批判性思维的内涵与培养路径——以数学教学为例

陈六一

(南京师范大学 苏州实验学校， 江苏 苏州 215131)

自《中国学生发展核心素养》强调批判性思维是科学精神维度的素养以来，批判性思维逐渐在教育领域成为热词，不仅学术界特别关注，实践层面也是全力追捧。一时间，批判性思维成为各级层面课题讨论、课堂研究的主旋律，一旦人人可坐而论道之时，我们就更要冷静地权衡思量。尤其回看这些年来轰轰烈烈的从理论到操作方面的教育革新，比如“多元智能”“翻转课堂”“建构主义”“新数运动”“回到基础”等，不由地担忧批判性思维学习的未来前景。所以，指向批判性思维的教与学，能否由高深的理论典籍进入寻常的一线课堂，能否带来学生素养的积淀、学习的真正发生，就需要在当下被更多地讨论与反思。

一、批判性思维内涵解读

(一)什么是批判性思维

1.习惯与行动

2.能力与素质

格雷戈里认为批判性思维是指：“有效识别、分析评估观点和事实，认识和克服个人偏见，形成和阐述可支撑结论、令人信服的推理，在信念和行动方面作出合理的决策，这一切所必需的一系列认知技能和思维素质的总称。”[3]谷振诣、刘壮虎也有类似的观点，他们认为批判性思维是面对相信什么或者做什么而作出合理决定的思维能力[4]。

3.思考与逻辑

钟启泉教授提出批判性思维指的是：“基于论据的逻辑性、不偏颇的思考；有意识地琢磨、反思性地审思自身的思维过程，旨在更好地适应目标与情境的指向性思考。”[5]杨武金教授则认为批判性思维是逻辑学在当代的非形式化和非形式方向的发展，也称为判断性思维和审辩性思维，或者非形式逻辑，并进一步指出分析论证是批判性思维的核心问题[6]。美国哲学会制定的哲学教育大纲，也将批判性思维与符号逻辑并列，成为逻辑课程之一[7]。甚至提出习惯说的斯蒂芬教授也指出批判性思维的理论根基是分析哲学与逻辑学[8]。

如上所述，关于什么是批判性思维，业界并未达成共识，至少有习惯与行动说、能力与素质说、思考与逻辑说三种版本。但回溯历史，可以发现批判性一词来源于希腊文“kritikos”，意思是洞察力、判断力、辨别力，引申为作出决断。由此可以澄清批判性虽然包含发现错误、缺点、不足，乃至批评等否定性动作，同时也关注认可、赞成、合理等肯定性动作，更重要的是发现自己的错误、缺点、不足，乃至自我否定之否定等。结合前文中外名家的各种说法，可以发现批判性思维指向问题的提出与问题的解决，并于其中秉持公正的心态、前后一致的言论；即用逻辑去论证，习惯问为什么，以实现完整的思考、清晰的表达、理性的判断、多角度的审视、预见性的决策。

(二)作为教育任务的批判性思维

通过回答什么是批判性思维，我们可以获得这样的认识：批判性思维是理性的声音，是怀疑的方法和工具，其实质是培养“头脑肌肉”。但事实上没有人完全没有批判性思维能力，也没有人完全拥有它而无需改进。所以批判性思维可以在课堂学习中被唤醒，在独立思考与对话交流中得到进一步完善，从而以用批判性教与学丰盈批判性思维，以丰盈批判性思维涵养科学精神。

1.批判性思维的教育价值

从我与自我的视角来看——涉及“我”的方方面面，学生很容易陷入利己主义与优越感偏误这两种自我中心偏见中。更何况，“中小学生的世界不是一个事实和规律的世界，其主要特征是感情和同情，绝不是与外界事物相符合的真理”[9]。所以，帮助学生发现自己的局限，发现自己的无知，敢于自我批判，应是教育的职责所在。批判性思维，就是教会“我”如何思考自己，如何公正地对待自己，如何给自己一个可信的解释，如何让自己内心的渴望与真善美一致。

批判他人的前提是理解他人的观点，用几分证据说几分话。审视他人观点不能非黑即白，不能以偏概全；同时警惕另一个极端，即权威对我们行为的操纵。于此，批判性思维借助我与他人开放性的假设，演变成寻求真理的过程，以致可以拥抱充满美丽风险的未来。

从我与自然的视角来看——对未知、神秘的好奇，是人类的本能，但往往“准确”与“真实”用眼睛看不见，“宇宙之大、粒子之微、火箭之速”用文学、艺术，都是难以表达的，所以要用逻辑去接近真相，用理性和思考去定量刻画，而这一切都需要批判性思维来引导。

经过上述省思，我们能感悟到批判性思维既是认识论，也是方法论。当然，我、他、自然，都处在发展中，“毕竟解释世界是如何运行的理论，都是暂时性真理，这极大地体现了批判精神”[10]。所以批判性思维的教育意义还在于不预设所谓的立场，乐于接受新的可能。

2.数学与批判性思维

批判性思维的开端是树立深思熟虑的思考态度，尤其是理智的怀疑和反思态度；批判性思维的基础是帮助思考者养成清晰性、相关性、一致性、正当性和预见性；批判性思维的核心是会运用为作出合理决定的一系列技术和方法[11]。概括起来，如图1。

图1 批判性思维路径

数学知识有三大特点：严谨性、抽象性和应用的广泛性。严谨性对应着批判性思维的开端，抽象性对应着批判性思维的基础，应用的广泛性对应着批判性思维的运用。中小学数学是数学大厦的基石，不但拥有数学的三大特点，更是一个需要探索、发现和理解的世界(如图2)。在这个数学世界里，学生通过“再创造”的方式讲道理，这样的讲道理既可以促进批判性思维的发展，又可以在发展批判性思维的过程中积淀理性。

图2 数学学习路径

一如前文所言批判性思维既是认识论，也是方法论，因为批判性思维不仅要求我们如何思考，更要求我们如何思考得当；而“数学是事实和方法的总和”[12]。因为数学是思维的体操，数学道理是通过构建逻辑论证来建立的。可见，批判精神和数学精神是真理的两面，有时彼此促进，有时融为一体，它们一起帮助小学生拓展智力的疆域；展开来说，批判性思维是数学的概念、原理、活动经验、思想方法向“批判”这个新的对象的自然扩展，而这种扩展又有助于学生更好地掌握数学的概念、原理、活动经验和思想方法。

二、数学课堂培养批判性思维的路径

(一)提问驱动问题解决

批判性指向问题的提出与问题的解决。所以数学课堂通过不断地让学生自己提出问题，在自己的提问中，逐步阐释自己对自己的质疑，完善认知的失衡，进而在缜密的思考中解决问题。也就是说老师不告知结论，也不教老师心中的办法，只是唤醒学生的解题策略，逼着学生利用自己的经验去提出可能的思考路径，以求得对自己的信任。

案例1：三角形的内角和，四年级

师：上节课我们研究了三角形的一些特点，现在这里有四边形、五边形、六边形……你们想研究什么？

生：四边形的内角和多少度？

生：五边形的内角和多少度？

生：综合你们的问题，我想研究多边形内角和是不是都是180度？如果不是，各是多少度呢？

师：很棒，研究图形从角度考量是一条很好的路径，那怎样求出多边形的内角和？你们有着怎样的思路？

生：我们从简单的四边形开始，再依次研究五边形、六边形……并用表格记录下数据，然后寻找有没有什么规律。

生：三角形内角和是180度，我们是不是可以将多边形分解成三角形？

生：怎么分解呢？

生：提出方案，如图3。

图3 多边形内角和分解一

生：四边形4个内角和刚好是2个三角形的内角和，五边形5个内角和刚好是3个三角形的内角和，六边形6个内角和刚好是4个三角形的内角和，由此可以推理出七边形7个内角和是5个三角形的内角和，八边形8个内角和是6个三角形的内角和；也就是说n边形n个内角和是(n-2)个三角形的内角和。

师：你们针对这个想法，有什么追问吗？

生：还有其他方法把多边形内角和分解成若干个三角形的内角和吗？

生：刚才是从一个顶点出发，向其他顶点画连线，可不可以在边上随意找一个点作为三角形的顶点呢？

生：提出方案，如图4。

图4 多边形内角和分解二

师：按照这样的分解，多边形的内角和还是(n-2)×180度吗？

生：是(n-1)×180-180度。

生：怎么有两种答案？

生：(n-1)×180-180利用乘法分配律，就是(n-1)×180-180×1=(n-1-1)×180=(n-2)×180度。看上去不一样，实质是一样的。

生：这些都是在多边形上分解出三角形，能不能从多边形内部想办法呢？

生：提出新方案，如图5。

图5 多边形内角和分解三

生：这样更好理解，n边形能分解成n个三角形，n边形的内角和就是n个三角形的内角和减去内部的360度，也就是(n-2)×180度。

尽管让学生能提出问题并不代表学生完全习得批判性思维，但它却使我们对数学现实与数学思考的相互依赖关系有深刻的理解，比如案例1中学生于已经领会了的三角形内角和，来提问“四边形、五边形的内角和是多少度？”“是不是可以将多边形分解为若干个三角形？”再问“如何分解？”“还有其他分解方案吗？”追问“怎么会有两种答案？”提问推进了解题的进展，从尝试连接多边形顶点的特殊方法，联想到可以选择边上的任意一点连向多边形的顶点；进一步从连接边上的点，想象到能否以多边形内的任意一点作为三角形的一个顶点。同时辅以直观表征，学生便在问题解决的过程中渐次收获了更多的可能。至此，学生甚至可以提出：“多边形的内角和随着角数量的增加而增加，那有没有一种量不随着形状的变化而改变？”由此可以发展出下文所要提及的典范的科学态度。

(二)一致性逼近数学真相

批判性指向为什么。这就要求课堂上对数学知识、数学思想方法的学习，应保持一致性；如果每天的数学学习都是另起炉灶，无疑会给学生带来诸多困惑：例如学习数学就是为了掌握无数的单个知识点与一个又一个公式，再如学习数学就是记忆无尽的技巧与法则。唯有学生窥见深层结构上的一致性，才能拥有解释概念是什么、概念为什么是这样的能力；学生在寻根溯源中，不断洞见表象的真相，课堂便实现了从学习批判性思维抵达通过批判性思维学习的教学理念。

案例2：分数除法，六年级

师：理由爸爸有没有教？

生：问过爸爸，他也说不清。

师：我们以前总结过，计算其实是相同单位的加减乘除，那有想法了吗？

师：哪里有不明白的吗？

生：利用乘法交换律，刚好说明了同学爸爸的方法“除以一个数等于乘这个数的倒数”。

在别人眼中的不一样，于你眼中则成了一样，这就是数学洞察力；当然这种洞察力，是由揭露数学的一致性所缔造。案例2的教学中，首先回答问题的学生记住了分数除法的一般法则，还可以用法则计算正确，但却不能理解法则的原理。如果此时不去辨析其所以然，学生就会掉进前文所述的困惑之中，甚至因此慢慢不喜欢上数学，觉得数学太不讲道理了。而老师启发学生把分数除法的法则放入计算的总原则之内考虑，学生就能明白今天的所学，只不过是过往学习的一个特例而已。

(三)冗余生成预见资源

批判性指向预见。学生在不知道结论的情况下，不可能每次都是直抵教材上的定理、公式、标准概念。在数学化的过程中，往往伴随着冗余的解答与信息；而产生一些冗余的解答与信息，其实质是学生在创造属于自己的数学等式。是的，冗余是思考的结果，不过也说明思考有漏洞，或者说思考的方向有待改进，抑或说思考有偏见。

案例3：欧拉公式，七年级

师：每个小组请认真观察学具盒中的三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱，看能不能发现顶点数、面数、棱数之间存在着一定的数学关系？

生：三棱柱底面有3条棱，共9条棱；顶点数是3的两倍，有6个；面的数量比底面棱数多2，共5个。

生：四棱柱底面有4条棱，共12条棱；顶点数是4的两倍，有8个；面的数量比底面棱数多2，共6个。

师：大家不能把目光只放在某两个量的比较上，接着我们把各种棱柱顶点数、面数、棱数整理在表格中，看看还能发现什么？

生：整理填写表格，如表1。

表1 n棱柱顶点数、面数、棱数统计

生：棱柱底面每多1条棱，总的就会多2个顶点、1个面和3条棱。

生：每次增加的顶点数+面数=棱数。

生：n棱柱有2n个顶点，3n条棱，n+2个面。

生：顶点数和面数共2n+n+2=3n+2，棱数是3n，由此可以知道n棱柱中存在这样的规律“顶点数+面数-棱数=2”，用字母表示就是“V+F-E=2”。

生：不是棱柱的立体图形这个规律也能成立吗？

生：有了，以四棱柱为例，在四棱柱外添一个顶点，这样就会增加3个面，4条棱，如图6。看，增加的顶点数+面数=棱数，等式成立。

图6 学生对V+F-E=2的证明

教学伊始老师让学生们探究棱柱“顶点数、面数、棱数”之间存在着什么样的数学关系，学生们根据观察，将重点聚焦在棱柱底面棱数与总棱数、顶点数、面数的数量关系上，显然不是教学的目的地。然而在同学们几分证据说几分话的交流中，结论虽然冗余，但随着表格的完善，却开启了预见性的数学表达：先是每次增加的顶点数+面数=棱数，再是n棱柱有2n个顶点，3n条棱，n+2个面，最后再创造了令人震撼的欧拉公式；乃至还要往前走一步：用自己的头脑证实其他立体图形也存在这样的规律吗？反思案例3，正是学生们用计算用推理，弥补了观察中的不可见，或者说是理性缝合了“不知老师带我们去哪里”的疑惑；正是用这些真实的冗余资源，实现了数学抽象可以阐释现实世界，或者说，批判性思维在自我否定与自我肯定的较量中，完成了完整的思考、预见性的决断。

综上对批判性思维所做的思辨性分析，以及对践行批判性思维教学的审视，能回答“什么是批判性思维及其教育实现”这个问题，不是哲学，而是数学学习的活生生经验，如图7。

图7 批判性思维及其教育实现

如果说数学创造，除了反映世界，还来源于对真的追求；如果说好的数学，不仅具有逻辑的标准，还有审美的需求，基于批判性思维视域的教学路径——“以提问驱动问题解决”“以一致性逼近数学真相”“以冗余生成预见资源”，可能能给予以上的一切。