基于应变测量的弹性薄板变形场重构方法

2022-01-06张佳明王文瑞

实验室研究与探索 2021年11期

张佳明，王文瑞，陆宇

（北京科技大学a.机械工程学院；b.流体与材料相互作用教育部重点实验室，北京100083）

0 引言

目前世界许多国家都在争先发展航天事业，对外太空展开更深层次的探索与研究，因此对在轨卫星提出更高的要求，导致卫星结构日趋复杂化和微型化，使得卫星结构状态哪怕是细微的变化也越来越受到关注［1-2］。星敏感器作为星上最精密的测量部件，对卫星的姿态测量和控制非常重要，星敏安装板是星敏感器的重要支撑部件，安装板的轻微变形将影响整个系统的控制精度，成为潜在的危险因素［3-4］。由于受空间条件和工作环境的影响，难以通过位移传感器直接测量安装板的变形。基于光学成像的非接触式变形测量受到光路布置与星体振动的影响，同样受到限制［5-7］，光纤布拉格光栅（FBG）的传感器具有体积小、抗电磁干扰，能进行多参量分布式测量等优点，广泛应用于航空航天测量。

随着结构变形监测技术的发展，应变监测的变形场重构算法引起了人们广泛关注。文献［8-10］中基于离散应变测点数据进行积分来估算梁的变形位移，称之为KO位移理论法。Amal等［11］提出了一种基于Delaunay三角剖分的非曲线重构方法。Adnan等［12］结合海洋工程中的逆向有限元方法，提出了一种4节点四边形反壳单元（iQS4），用于监测结构的位移和应力。Armen等［13］通过实验和有限元分析的方法对比分析模态转换方法对于星敏安装板结构变形重构精度的影响。在国内，刘苏州等［14］利用3次B样条插值函数重构了梁的应变场。王勇则［15］基于B样条插值方法开展了矩形梁的动力学特性分析。许世龙［16］利用Kirchhoff薄板理论对大型雷达天线阵面变形场进行了重构。袁慎芳［17］利用KO变形理论并结合光纤光栅技术对结构梁式机翼变形监测方法展开研究，并根据有限元分析结果验证变形重构方法的准确性。

然而，上述重构方法对应变传感器数量要求较高，难以实现特定约束条件的结构三维变形重构。同时，现有的基于曲率的变形重构方法仅适用于小挠度变形，而薄板容易产生大挠度变形。因此，上述重构方法远远不能满足工程测量要求。本文采用几何模型分析、实验监测和实验验证的方法解决弹性薄板的挠曲变形问题。通过推导应变-曲率-变形的关系并进行实验验证，提出了基于应变监测的变形场重构方法。该方法将为薄板变形测量在工程领域的应用提供重要依据。

1 曲率迭代法的变形场重构算法

本研究对象是一块四边固定、中间加载的弹性薄板，尺寸为1 000 mm×1 000 mm×3 mm。图1所示为薄板受力示意图，星敏支架和星敏感器主要对安装板施加垂直于薄板表面的横向载荷，本文主要研究薄板承受横向载荷作用下的z向变形问题。

图1 弹性薄板受力示意图

弹性薄板的变形与梁结构不同，受多边约束，受力状态复杂，弹性薄板在侧向荷载作用下具有以下变形模式：①最大变形小于板厚的1/5时，薄板受到较小的挠度变形。在这种情况下，弹性薄板的变形完全是由弯曲引起的，也称纯弯曲变形。此时，薄板的表面应变为弯曲应力产生的应变。②最大变形大于板厚的1/5时，薄板受到较大的挠度变形。在这种情况下，弹性薄板的变形是由拉伸和弯曲共同引起的，也称为大挠度变形。此时，薄板的表面应变为弯曲应力和拉应力产生的应变。本文分别研究了小挠度和大挠度变形场的重构算法。

1.1 小挠度变形的曲率迭代法

小挠度变形属于纯弯曲变形，从几何角度看，变形曲线可以通过曲率法间接得到。首先分析应变与曲率的关系，然后通过几何推导得到曲率与变形的关系。这样便可以间接得到应变与变形的关系，实现变形场的重构。

图2所示为薄板纯弯曲变形前、后的截面图。图中：s为弯曲前长度，mm；h为弹性板厚度，mm；ρ为纯弯曲变形后的曲率半径，mm；θ为弯曲变形后的圆心角。

图2 薄板纯弯曲变形截面图

假设上表面的延伸率为Δs，则上表面的应变

因为中性面的长度在纯弯曲变形前后无变化，根据圆心角之间的关系，得到：

假设曲率为K，根据曲率与曲率半径的关系，得到：

根据式（1）、（3）可推导出应变与曲率的关系，

在应变测量实验中，应变传感器以阵列的形式布置在弹性板表面，应变传感器阵列为平行线，每条平行线设置一个应变测点。以一条直线上i个离散点的应变为对象，将离散点的应变转化为离散点的曲率。然后用逐点迭代法计算每个离散曲率点对应的坐标位置，重构曲线变形。这一过程在本文中称为曲率迭代法，图3所示为曲率迭代法的示意图。最后，对几条变形曲线进行拟合，得到整个薄板表面的变形曲面。

图3 曲率迭代法原理图

由图3可知，第1个离散点P1的圆心和坐标表达式为：

式中，θ1=s/（2 ρ1）。

根据P1点的坐标表达式，第2个离散点P2的中心和坐标的表达式为：

式中，θ2=θ1+s/（2 ρ2）。

根据点P1、P2的坐标表达式，第i个离散点的圆心和坐标的表达式分别为：

式中，θi=θi-1+S/（2ρi）。由上述公式可以得到薄板离散点的坐标，拟合得到薄板的变形面。

上文所述的曲率迭代法通过Matlab软件编程实现，通过数值模拟得到了一组薄板的应变数据。由图4可以看出，变形规律符合端部固定、中间加载的特点。

图4 小挠度变形下的应变与变形曲线

1.2 大挠度变形的曲率迭代法

大挠度变形考虑了中性面的拉、压应变，属于非纯弯曲变形。对于大挠度变形，曲率迭代法会产生误差，且误差具有一定的规律性。在大挠度下，曲率迭代法的整体结果偏大，且随迭代次数和荷载的增加而更加明显。针对这种误差，本文提出了一种沉降校正方法。图5所示为沉降校正方法的原理图。首先，根据误差规律设置校正函数，曲率迭代法完成后，将每个点的变形结果减去修正函数对应值，即：

图5 沉降校正算法原理图

式中：esk为下沉值，mm；i为离散点数列；am为动态迭代因子；bm为静态迭代因子。

由于曲率迭代法的误差也与荷载大小有关，仅用一个修正函数很难满足精度要求，因此，沉降校正算法采用迭代的方法，即由小到大的迭代，直到满足误差要求。

图6所示为带沉降修正函数的曲率迭代法流程图，校正过程中，校正程度随am值的增加而增加，通过设置最大允许误差为最后迭代点。理论上，四边固定的薄板的四边变形为0，因此可以通过4个边的变形量来控制重构算法的精度。

图6 沉降校正算法流程图

基于沉降校正的曲率迭代算法通过Matlab软件编程实现，通过数值模拟得到了一组大挠度变形时的应变数据。在曲率迭代法计算结果的基础上，增加了修正环节，得到了修正结果。由图7可以看出，校正前的结果明显大于校正后的结果，通过沉降校正算法可以大大减小曲率迭代法处理大挠度变形时的误差。

图7 大挠度变形下的应变与变形曲线

2 应变监测实验与应变场重建

2.1 应变监测实验平台搭建

变形场重构算法中的应变数据需要将应变监测实验获得的信息作为变形场重构的输入，图8所示为应变监测实验平台设备图。

图8 应变监测实验平台

实验使用BX120-5AA型应变片与INV3062S/V型24位动态信号采集系统测量薄板表面的应变。使用精度为0.01 mm的SYA1704569型位移传感器测量薄板的变形，用于验证应变重构变形场的准确性，而位移传感器受空间限制在实际应用中无法使用。

利用精度为50 mg的砝码对薄板加载，根据加载位置的不同，将试验分为中心点（Q1）加载和任意点（Q2）进行加载，加载位置分别为（500，500）和（300，700），载荷大小设置为100、150、200和250 N。

为了能够通过尽可能少的应变测点来实现整个面的应变场，通过多次试验，得到了根据薄板在两个不同加载位置的表面应变分布规律得到的测点分布方案，如图9所示。

图9 应变测点布置方案

2.2 应变监测实验结果与分析

以中心点加载为例，应变监测实验结果如图10所示，图中为11个测点随荷载增加的应变变化情况。可以看出，所有测点的应变值随荷载增加而增大，测点8、9靠近中心加载点Q1，应变值较大。由于测点相对于直线x=500对称分布，测点应变值两两相近。测点1、2、4、5、6、11靠近固定边，上表面受到压应变，其余测点受到拉应变。

图10 中心点加载下应变监测的实验结果

通过实验得到安装板离散点应变数据之后，还需要获取整个安装板表面的应变场，从而得到更为详细的应变信息，以便作为变形场重构算法的输入量。本文采用反距离加权法，对平面上各个离散点应变进行插值重构得到应变场，算法原理如图11所示。

图11 反距离加权平均法原理图

反距离加权法基于测量应变数据求解平面其他点应变，计算过程如下：

式中：dk为待求点与第k已知点的距离，mm；xk为已知点横坐标值，mm；yk为已知点纵坐标值，mm；x为待求点横坐标值，mm；y为待求点纵坐标值，mm。k=1，2，…，n。

假设二元函数f（x，y）为未知点的应变，那么该函数的表达式为：

式中，zk为已知点k的应变。

3 验证实验

基于上述重构方法，利用Matlab软件编制了薄板应变、变形场重构软件，在软件中输入薄板尺寸、计算模式（大挠度/小挠度），将应变测量实验中测点坐标以及测量结果读取到软件中，点击“计算START”，即可直接输出薄板应变场云图和重构变形曲面，如图12所示。

图12 薄板应变、变形场重构软件界面

以能保证重构完整性同时尽量降低计算量为原则，经过多次不同维度的重构试验，最终选择重构的插值维度为20×300。图13、14所示为各加载工况下通过反距离加权平均法得到的星敏安装板下表面应变云图。不管是中心点加载还是任意点加载工况，薄板下表面的加载位置周围受拉应变，靠近四边处受压应变，随着载荷增大，应变整体增大但分布规律不变。