从“将军饮马”问题中品“线段和最短”题根图形的渗透

摘要：利用“将军饮马”题根图形中的轴对称思想去解决线段和最短的问题，其解题关键是要确定“河”及“饮水点”的位置，利用作轴对称来确定“饮水点”使得线段和最短.这类问题常与角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形相结合以压轴题的形式出现，这就要求学生不仅要熟知题根图形，更要具备一定的抽象和推理能力。

关键词：线段和最短题根图形;将军饮马问题;初中数学;

中图分类号：O 文献标识码：A

一、“将军饮马”故事引入

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”这是唐朝诗人李颀在《古从军行》中的诗句，这句诗中隐含着这样一个有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题.如图1，将军在A处，他想带马到河边饮水，然后再到B地军营视察，问怎样选择饮马地点，才能使得路程最短？

二、题根呈现

“将军饮马”问题可以抽象成数学问题：如图2所示，把河看作是一条直线l，在直线l的同侧有两个定点A、B，请在直线l在找到一点P，使得PA+PB最短.如果点A和点B分居在直线l的异侧，那么利用“两点之间，线段最短”，直接连接AB交直线l于点P，点P即为所求.借于此，当点A和点B分居在直线l的同侧时，我们可作点A关于直线l对称的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，点P即为所求（图3所示）.理由为：连接PA'，由轴对称特征可知PA=PA'，从而PB+PA= PB+ PA=A'B，当P、A'、B三点共线时，PB+PA最短。

图3为“将军饮马”问题的基本题根图形，利用轴对称性质来实现线段的化“折”转“直”，从而可以利用几何定理来证明线段和最短。

三、题根探究

“将军饮马”问题题根图形常常以角、三角形、四边形、圆、抛物线、坐标系等具有轴对称性质的几何图形为背景，运用于综合性较强的题目中.下面将对其中的三种类型进行探究。

评注：本题选自2021年湖南省怀化市中考第24题，此题在二次函数的背景下考察 “将军饮马”问题之“两定两动”题根图形的运用，此题需要两次构建点的轴对称，化“折”转“直”，进而通过共线取得最小值。

利用題根图形“将军饮马”问题解决线段和最小值的问题，由于载体多元，方法多样，对考察学生的空间想象能力、综合推理能力等有较高的要求.虽然背景多样，但此题根核心解题方法为化“折”转“直”，解决不共线的最值问题.学生应在学习过程中，抓不变的核心特征，不断发展探究精神，提升数学核心素养。

作者简介：王雅华（1983.07—），女，汉族，籍贯：吉林省白山市，职务：教师/职称一级，学历：研究生，单位：华南理工大学附属实验学校、广州市黄埔区开元学校，研究方向：初中数学“直线型”图形教学“题根”的研究。