费马原理于球面界面成像的应用——点光源在主轴上

赵思浩

苏州科技大学，江苏 苏州 215009

0 引言

费马原理是几何光学的一个基本原理。用数学语言可表达为

式中：δ为变分符号；A、B为空间中两个固定点；n为介质折射率；s为光实际传播的路程。

文章所研究的均为理想情况，即光在同种均匀、各向同性的介质中传播，因此折射率n为定值。本着从特殊到一般的思想，并着重于研究点光源在主轴上的特殊情况，通过费马原理直接推导出球面与薄透镜模型下的光线方程与物象公式[1]。

1 球面界面的理想状态下成像

1.1 凸球面反射模型中光线方程及近轴条件下物象公式

在凸球面情况下，射入的光线是发散的，如图1所示。其中D代表点光源，O为顶点，B代表凸透镜球心并设即为透镜的曲率半径。a、b、b′、θ、r均大于零，且所有符号遵循新笛卡尔坐标系的要求。AH⊥BD，H为垂足，从图1的几何关系可得：

图1 凸球面反射模型

则光线DAD′的光程如下：

根据费马原理[2-3]，将式（3）对θ求导，并令其等于零，有

将式（4）化简、整理，可得：

式（5）为主轴上凸球面反射模型中的光线方程。近轴条件下的物象公式只需要取一个极限，即令角θ趋于零，则：

将式（6）代入式（5），可得物象公式：

1.2 凸球面折射模型中光线方程及近轴条件下物象公式

凸球面折射模型如图2所示。

图2 凸球面折射模型

在该模型中，D为点光源，令，则：

则其光程如下：

根据费马原理，基于式（9）对θ求导，求导后令其等于零，可得：

式（12）即凸球面折射模型中的光线方程。要得到物象公式只需再令式（9）中的θ趋于零，即，代入式（11），则有

式（13）即为凸球面折射模型中的物象公式。

1.3 凹球面反射模型中光线方程及近轴条件下物象公式

在凹球面模型中，采取的研究方法与凸球面一样，如图3所示。

图3 凹球面反射模型

D为点光源，物方折射率为n，DA为入射光线，AD为出射光线，O为球心，作AA与OD垂直，∠AD′O为θ，O′A为球面半径，记为-r。并令AD＝b，AD′＝b′，DO＝-a，D′O＝-a′，则

可得：

式（15）即凹球面模型下的光线方程。要得到物象公式，只需要在式（14）中令θ→0，即b→-a，b′→-a′，则有

式（16）即为物象公式。

1.4 凹球面折射模型中光线方程及近轴条件下物象公式

凹球面折射模型如图4所示。

图4 凹球面折射模型

则光程为

代入式（17）后，对θ求导，令其为零，可得：

2 结束语

费马原理之于几何光学的地位，类似牛顿三定律之于牛顿力学一样。文章研究表明，用费马原理推导一些简单模型的光线方程与物象公式具有数学一致性。