换热单元面积费用指数松弛策略优化换热网络

金 艳，崔国民，蒋 瑜，赵倩倩，张冠华

（上海理工大学 能源与动力工程学院 新能源与科学研究所上海市动力工程多相流动与传热重点实验室，上海 200093）

换热网络综合（HENS）以最大的能量回收或最小的年综合费用（TAC）为优化目标［1］。换热网络优化方法中，同步优化法［2］主要包括确定性方法［3］和启发式方法［4］。确定性方法有分支界定法［5］、外部逼近法［6］、极大值极小值法［7-8］等，这类方法有较高的计算精度，但对初始点依赖性较高，易陷入局部最优。启发式方法进化机制相对简单，在有限空间内，能够迅速解决问题，包括遗传算法［9-10］、模拟退火算法［11-12］、粒子群算法［13］、微分进化算法［14-15］等。于盛男等［16］提出以换热单元数为导向的接受差解概率策略，提高算法的全局搜索能力；朱玉双等［17］通过限制参与进化的换热单元数，增强了后期精细搜索能力，使得算法具有良好的持续性；苏戈曼等［18］基于节点非结构模型，通过分析换热单元生成几率和个数对网络的影响，提出动态调整换热单元生成参数，提高优化效率；邓炜栋等［19］分析了换热单元生成、消去障碍，提出固定投资费用松弛策略，引导有结构进化障碍的换热单元生成和消去。上述改进方法均是从影响换热单元个数的角度对问题进行处理以增强结构进化能力，一定程度上强化了算法全局搜索能力，但对问题优化效果有限。换热网络优化过程中，存在固定结构，换热单元数和热冷流体匹配关系很难发生改变，TAC下降趋势逐渐平缓，个体很容易陷入停滞状态，严重影响算法优化效率。面积费用指数作为幂数项，指数的变化可改变整型变量和连续变量优化路径，增加个体向其他潜力方向优化的可能性，同时为便于在更大可行域内搜索较好解，放松面积费用指数对目标函数的约束，减小目标函数优化的压力，提出换热单元面积费用指数松弛策略（松弛即在变量可变化范围内，根据条件变化采取调整，降低优化变量对目标函数的紧张程度，放松约束，使目标函数获得最佳求解方案）。

本工作在优化陷入停滞状态时选取部分换热量不为零的换热单元参与松弛，通过换热器和公用工程主辅协同松弛来保持连续变量持续优化，增强结构变异能力，最后通过2 个算例验证改进策略的有效性。

1 换热网络优化数学模型

1.1 问题描述

采用节点非结构模型，包含热流体和冷流体，每股流体均设置一定数量节点，通过随机方式选取热冷节点形成匹配。

热、冷流体的总节点数由式（1）和式（2）计算。

式中，UH为热节点数；UC为冷节点数；NH为热流体股数；NC为冷流体股数；GBH为热节点总数；GBC为冷节点总数。

同时，网络中热、冷节点编号需满足式（3）和式（4）。

式中，nH为热流体节点编号，nH=1，2，…，UH；nC为冷流体节点编号，nC=1，2，…，UC；nkH为网络中热节点编号，nkH=1，2，…，GBH；nkC为网络中冷节点编号，nkC=1，2，…，GBC；i，j分别为热、冷流体编号。

图1 为换热网络非结构模型。由图1 可知，该网络随机生成4 个换热单元（2 股热流、2 股冷流），流体末端设置冷热公用工程。

图1 换热网络非结构模型Fig.1 A non-structural model of heat ecxchanger networks.

1.2 目标函数

换热网络的目标函数是TAC 最小，表达式见式（5）。

式中，CHU，CCU分别为热、冷公用工程量的费用系数；CFHU，CFCU，CFHE分别为热、冷公用工程及换热器的固定投资费用系数；分别为热、冷公用工程及换热器面积费用系数；QHUj，QCUi分别为热、冷公用工程用量，kW；Z，Zi nH分别为冷、热公用工程与热节点处换热器存在与否的0 ～1 变量；β为面积费用指数；A为换热面积，m2。

1.3 约束条件

每股流体上的热平衡计算见式（6）和式（7）。

式中，与分别为流股经过换热器的进口与出口温度，℃；W为热容流率，kW/℃；Qi nH为第i股热流体上第nH个节点处换热器换热量，kW；Qj nC为第j股冷流体上第nC个节点处换热器换热量，kW。

冷、热公用工程的热平衡计算见式（8）和式（9）。

温度可行性约束条件见式（10）和式（11）。

最小温差约束条件见式（12）～（17）。

式中，ΔTmin为最小传热温差，℃。

每次新生成的换热单元应避免与当前网络中已存在的换热单元重合，因此每次选取的节点编号不重合，且满足式（18）和式（19）。

式中，QnkHnew，QnkCnew为新生换热单元换热量，kW；nkHnew，nkCnew为新生换热单元热、冷流体节点编号。

2 强制进化随机游走算法

本工作采用强制进化随机游走（RWCE）算法中的节点非结构模型，每个结构初始不存在任何换热匹配，通过热、冷节点的随机匹配产生新的换热器，经随机游走、选择和变异操作，满足终止条件即停止。RWCE 优化节点非结构模型具体流程如下。

1）种群初始化

种群中包含N个个体，初始时不进行任何换热匹配，仅依靠冷、热公用工程达到目标温度。

2）存在的换热匹配进化

对每个个体中匹配的换热量（Qn kit）随机游走，设置换热量最小值消去换热器。进化公式如式（20）所示。

式中，r1 为0 ～1 之间均匀分布的随机数；Qmin为设置的最小换热量，kW；Q′′n kit为参与进化后换热量，kW；若随机游走后该位置的换热器被消去，则消去位置的冷、热节点编号也为零。

3）生成新的换热匹配

个体进化后，若节点上仍有未生成换热单元的位置，则按式（23）新生换热单元。

式中，Qmax为新生换热单元的最大换热量，kW；γ为新生成几率；r2 为0 ～1 之间均匀分布的随机数。

4）选择与变异

若个体游走后TAC 小于当前TAC，则保留游走后的结构，将此次游走后的结构作为下一次迭代的初始结构，若个体游走后的费用没有减小，则以小概率（δ）接受差解。

式中，Nk为换热网络中总的换热器数；Qnit为第n个个体随机游走前的解，Qnit+1表示下一次迭代初始解。

5）终止条件

若迭代步数满足：迭代步数不小于最大迭代步数，则迭代停止。

3 换热单元面积费用指数松弛策略

RWCE 算法由于面积费用指数、对数温差以及流体匹配关系等因素导致了换热网络的非线性。而面积费用指数为幂函数，种类多且性质规律不一，指数的大小就对优化目标函数影响较大，决定了图像上凸的程度，远离还是靠近纵坐标。

3.1 换热单元面积费用指数分析

根据换热网络实际情况，分析换热单元面积费用指数（大于1 和小于1）对RWCE 优化过程的影响。表1 为算例1（以15 股流体（8 股热流、7 股冷流）为例，简称15SP）的流体参数。设置优化参数为：N=1，UH=20，UC=20，ΔL=100 kW，ψe=0.5，Qmin=5 kW，γ=0.1，Qmax=90 kW，δ=0.01。其中，换热单元费用按8 000+500A0.75计算，单位为$/（m2·a）；取热公用工程费用为80 $/（kW·a），冷公用工程费用为10 $/（kW·a）。

表1 算例1 的流体参数Table 1 The fluid parameters of Case 1

换热网络以最小TAC 为优化目标，通过费用变化可反映出优化效率和质量；本工作通过观察TAC 下降和换热器数的变化情况来分析它们对面积费用指数大小的影响。图2 为采用算例1 时不同面积费用指数下换热器数对比及TAC 下降曲线。通过给定面积费用指数（大于1.0，等于0.5）与原始算例进行比较，记录各面积费用指数下的换热器数和TAC 值。由图2 可知，随着面积费用指数不同，TAC 存在较大差异，且换热器数也呈现出不同的变化态势。当面积费用指数大于1.0 时，需要的换热器较多，TAC 较高；此时，要使得费用有所下降，系统会通过增加换热器的方式减小费用，会出现较多换热量小的换热器。而当面积费用指数小于1.0时，所需费用则明显下降，此时可通过减少换热器来降低费用，可能会出现一股流体上一个换热器换热潜能过多；同时换热器的变化也会引起公用工程的变化，造成换热器和公用工程数目极度不平衡的情况，浪费资源。

图2 采用算例1 时不同面积费用指数下换热器数对比（a）及TAC 下降曲线（b）Fig.2 Comparison of the number of heat exchangers(a) and the decline curves on annual comprehensive cost(TAC)(b)under different area cost indexes when using Case 1.

3.2 换热单元面积费用指数松弛策略

换热单元面积费用指数单纯增大或减小对TAC 和换热器数影响较大，会造成TAC 和换热器数突变，破坏了实际应用中结构的稳定性，为了平衡换热器和公用工程，保证目标函数的连续性，使TAC 可以继续下降，将换热器面积费用指数和公用工程面积费用指数分开处理。本工作采用增大换热器面积费用指数、减小公用工程面积费用指数的方式。设备运行费用是指以换热器和公用工程为换热单元在系统运行过程中产生的必然投资费用，只有二者的费用协同实现增减，才能高效优化换热网络。即改变换热器运行费用对TAC 产生影响的程度需用公用工程来抵消，换热网路中换热器数一般多于公用工程数，对换热器面积费用指数效果进行主要增强，公用工程面积费用指数效果辅助配合，才能使TAC 下降的同时促进结构变化。若优化后期换热器面积费用指数大于1、公用工程费用指数小于1，可能存在系统解瞬时变差的情况，要使优化向积极方向进行，换热器数和公用工程数会发生变化，引导换热网络向其他潜力方向发展，给予换热网络扰动，更有利于合理分配换热潜能，使系统稳定、可靠运行，保证系统可以有较长的运行年限，降低成本。对于换热网络结构，各换热单元之间存在相互制约关系，只有少数换热单元变化，才会影响算法局部搜索能力，所以不能对所有换热单元进行面积费用指数主辅松弛，否则会造成大量无效优化，浪费时间。同时在优化过程中扰动过于频繁，会破坏连续变量的优化，因此设置TAC 停滞迭代步数值（ITTmax），即TAC 停滞步数大于设定值ITTmax，则随机抽取部分换热量不为零的换热单元对面积费用指数进行松弛，将换热器面积费用指数乘以一个大于1 的松弛因子，公用工程面积费用指数乘以一个小于1 的松弛因子，其他换热单元不变，否则仍按原来路径进行优化。

同样选取15SP 算例，设参数ITTmax=104，其余参数保持不变，算法改进前后换热器数对比如图3 所示。

图3 算法改进前后换热器数对比Fig.3 Contrastive structure tends before and after improvement.

由图3 可知，前期优化策略的加入加速换热器数波动，扩大可变化的范围，后期改进策略在原算法不变的情况下仍能继续结构更新，跳出局部极值。主要是因为改进策略在优化陷入停滞时对固定结构进行干扰，一定程度上打破原有换热单元之间的约束，对换热器和公用工程不同程度松弛，网络会基于目标函数的最优化重新分配换热器和公用工程，改变了换热单元进化的方向，增加了换热单元向其他位置进化的可能性，激发换热网络整体活力，增强结构变异能力。

4 算例验证

4.1 算例1 的验证

为验证改进策略的有效性，采用上述15SP算例1 进行分析，具体物流参数见表1。分别用RWCE 算法和改进策略应用于算例1，结果见图4。改进策略对随机抽取到的换热器设置换热器面积费用指数松弛1.34 倍，公用工程面积费用指数松弛0.1 倍，其他优化参数不变。由图4 可知，RWCE 算法TAC 为1 529 020 $/a，改进策略TAC为1 518 968 $/a，费用下降了10 052 $/a。首先两种算法换热单元数不同，RWCE 算法得到10 个换热器、10 个公用工程，改进策略得到10 个换热器、9 个公用工程。其次换热器和公用工程位置也不同。就第三股热流（H3）来说，改进前该流体只有1个换热器，改进后有3 个换热器，由于改进策略换热器面积费用指数大于1，要使目标函数连续，系统会重新分配换热潜能，避免因面积费用指数的改变导致TAC 突变；第四股热流（H4）不采用松弛策略有1 个换热器、1 个公用工程，采用松弛策略后该流体的所有换热潜能由公用工程承担，面积费用指数大于1，换热器对应的设备运行费用升高，需要公用工程面积费用指数小于1 的辅助使TAC下降，因此该流体不匹配换热器。说明采用换热单元面积费用指数松弛策略对换热网络进行优化，引导连续变量优化的同时促进了结构变异，得到了性能更优的网络结构。

图4 采用RWCE 算法得到的结构图（a）和采用改进策略得到的结构图（b）Fig.4 Structure diagram obtained by RWCE algorithm(a) and improved strategy(b).

4.2 算例2 的验证

表2 为算例2（以10 股流体（7 股热流、3 股冷流）为例，简称10SP）的流体参数。设置优化参数N=2，UH=30，UC=30，ΔL=100 kW，ψe=0.5，Qmin=5 kW，γ=0.1，Qmax=90 kW，δ=0.01，ITTmax=103。换热器面积费用指数松弛1.1 倍，公用工程面积费用指数松弛0.2 倍。其中，换热单元费用按300A计算，单位为$/（m2·a）；取热公用工程费用为60 $/（kW·a），冷公用工程费用为5 $/（kW·a）。

表2 算例2 的流体参数Table 2 The fluid parameters of Case 2

分别将RWCE 算法和改进策略应用于算例2，结果见图5。

图5 采用RWCE 算法得到的结构图（a）和采用改进策略得到的结构图（b）Fig.5 Structure diagram obtained by RWCE algorithm(a) and improved strategy(b).

由图5 可知，RWCE 算法TAC 为8 716 700$/a，改进策略TAC 为8 702 421 $/a，费用下降了14 279 $/a。采用改进策略得到的换热器数明显多于RWCE 算法，除第一股热流（H1）温位较高都未匹配换热器，2，4，5，6，7 股热流（H2，H4，H5，H6，H7）松弛后的换热器增加，一些换热量较小的换热器生成，同时公用工程数也减少了1 个，所以采用改进策略极大提升了结构变异能力，引导个体向更具潜力方向发展，再次验证了改进策略的有效性。

5 结论

1）换热单元面积费用指数作为设备运行费用的幂数项，可以较大程度决定TAC 下降空间。若换热单元面积费用指数发生改变，目标函数TAC图像会突然靠近或远离纵坐标，使得整型变量和连续变量优化频率增加，有助于增强结构变异能力，但不利于连续变量的持续优化。

2）提出换热单元面积费用指数松弛策略，将换热器面积费用指数和公用工程面积费用指数分开处理，换热器面积费用指数大于1，公用工程面积费用指数小于1，以换热器面积指数松弛为主、公用工程面积指数松弛为辅协同优化换热网络，增强个体竞争活力，促进TAC 继续下降的同时强化个体变异能力。

3）采用15SP 和10SP 算例验证，均得到较好的优化结果，表明该策略改进的有效性，提升了算法的优化性能。

符 号 说 明

h 换热系数，(kW·m2)/℃ΔL 个体的最大游走步长N 流体编号NC 冷流体股数NH 热流体股数Nk 换热网络中总的换热器数nC 冷流体节点编号，nC=1，2，…，UC nH 热流体节点编号，nH=1，2，…，UH nkC 网络中冷节点编号，nkC=1，2，…，GBC nkH 网络中热节点编号，nkH=1，2，…，GBH nkH new，nkC new 新生换热单元热、冷流体节点编号QHU j，QCU i 热、冷公用工程用量，kW Qi nH 第i 股热流体上第nH 个节点处换热器换热量，kW Qj nC 第j 股冷流体上第nC 个节点处换热器换热量，kW Qmax 新生换热单元的最大换热量，kW Qmin 设置的最小换热量，kW QnkH new，QnkC new 新生换热单元换热量，kW Qn it 第n 个个体随机游走前的解Qn it+1 下一次迭代初始解Q′′n k it 参与进化后换热量，kW Qn k it，Q′n k it 个体游走前后第k 个换热器换热量，kW T 温度，℃ΔTmin 最小传热温差，℃UC 冷节点数UH 热节点数W 热容流率，kW/℃Z，Zi nH 冷、热公用工程与热节点处换热器存在与否的0 ～1 变量Zk 0-1 变量，由ψe 决定α1，α2，r1，r2 0 ～1 之间均匀分布的随机数β 面积费用指数γ 新生成几率ψe 进化几率角标i，j 热、冷流体编号

in，out 进口和出口