关于肿瘤增长模型解的适定性研究

2022-01-15樊增欢蒲志林

西南科技大学学报 2021年4期

樊增欢蒲志林

(四川师范大学数学科学学院四川成都 610068)

Cahn-Hilliard 方程最早由Cahn 和Hilliard 于1958年引入[1]用于模拟二元合金相分离的过程。其后，该方程在物理、生物、工程等许多领域的扩散界面模型中得到广泛应用。例如，该方程可以用来描述固体表面上微滴的扩散、生物种群的竞争和排斥、河床迁移过程等[2]。

近年来，扩散界面模型被用于描述肿瘤的生长发展[3-11]。由于肿瘤的生长发展会受到一些生物机制的作用，例如，由营养物质的变化、趋化性以及某些特定的化学物质的作用，从而产生的细胞增殖、凋亡。因此，通常会用反应扩散方程与Cahn-Hilliard 方程耦合形成Cahn-Hilliard 反应扩散界面模型来描述肿瘤发展进程。

文献[12]提出了在考虑趋化性和某些化学物质影响下肿瘤增长的模型方程——Cahn-Hilliard 反应扩散方程：

(1)

该模型对生长核进行了线性稳定性分析，特别是分析了主动输运项的作用。通过数值计算，研究了主动输运项对特定生长情景的影响。

在忽略趋化性和某些化学物质影响下，结合文献[12]，本文主要研究如下肿瘤增长模型[13]

φt-Δμ=(Pσ-A)h(φ),(x,t)∈Ω×(0,∞)

(2)

μ=-Δφ+Ψ'(φ),(x,t)∈Ω×(0,∞)

(3)

σt-Δσ=-Cσh(φ)+B(σs-σ),(x,t)∈Ω×(0,∞)

(4)

(5)

φ|t=0=φ0,σ|t=0=σ0,x∈Ω

(6)

与文献[12]相比，本文忽略趋化性和某些化学物质的影响，数学模型变得更加简单；与文献[13]一样，都考虑营养物质浓度对肿瘤相场的影响，但对非线性项Ψ′(s)=f(s)考虑更一般的情况下，研究该偏微分方程系统解存在的唯一性。

1 预备知识和主要结果

令R是带有Neumann边界的Δ算子的弱形式，即令

(7)

对于一类定义在Ω的函数(或泛函)v，记v的空间平均值为

(8)

现在，对于任意的ζ∈V′，令

(9)

〈Ru,Nζ〉V0=〈RNζ,u〉V=〈ζ,u〉V

(10)

假设1 令系数满足：

P,A,B,C,σs∈(0,1)

(11)

Ψ′(s)=f(s)

(12)

(13)

(14)

f(s)·s≥c1Ψ(s)-c2,Ψ(s)≥-c3,c1,c2,c3≥0

(15)

(16)

最后我们假设初值满足：

σ0∈L∞(Ω),0≤σ0≤1,a.e.x∈Ω

(17)

φ0∈V,Ψ(φ0)∈L1(Ω)

(18)

(a)对于每个T>0，以下正则性质成立：

φ∈H1(0,T;V′)∩C0([0,T];V)∩L2(0,T;H2(Ω))

(19)

f(φ)∈L2(0,T;H)

(20)

μ∈L2(0,T;V)

(21)

σ∈H1(0,T;V′)∩C0([0,T];H)∩L2(0,T;V)∩L∞(0,T;L∞(Ω))

(22)

(b)式(2)-式(6)的解满足以下方程：

φt+Rμ=(Pσ-A)h(φ),x∈V′,a.e.t∈(0,∞)

(23)

μ=Rφ+Ψ′(φ),x∈H,a.e.t∈(0,∞)

(24)

σt+Rσ=-Cσh(φ)+B(σs-σ),x∈V′,a.e.t∈(0,∞)

(25)

(c)以下条件成立：

φ|t=0=φ0,σ|t=0=σ0,a.e.x∈Ω

(26)

(27)

2 定理1的证明

第一步：寻找近似解的先验估计。

首先推理关于营养物质的基本有界性：

第一，对方程(4)用-σ-检验(其中-σ-表示σ的负部)，使用h的一致有界性，由于σs>0，且σ≤0可以得到B(σs-σ)是正的。则有:

(28)

然后，由式(17)和Gronwall 引理可知，对每个t>0和x∈Ω，都有σ(t,x)≥0。

(29)

现在分两种情况进行讨论：

(30)

(1+yp)′≤cp(1+yp)

(31)

所以

(32)

因此，开p次方，并且令p→∞，有:

(33)

其中cT表示只与时间T有关的常数。

第二步：推导系统的能量估计。

首先，用μ来检验方程(2)，用φt来检验方程(3)，加起来有:

(34)

用方程(3)来代替μ，得到:

(35)

(36)

接下来，用σ来检验方程(4)，有:

(37)

结合式(35)、式(36)、式(37) 可知:

(38)

用φ来检验方程(2)，得到：

(39)

由式(38)、式(39)联立求解，可得：

(40)

因此，由Gronwall 引理，结合不等式(40),可以得到以下先验估计：

(41)

(42)

(43)

(44)

其次，对方程(3)在Ω上积分，得到：

(45)

再结合假设1中的式(16)，得到：

(46)

结合式(43)，有：

(47)

再结合式(42)，可得：

(48)

用f(φ)来检验方程(3),由式(41)和式(47)得到：

(49)

然后，利用椭圆正则性条件等，可以得到：

(50)

第三步：推导关于φ，σ的偏导数的一些估计。

用非零函数v∈V来检验方程(2)，得到：

(51)

由式(41)，式(48)得：

(52)

用类似的方法检验方程(4)，有：

(53)

下面用Faedo-Galerkin 方法[14]证明弱解的存在性及唯一性。

事实上，由式(33)，式(41)-式(44)，式(47)-式(50)，式(52)-式(53) 以及标准的弱紧性理论，可以得到关于n的序列(φn,μn,σn)在Sobolev 空间中弱收敛或者弱*收敛于(φ,μ,σ)。另外，由式(52)、式(53)和Aubin-Lions 引理，可以得到(φn,σn)在Lp空间中强收敛于(φ,σ)，因此是逐点收敛的。特别地，结合式(49)和φn是逐点收敛的，并且使用Lebesgue 控制收敛定理，可以得到：f(φn)→f(φ)在L2(0,T;H)中弱收敛，那么根据h和f的连续性可对非线性项取极限，从而得到弱解的存在性。

假设式(2)-式(6) 存在两个解(φ1,μ1,σ1)和(φ2,μ2,σ2)，他们相对应的初值分别是(φ1,0,σ1,0)和(φ2,0,σ2,0)。然后令(φ,μ,σ):=(φ1-φ2,μ1-μ2,σ1-σ2)满足以下方程组：

φt+Rμ=Pσh(φ1)+(Pσ2-A)(h(φ1)-h(φ2)),x∈V′,a.e.t∈(0,∞)

(54)

μ=Rφ+Ψ′(φ1)-Ψ′(φ2),x∈H,a.e.t∈(0,∞)

(55)

σt+Rσ=-Cσh(φ1)-Cσ2(h(φ1)-h(φ2))-Bσ,x∈V′,a.e.t∈(0,∞)

(56)

φ|t=0=φ0,σ|t=0=σ0,x∈Ω

(57)

其中令φ0:=φ1,0-φ2,0，σ0:=σ1,0-σ2,0。

特别地，方程(54)在Ω上积分，有：

(58)