基于双向耦合地震效应的隔震等效线性化方法研究

孙红亮，柳富勇，冷慧梅

（1.南京市浦口新城开发建设有限公司，江苏 南京 210000；2.南京长江隧道有限责任公司；3.南京市水利规划设计院股份有限公司，江苏 南京 210037）

1 引言

地震灾害是一种常见的自然灾害，我国地处环太平洋和亚欧地震带之间，是世界上大陆地区中地震活动最活跃的国家之一。大量研究发现，实际地震时的地面运动是一种包括六个分量（三个平动分量和三个扭转分量）的多维运动，但与单方向设计反应谱相匹配的地震动加速度时程常用于评价结构的抗震性能，几乎世界主流的抗震设计规范都有相应的条文规定[1，2]。我国的建筑和桥梁设计规范虽然都考虑了双向水平地震作用，但只是通过直接对两个方向地震最大效应进行平方和开方，此种方法过度简化了双向地震耦合效应。

针对此情况，国内外学者进行了研究。王东升等[3]结合实际地震动的多维性和结构非线性反应的空间耦合特性，建立了恢复力特性满足二维屈服面模型的理想弹塑性单质点体系。余波等[4]通过对比强度退化、刚度退化等几种典型滞回模型和对平面不对称结构非弹性地震动力响应分析，提出了考虑双向抗侧恢复力之间的耦合效应以及抗侧和抗扭恢复力之间的耦合效应的平扭耦联Bouc-Wen模型。宁超列等[5]在文献[4]研究的基础上，通过几种滞回模型和双向恢复力耦合效应对结构地震延性需求的影响进行了量化分析，进一步提出了等强度延性需求的均值谱和标准差谱的预测方程。Pavese等[6]对凹面滑块在双向地震作用下的横向响应进行了试验研究，结果表明，与单向地震相比，激励有显著性差异。Cheng X等[7]考虑了二维粘弹性边界条件的影响，建立了结构和流场模型，对跨海隧道结构在渗流和双向地震作用下的稳定性进行了研究。Solberg K等[8]通过双向准静态和拟动力桥墩试验研究了桥墩的损伤避免设计，结果表明，基于双向抗震设计的桥墩抗震设防能力有了很大提高。余文正等[9]对等效线性化方法中的等效周期、等效阻尼比、阻尼调整系数和国外规范中的加速度反应谱进行了系统的研究和分析，结果表明，若根据中国规范中的加速度反应谱采用国外的等效线性化方法进行时程分析，其计算精度较低。

与减震结构不同，桥梁隔震结构主要是通过延长桥梁周期、增大桥梁阻尼，限制地震能量进入上部结构，将结构与地面运动分离开，减少地震动对结构的影响。由于桥梁隔震结构的非线性比一般结构更为复杂，对其进行非线性时程分析时，受到计算耗时长、结果离散性较大等许多因素制约。

等效线性化方法虽然可简便、快速地估算出结构非线性响应。但国内外等效线性化方法都是基于非线性单自由度体系的，如图1所示。随着双向地震动耦合作用的深入研究，以往的等效线性化分析方法不能够满足双向地震动耦合模型的研究需求，需要提出新的基于双向地震动耦合作用的等效线性化分析方法。

图1 非线性单自由度体系简化为等效线性单自由度体系

2 双向地震耦合模型及等效线性模型

2.1 双向地震动耦合模型

本文动力分析部分采用Newmark积分算法，非线性计算部分采用Newton-Raphson迭代法。同时考虑阻尼对结构体系地震动响应的影响，双向地震分析采用双向耦合的双线性模型，如图2所示。图中，dypos、dyneg分别表示正、负方向，Fypos、Fyneg分别表示正、负方向屈服强度，K表示初始刚度，Khpos、Khneg分别表示正、负方向退化刚度。

双向耦合双线性模型是在双线性模型的基础上，考虑两个垂直方向的相互作用关系，并通过欧拉过程实现双向耦合作用，屈服面由式（1）决定。

考虑两个垂直方向的相互③作用关系，并通

式中，F1、F2分别表示两个方向上的力；Fy1、Fy2分别表示两个方向的屈服强度；n表示双向耦合作用系数。本文n值取2，以圆形屈服面假定为基础，建立双向耦合的恢复力模型如图3所示。

图3 有无耦合作用的屈服面示意图

2.2 等效线性模型

考虑水平地震作用的非线性单自由度体系的运动方程如式（2）所示。

式中，m、ξ0、RF（）分别为体系质量、体系阻尼比和恢复力函数为地面加速度；为质量相对于地面的位移；ω0为体系的自振圆频率，根据初始刚度k0和体系的振动周期来定义初始周期T0。

将式（3）代入式（2）得：

非线性单自由度体系能够承受最大的非线性变形由延性系数μ决定。按照等效线性化方法，公式（4）可以由公式（5）近似计算。

式中，Teq和ξeq分别为等效周期和等效阻尼比。

本文采用割线法确定等效周期和有效阻尼比的常用方法，如图4所示。

图4 割线刚度法示意图

图中，k0为弹性刚度；αk0为屈服后刚度；Fy为屈服强度；Uy为屈服位移；Um为峰值位移；μ=Um/Uy，为延性系数；keq为等效线性体系刚度。

由于非线性体系中的滞回行为消耗能量，Teq将比T0长，ξeq将大于ξ0，其中：

2.3 基于初始周期的Teq、ξeq研究

选取多个具有代表意义的计算方法进行对比，本文仅列出其中三种方法。Kwan和Billington[10]使用Iwan的方法和20个地面运动记录，得出以下等式（有效周期为0.1s-1.5s)：

式中，系数C1和C2随着滞回模型不同而变化，对于弹塑性模型和轻/中度退化模型，C1=0.5，C2=0.56。

Blandon和Priestley[11]使用六个合成地震波进行迭代分析，提出了以式（12）来求解等效阻尼比：

式中，N为标准化因子；a、b、c、d为考虑滞回模型的常数。

Zaharia和Taucer[12]以Iwan公式为基础，提出与欧洲规范频谱相兼容的等效线性化方程，如下所示：

式中，A、a、B、b 为考虑滞回模型和反应谱类型的常数。

图5为目前主流的经典等效线性化模型计算效果图。

图5 不同等效线性化模型的计算效果对比图

3 计算模型

现有研究表明，无论是等效周期还是等效阻尼比，均是以初始周期为影响参数。因此，本文将等效周期和等效阻尼比定义为延性系数和初始周期的等式，分别计算X方向和Y方向的等效周期和等效阻尼比。同时，选取地震波数据库太平洋工程地震研究中心（PEER）的4条地震波记录，见表1。

表1 地震波参数表

考虑到对于同一次地震，地震动记录仪不同方向的最大地震响应各不相同，因此，通过Hilbert变换法进行地震波合成，将原地震波作为X方向地震动输入，Hilbert转换波作为Y方向地震动输入。其中，Teq的等式定义为μ和T0的函数，Teq=Teq（μ,T0）；ξeq的等式定义为ξ0、μ和T0的函数，。计算模型如下：

式中，A、B、C、a、b、c为回归分析确定的计算常数。

在初始周期i范围内，Teq和ξeq的值是使平均非线性位移和平均等效线性位移之间比值的均方根误差最小的耦合，由下式给出：

式中，N为地震波总数。

具体步骤为（以X方向为例）：

①设置等效阻尼比的最小值和最大值。

②设置等效周期的有效范围。

③设置延性系数的取值和用于非线性分析的滞回模型。

④根据结构初始周期、初始阻尼和延性系数，计算第k组地震波作用下的结构非线性位移（SDnl）k：

⑤拟定等效周期和等效阻尼比，将结构等效为线性单自由度体系，计算第k组地震波作用下的结构等效线性位移（SDe）k：

⑥计算初始周期为i的等效线性位移和非线性位移的误差ε：

⑦计算对于所有地震波作用下，初始周期为i的等效线性位移谱和非线性位移谱之间的比值的均方根误差

式中，Nk为地震波的总组数。

⑧找出Teq（T0,μ）和ξeq（ξ0,T0,μ）的最佳组合，给出最小RMS误差。

为了验证最佳组合是否合理，在每个周期（i）中计算等效线性位移与非线性位移的比值和所有地震波的平均比值：

⑨对Teq和ξeq的曲线进行非线性回归分析。

4 计算结果分析

初始参数及条件分为线性分析和非线性分析条件。

①线性条件。

ξeq取5%至50%，间隔为1%，并以等式（11）计算的结果为上限；周期比的范围Teq/T0设置为1s～4s，间隔为0.01s，并以等式（10）计算的结果为上限。

②非线性条件。

双向非线性计算采用双向耦合的双线性模型，屈服后刚度取相应线性刚度的0.05倍；延性系数μ取值分别为1、1.5、2、3、4、5、6；初始阻尼系数ξ0设置为5%；周期范围T0设置为0.1s～4s，间隔为0.02s。

计算最大位移估计误差时，采用Guyader 和Iwan（2006）提出的误差容许范围，将误差值的最佳范围控制在-20%和+20%之间。

利用线性位移和非线性位移对4条地震波的计算效果如图6～图9所示，可以看出两者吻合较好。将不同地震波计算出来的等效周期和等效阻尼比取平均值，经过非线性回归分析拟合曲线可得到式（13）和式（14）各系数的值，见表2。

图6 非线性位移与等效线性位移对比（地震波RIV180）

图7 非线性位移与等效线性位移对比（地震波MEL090）

图8 非线性位移与等效线性位移对比（地震波BLD090）

图9 非线性位移与等效线性位移对比（地震波L4B090）

表2 等效线性方程各参数数值

本文提出的公式与Guyader和Iwan（2006）给出的公式相比整体上趋势相同，与其他的等效线性化方法没有出现较大误差，说明本文提出的等效线性化方法具有合理性，如图10所示。同时，Teq/T0和ξeq整体上随着初始周期T0变化而变化。当初始周期较小时，T0对Teq/T0和ξeq的影响较大；当初始周期较大时，T0对Teq/T0和ξeq的影响较小，说明本文提出的计算方法也具有合理性。

图10 X方向上不同线性化模型计算效果对比

5 结语

本文参照较为成熟的单向地震动作用下的等效线性化研究方法，结合国内外研究成果，提出了基于双向耦合恢复力模型、等效阻尼比ξeq和初始周期T0有关的等效线性化研究方法。将线性位移和非线性位移的误差控制在-20%至+20%范围之内，并通过与经典的等效线性化方法进行对比，验证了本文方法的合理性。但是本文在地震波的处理上仍有欠缺，仅通过Hibert变换进行了简单的波处理，没有进一步对地震波的噪声进行处理，因而导致结果可能有误差。