx(t)表示猎物位置和迭代t中当前位置之间的差值，r6为(0，1)内的随机数，J表示兔子逃逸过程中的跳跃距离。

当｜E｜<0.5和r≥0.5时，猎物没有逃逸的能量，哈里斯鹰使用硬包围捕食猎物以进行最后突击突袭，数学建模如下:

当｜E｜≥0.5且r<0.5时，猎物有足够能量逃脱鹰的捕捉，但是哈里斯鹰会围绕猎物进行渐进式快速俯冲软包围，并根据猎物的欺骗性行为逐渐纠正其位置和方向，从而选择最佳位置来捕捉猎物，哈里斯鹰的位置更新分为两种策略。在第一种策略中，哈里斯鹰根据猎物的下一步移动向猎物靠近，位置更新如下所示:

在第二种策略中，鹰看到猎物逃跑，它们就会做出更具欺骗性的动作，并且在接近猎物时会进行不规则的快速下潜。为了模仿猎物的逃逸行为，在优化过程中引入了Levy飞行，其位置更新公式如下所示:

式中:D为问题维度，S表示为1×D的随机向量，Levy表示飞行函数，计算公式如(10)所示，β为常数设置为1.5，u和v为[0，1]内的随机数。因此，渐进式快速俯冲的软包围策略的位置更新公式总结为:

式中:F(Y)和F(Z)为目标函数值。

当｜E｜<0.5且r<0.5时，猎物筋疲力尽，逃逸能量很低，哈里斯鹰通过渐进式俯冲硬包围猎物，此策略鹰的更新位置公式与渐进式快速俯冲的软包围中的公式相似。在这种情况下，鹰群尝试缩小其平均位置与目标兔子的位置之间的距离，数学建模如下:

2 基于混沌透镜成像学习的哈里斯鹰算法

2.1 Fuch无限折叠混沌策略

初始值对算法影响很大，如果初始值很大，算法将更耗时且容易陷入局部最优。如果初始值接近全局最优解，则算法收敛很快。因为HHO并无先验知识可用，故通常采用随机生成初始种群，生成的种群分布不均匀，会导致种群多样性减少，种群质量不高，影响算法的收敛速度。而混沌映射具有随机性、非重复性和混沌遍历性等特点[12]，意味着它比依赖于概率的随机生成更能够使种群分布均匀。因此，利用混沌映射生成初始种群来增加潜在解的多样性。

常用的混沌映射有Tent映射和Logistic映射，但是两者都为有限折叠混沌映射。Fuch[13]为可无限折叠的混沌映射，比起传统的混沌映射，Fuch映射具有更佳的遍历性、动态性和收敛性等优点，因此，选用Fuch映射生成HHO初始种群。在FLHHO算法中，Fuch混沌映射值替换随机生成的值，用于在初始化阶段生成哈里斯鹰种群位置。Fuch混沌映射数学表达式为[14]:

式中:x(t)≠0，x∈Z+，t＝1，2，….T。

2.2 黄金正余弦策略

受到正弦函数周期性变化的启发，Erkan Tanyildizi在2017年提出黄金正余弦算法[15](Golden-SA)，利用正弦函数结合黄金分割系数来执行迭代搜索，该算法具有良好的鲁棒性和收敛速度。

在HHO探索阶段中采用随机游走的方式进行位置更新，搜索空间比较广泛，并不能确保鹰群可以完整探索最佳搜索空间区域。于是本文将黄金正弦算子引入到HHO探索阶段位置更新中，利用黄金分割搜索使搜索空间的个体能够按最优路径搜索，如图1所示为种群个体搜索空间的运动轨迹图，个体可以在搜索空间中连续寻找最优解，Golden-SA可以根据正弦函数和单位圆之间的关系遍历正弦函数上的所有值从而提高了算法的全局探索能力[16]。同时，黄金分割系数使搜索个体能够以固定的步长更新距离和方向，并不断缩小要探索的空间，以便个体能在目标位置的区域(而不是整个搜索空间)中进行搜索，从而提高了算法的局部开发能力。

图1 种群个体运动轨迹图

式中:R1∈[0，2π]，R2∈[0，π]，x1＝-π+(1-τ)和x2＝-π+(τ×2π)是通过黄金比率计算的系数，可以使个体搜索空间时更接近目标值，τ＝(1-√5)/2为黄金分割系数。

2.3 融合透镜成像学习和柯西变异策略

在原始的HHO中，目标位置的更新依赖于每次迭代时种群的更新，重新计算适应度值，选择最优适应度值个体代替当前个体，未考虑HHO会陷入局部最优的情境，针对这类问题，融合透镜成像学习和柯西变异策略，依概率对目标位置进行扰动更新，减少HHO陷入局部极值的风险。

反向学习是Tizhoosh于2005年提出[17]，其主要思想是生成可行解的相反解，评价相反解并选择更好的候选解。反向学习可以扩展当前哈里斯鹰的搜索范围，并且反向解可以更接近全局最佳位置，因此反向学习策略可以加快收敛速度。

定义1反向数:假设x是[a，b]中的实数，则x的反向数x*定义为:

定义2反向点:假设X＝(x1，x2，…x D)为D维空间的一点，且x j∈[a j，b j]，j∈1，2，…，D。则X的反向点可以定义为，其中

反向学习策略虽然在种群初始化中起到重要作用，但是在迭代后期，大量的个体会聚集在局部最优值周围，导致哈里斯鹰陷入局部最优陷阱，削弱反向学习策略作用。受到文献[18]的启发，利用透镜成像原理对反向学习策略进行扩展来解决上诉问题。

假设哈里斯鹰在搜索空间中寻找目标值反向点的过程为透镜成像的过程，如图2所示，在一个横坐标区间为[a，b]上的xbest处高度为h的物体，通过在原点o(o＝(a+b)/2)处焦距为r的透镜投影到高度为h′处成像。此时，xbest就能以o为基点找到对应的反向点。由成像原理得出以下公式:

图2 透镜成像过程图

式中:k＝h/h′为缩放因子，利用式(19)变换可得到反向点的计算公式:

可以很明显从式(20)看出，当k＝1时，透镜成像反向学习策略就是一般的反向学习策略，透镜成像学习策略的反向点随着k的变化而变化，可以通过调节k值来寻找最优位置，将透镜成像学习策略引入到哈里斯鹰目标位置更新中，以提高收敛速度，使哈里斯鹰摆脱陷入局部最优的风险，使算法有更大的机会收敛于全局最优解。

柯西变异源自于柯西分布，是一个数学期望不存在的连续性概率分布，其概率密度函数为:

柯西分布具有较长的步长、两端具有较长的尾巴和分布紧凑等特点[19]。因此，很容易从原点生成随机数，并且它能产生比高斯变异更大的范围分布随机数。将柯西算子引入目标位置更新，发挥柯西算子的调节能力，增强算法跳出局部最优的能力:

为了提高HHO的寻优性能，FLHHO采取动态选择策略来更新目标位置，在一定的概率pr下交替选择透镜成像学习策略和柯西变异策略来更新目标位置。

pr是随迭代自适应更改的参数，利用概率pr选择不同策略更新目标位置。在迭代早期阶段pr相对较大，此时pr>rand，利用式(23)对目标位置进行柯西扰动，有效避免种群多样性下降和过早收敛。提高HHO从局部最佳位置逃出的能力。当pr

2.4 FLHHO算法复杂度分析

FLHHO算法和HHO算法的复杂度与种群数量N、空间维度D和迭代次数T有关。HHO算法的计算复杂度通过种群初始化、适应度值计算和种群更新三个基本过程来表示，那么HHO算法复杂度的计算如下所示:①在初始化阶段，初始并分配N只哈里斯鹰的值，计算复杂度为O(N)；②计算哈里斯鹰最佳适应度值复杂度为O(TN)；③在种群更新阶段，计算哈里斯鹰位置更新时算法的复杂度为O(TND)。

由此可得HHO算法的时间复杂度为:

HHO初始化种群阶段的复杂度和FLHHO一样，且引入黄金正弦策略的探索阶段和原探索阶段的计算复杂度几乎相同，计算采用动态策略对哈里斯鹰目标位置更新的复杂度为O(TND)+O(TND)，故FLHHO的复杂度计算如下所示:

根据以上分析，FLHHO和HHO具有相同的复杂度，FLHHO算法增加了全局和局部搜索能力，但是没有增加时间复杂度.

3 仿真实验与结果分析

为了验证FLHHO算法的优越性和每个改进策略的有效性，本文选取10个常用的标准测试函数和最新的测试函数IEEE CEC 2017[20]来进行测试。本文仿真实验分为5个部分:①通过标准测试函数验证三种改进策略对改进HHO的有效性。②将FLHHO与最新改进的HHO进行比较，通过标准测试函数测试数据证明FLHHO的算法性能优于其他改进算法。③将FLHHO算法与其他群体智能算法进行比较，通过实验数据验证FLHHO的优越性。④将FLHHO算法与其他群体智能算法进行Wilcoxon秩和检验，检验FLHHO与其他算法的显著性差异。⑤将FLHHO算法求解CEC 2017测试函数，并与其他群体智能算法比较，证明FLHHO算法的鲁棒性。

本文引入10个标准测试函数，如表1所示，标准测试函数分为单峰函数、多峰和固定低维函数。其中F1～F7为单峰函数，仅具有一个最优值，通常用于测试算法的开发能力；F8～F13是多峰函数，具有多个最优值，将其用于测试探索能力和跳出局部最优能力，F14为固定低维函数，其也有多个的最优值。但是，由于维数低，很容易找到最优值，因此可以用来测试算法的稳定性。

表1 标准测试函数

为了公平起见，在本文中，所有算法都具有相同的条件以进行公平比较，最大迭代次数T设置为500，种群数量N设置为30，每种算法独立运行30次，具体参数设置参照各算法引用文献。

3.1 与不同改进策略比较

利用FLHHO求解表1中的测试函数，并与结合Fuch混沌策略的HHO1、引入黄金正弦策略的HHO2和融合透镜成像学习和柯西变异策略的HHO3进行比较，测试结果如表2所示(测试维度D＝30)。

表2 测试函数比较结果(维度D＝30)

因为单峰函数只有一个全局最优解，而没有其他局部最优解存在，可用于分析优化算法的开发能力。从表2可以清楚地知道FLHH求解单峰函数F1～F4时，最优值、平均值和标准差都达到理想值。虽然求解单峰函数F7没有达到理想值，但F7的其他指标都优于HHO、HHO1、HHO2和HHO3。与单峰测试函数相比，多峰测试函数具有许多最优解，其中一个是全局的，其余的是局部的，这些多峰测试问题通常用于评估算法的探索能力。可以从表2多峰函数F8、F10、F11和F13中的数据看出，对于函数F8，四种算法的结果非常接近，但是可以从标准差方面看出FLHHO的稳定性略高于其他四种算法。对于函数F10和F11，每种算法都可以获得理论上的最优解。对与函数F13，FLHHO拥有更高的寻优精度和稳定性。F14是固定峰函数，可用于测试算法的稳定性和探索能力。对于求解固定峰函数F14，FLHHO的寻优性能全面超越了HHO，并且求解结果与理论值非常接近。

可以从表2的三个评估指标看出，与HHO相比，对于求解单峰函数F1～F4，基于透镜成像学习与柯西变异策略的HHO3改进效果非常显著，它可以准确地获得理论上的最佳值，HHO1和HHO2相对来说，改进效果较弱。HHO3求解F7时，虽然没有达到最优值，但是它的三个评估指标都优于HHO、HHO1和HO2，并且HHO3的稳定性优于FLHHO，这说明透镜成像学习与柯西变异策略可以有效提高算法最佳搜索性能。HHO1对于求解单峰函数的效果不如其他策略，但是对于求解多峰函数13，HHO1的最优值、平均值和标准差明显优于其他算法，这说明在探索能力上具有优异的性能，这归因于哈里斯鹰的Fuch混沌策略提供了较高的种群多样性。表2评价指标证明了无论在单峰函数还是多峰函数中，融合3个改进策略的FLHHO具有更好的开发能力和探索能力。

3.2 与不同改进HHO算法的比较分析

为了进一步验证FLHHO算法的优越性，将FLHHO独立运行30次求解标准测试函数的结果同基于准反射哈里斯鹰算法[7](QRHHO)、改进的哈里斯鹰算法[21](MHHO)和混合差分算法的哈里斯鹰算法[22](HHODE)相比。设置每种算法的共同参数最大迭代次数T＝500、种群规模N＝30，空间维度D＝100。求解部分基本测试函数，并将各个算法的最优值、平均值和标准差作为评价指标，结果分析如表3所示。

表3 测试函数比较结果(维度D＝100)

可以从表3可以看出，相比其他改进算法，FLHHO在求解高维测试函数上具有出色的寻优性能。QRHHO和FLHHO一样，在求解单峰函数F1～F4时，近乎都能获得理论上的最优解，并且以压倒性的优势高于其他两种改进算法，MHHO在求解单峰函数方面上算法性能最差。对于求解函数F7，MHHO的寻优性能最差，HHODE次之，FLHHO的寻优精度最优，但和QRHHO相差不大。对于求解函数F10和F11，所有函数都能获得理论值，这主要是由于HHO已经为这些函数提供了最优结果。

在求解多峰函数F13上，FLHHO的寻优精度最高，避免算法获得局部极值。QRHHO、MHHO和HHODE在求解多峰函数F13时，所获得的寻优值远不如FLHHO，特别是QRHHO在求解多峰函数F13时易陷于局部最优解，寻优性能最差。不管是求解单峰函数还是多峰韩式，相比其他改进HHO算法，FLHHO获得更高的求解精度和稳定性，这进一步说明了FLHHO改进策略的优越性。

3.3 与其他群智能算法的对比分析

将FLHHO与HHO[6]、鲸鱼算法[1](WOA)、自适应灰狼算法[23](IGWO)和麻雀搜索算法[5](SSA)进行比较。为了显示公平性，将各算法的迭代次数T设置为500，种群数量N设置为30，算法空间维度D为30。各算法在函数F1～F4、F7～F8和F13上的收敛曲线对比图如图3～图9示。FLHHO算法在求解大多数函数上均表现出色，其收敛速度远远优于其他群智能算法和HHO，特别是在求解单峰函数上，HHO和其他算法还未收敛时，FLHHO就迅速找到理论上的最优值。我们可以从图7看出，各算法在求解F7时，都未能达到理想值，但FLHHO的寻优精度最高且收敛速度最快，HHO次之，IGWO的寻优精度最低，SSA的收敛速度最慢。

图3 F1收敛曲线图

图4 F2收敛曲线图

图5 F3收敛曲线图

图6 F4收敛曲线图

图7 F7收敛曲线图

图9 F13收敛曲线图

此外，从图8可以看出，FLHHO在求解多峰函数F8方面取得了较快的收敛速度，但其求解精度和HHO大致相同。从图9的多峰函数F13收敛曲线可以看出，FLHHO在解决复杂问题方面上的效果明显优于其他算法，虽然可能会陷入局部最优状态，但可以看出，新提出的FLHHO的求解精度和收敛速度都高于其他算法。FLHHO在一些函数上远远优于原始的HHO，因为它实现了特别高的求解精度和求解速度。这些曲线进一步说明了本文提出的FLHHO算法的有效性。

图8 F8收敛曲线图

3.4 Wilcoxon秩和检验

Wilcoxon秩和检验是一种非参数统计检验方法，本文使用Wilcoxon秩和检验来比较ISSA算法与HHO、MHHO、HHODE、IGWO和SSA算法之间是否有显著性区别的差异。表4列出了Wilcoxon秩和检验的统计结果，当检验结果P<0.05时，结果判断S用“+”表明FLHHO的结果有明显改善，显著性高于其他算法；当检验结果P>0.05时，S用“-”表明FLHHO的结果较差，无法进行显著性判断时S用“＝”表示。

秩和检验测试是基于30次独立运行进行的，每次运行最多进行300次迭代，可以从表4明显看出，FLHHO算法除了与HHO算法、MHHO算法和HHODE在F10函数和F11函数上无法进行显著性判断外，对于其他算法不管是在单峰函数和多峰函数上的检验结果，结果判断S都为+。这说明相比HHO、MHHO、HHODE、IGWO和SSA，FLHHO更具有显著性优势。

表4 Wilcoxon秩和检验结果

3.5 求解CEC 2017函数测试问题

CEC2017是最新的基准函数集，包括单峰函数、简单多峰函数、混合函数和组合函数[20]。其中F1～F3为单峰函数，F4～F10为简单多峰函数，F11～F20为混合函数，F21～F30为组合函数。参数详细信息见文献[20]。通过求解C2017，将FLHHO与HHO、鲸鱼算法[1](WOA)、自适应灰狼算法[23](IGWO)和麻雀搜索算法[5](SSA)的测试结果进行比较，测试结果如表5所示(空间维度D＝30)。

表5 CEC2017测试函数的性能比较

续表5

可以从表5可知，相比其他四种，在大多数测试函数上FLHHO获得更高的寻优能力，且稳定性也高于大多数算法。可以从平均值和方差看出，在25个函数上，FLHHO的测试结果是优于HHO和WOA，在求解18个测试函数上，FLHHO的测试结果优于IGWO，在求解20个函数上，FLHHO优于SSA。按总的排名来说，FLHHO排第一，IGWO次之，WOA最后。并且对于求解单峰函数F1～F3，相对其他算法FLHHO表现出更高的寻优精度，在多峰函数F4～F10上，除了在F4上的寻优精度略低于IGWO和SSA，其他函数上都表现最优，这表明FLHHO能更好地平衡勘察和开发，避免陷入局部陷阱。对于混合函数，FLHHO在F12、F13、F18、F20和F21获得更高的求解精度，对于其他函数表现一般。对于组合函数，FLHHO仅在F25和F27上表现最优，这说明在组合函数上，FLHHO还有提升空间。

4 FLHHO算法在工业物联网中的应用

工业物联网(IIOT)是指将采集到的数据通过网络传输或处理，并不断将其应用到工业生产的各个环节，实现工业智能化[24]。相对传统物联网，工业物联网(IIOT)需要连接更多的传感器设备，还需要处理海量数据，通信业务量的增加易造成了各种能量的大量消耗，因此，未来的网络必须满足工业物联网的各种需求，例如频谱、功率和成本[25]，频谱稀缺会到影响工业物联网的服务质量(QoS)。因此，基于认知无线电的工业物联网传感器网络可以很好地解决工业物联网中频谱利用率低的问题，大大降低能耗。

本文结合认知工业物联网(CIIOT)的概念，针对大多数算法过于早熟，不易处理高维问题，导致频谱分配的能量效率不高的问题，将FLHHO算法应用到工业物联网传感器网络的频谱分配中去，为认知工业物联网传感器网络用户寻找最佳频谱分配方案。

在工厂场景中随机分布着主用户(PU)和次用户(SU)，IIOT中的传感器节点可以被作为是IIOT传感器网络中的用户，并且存在主基站(PBS)和认知基站(CBS)，它们都有各自的覆盖范围，通过在IIOT传感器网络中融合认知无线电技术，使主次IIOT传感器网络用户实现频谱资源共享，大幅度提升频谱资源利用率。采用集合ρ＝{1，2，…，N}表示认知用户，集合R＝{1，2，…，M}表示主用户。将频谱分配[26]映射到种群中每只哈里斯鹰的位置，算法迭代结果中的最优种群解对应于频谱分配的能量效率，其中，能量效率的数学表达式为:

式中:r n为次用户的效益值，P n是传输功率，h n，m用来表示当h n，m＝1表示信道m可以认知用户n占用，en，m表示IIOT传感器网络用户n占用频谱m所得到的效益，w表示带宽，SINR表示信噪比，pnoise表示噪声功率，s表示信道增益，A服从瑞利分布，PL()表示路径损耗，N表示认知用户数，M表示可用信道数。

考虑到现实中的功率传输和用户在通信过程中会产生路径损耗等问题，根据文献[27]，定义用户的路径损耗模型如式(32)所示:

式中:d n表示IIOT传感器网络用户n到CBS的距离，d0是参考距离，ν是发射频率波长，μ是路径损耗因子，φ是阴影参数。

因为CBS和PBS的覆盖范围交叉重叠会产生干扰，为了有效降低干扰的影响，本文采用基于接受信噪比的闭环功率控制算法来调整发射功率，闭环功率控制的数学表达式如(33)所示:

式中:ζ为路径补偿参数，Pmax表示最大传输功率，P0表示用户特定的额定参数，f(λi)会根据当前用户SINR对发射功率进行调动，当SINRSINRhigh时，f(λi)＝-1下调用户的发射功率；当SINR≥SINRlow并且SINR≤SINRhigh时，f(λi)＝0，对用户的发射功率不做调整。

为了验证FLHHO算法在频谱分配上的有效性，将FLHHO算法与HHO算法[6]、麻雀搜索算法算法[5](SSA)作比较。实验参数设置如表6所示。

表6 仿真参数设置

图10为三种不同算法的能量效率对比图，可以从图10看出，能量效率值会随着迭代次数的增大而增大，其中FLHHO的能量效率最大，HHO次之，SSA最差，虽然同为最近两年新提出来的群体智能算法，HHO算法在处理工程问题上的优越性明显强于SSA算法。图11为在不同的信噪比上限值条件下的平均能量效率变化趋势图，当SINR上限值逐渐增大时，平均能量效率会随之增加，FLHHO的平均能量效率增长最快，HHO次之，SSA的平均能量效率较两者相差过大，故在图中呈直线趋势。由此可知，SINR上限值可以影响用户的平均能量效率，并且当参数设置越高时，平均能量效率也就越高，但SINR上限值设置过高会导致用户受到过大的干扰，从而减弱通信性能。

图10 不同算法能量效率对比图

图11 不同信干噪比下的平均能量效率

5 结论

针对HHO算法在优化过程中缺乏勘探和开发阶段之间的平衡的问题，本文提出一种基于混沌透镜成像学习的哈里斯鹰算法(FLHHO)，在生成种群阶段，引入Fuch混沌策略，丰富种群多样性，然后将黄金正弦策略用在探索阶段扩展搜索空间，提高哈里斯鹰算法的平衡能力。最后将混合透镜成像学习和柯西变异策略引入到哈里斯鹰最佳位置，来提高麻雀的收敛速度和寻优精度，在勘探和开发趋势之间建立合理的平衡。为了进一步说明所提出的FLHHO算法性能的优 越 性，将FLHHO与HHO、QRHHO、MHHO、HHODE、HFPSO、IGWO、WOA和SSA进行比较，并验证三种改进策略对FLHHO的有效性，利用标准测试函数、Wilcoxon秩和检验和CEC2017函数来验证，实验结果表明，FLHHO的实验数据明显优于其他算法，并且在求解精度、稳定性和避免局部极值方面展示了较高的优越性。此外，将FLHHO算法应用到CIIOT频谱分配优化中，以能量效率为评价指标与HHO和SSA进行对比。结果表明，FLHHO优于其他算法，可获得更高的能量效率。