任意形状管道内噪声源识别的等效源法研究

张小正,徐廷廷

(合肥工业大学 机械工程学院,安徽 合肥 230009)

噪声源识别技术是研究声源发声机理与辐射规律的重要手段,其识别结果不仅可以直观地指示主要声源的类型和位置,而且可以有效地量化声源强度,因此可直接用于指导结构的声学优化设计和噪声的主被动控制。与传统的噪声源识别技术相比,基于声阵列测量的噪声源识别技术[1]由于其直观、高空间分辨率的优势已成为目前噪声源识别技术的前沿,其中波束形成技术[2-3]适用于高频声源的识别,而近场声全息技术[4-5]适用于中低频声源的识别。然而大多数的波束形成方法和近场声全息方法主要用于自由场中的噪声源识别。实际工程中常常会遇到噪声源位于管道的非自由场中,例如航空发动机内的转子和定子声源、闭口风洞中的飞机或汽车模型声源、循环水槽中的螺旋桨声源等。由于常规的波束形成方法和近场声全息方法没有考虑管道壁面反射的影响,因此当直接应用于管道中的噪声源识别时无法给出正确的识别结果。考虑管道壁面反射的影响,文献[6-7]研究了使用波束形成技术来识别管道内的声源,并采用包含壁面反射的圆管内频域Green函数作为波束形成技术的导向矢量。管道内波束形成技术的导向矢量会在截止模态数附近出现奇异性,导致不合理的声源识别结果,文献[8]改进了其导向矢量,用于识别NASA Genn研究中心的管道内风扇系统的声源。随着近年来解卷波束形成技术[9-11]的发展,文献[12-14]将解卷波束形成技术用于管道内声源的识别,以提高波束形成技术的识别空间分辨率。

由于管道内的波束形成技术只适用于高频噪声源的识别,当用于中低频噪声源识别时空间分辨率低。由于近场声全息技术可以在中低频获得较高的空间分辨率,用于管道内噪声源识别的模态叠加法和等效源法得以发展。文献[15-16]提出的模态叠加法通过将管道内的声压表示成一系列模态的叠加,然后通过测量近场声压反求出这些模态的幅值,进而计算声源面处的声压或振速来识别管道内的噪声源。然而模态叠加法是建立在齐次波动方程的解的基础上,因此该方法只能获得声源附近的声场信息,无法获得具体的噪声源特性,例如噪声源的强度大小,获知具体的噪声源特性对于产品噪声控制和低噪声设计尤为重要。文献[17-18]提出的等效源法通过将真实噪声源采用一系列等效源来代替,并采用解析的圆管内Green函数来构建等效源源强与测量声压之间的传递矩阵,然后通过测量近场声压反求出这些等效源的源强,进而用于定位管道内的噪声源和量化噪声源辐射声场。由于等效源法可以获得具体的噪声源特性,具有很好的应用前途。但是文献[17-18]所提出等效源法只能用于圆形管道内的噪声源识别,这是由于解析的圆管内Green函数已知,可直接用来构建等效源源强与测量声压之间的传递矩阵;然而当管道为任意形状时,解析的Green函数无法获得,因此无法使用文献[17-18]所提出的方法。

针对这一问题,本文提出可用于任意形状管道内噪声源识别的等效源法。该方法通过在壁面外侧布置等效源,利用壁面刚性边界计算出壁面外侧的等效源源强,通过壁面外侧等效源和真实声源等效源在测量点处产生的声场叠加,计算出任意形状管道内的Green函数,利用该Green函数构建真实声源等效源源强与测量声压之间的传递关系,然后通过测量近场声压反求出这些等效源的源强,进而用于定位管道内的噪声源和量化噪声源辐射声场。

1 基本理论

自由场等效源法原理如图1所示。

由等效源法[19]思想可知,在自由场中，一个真实声源所辐射的声场可由一系列具有不同权重系数的等效源辐射声场的叠加来近似,即

(1)

其中:p(rHm)为声场中全息面H上第m个测点的声压,rHm为该测点的位置坐标;q(rAn)为近似真实声源A辐射声场所用的第n个等效源的源强,rAn为该等效源的位置坐标;等效源类型常选为单极子,等效源总个数为N;GF(rHm,rAn)为自由场F的Green函数;自由场Green函数的表达式为:

(2)

其中,k为波数。

管道内等效源法原理如图2所示。当真实声源位于管道内时,根据等效源法思想可将管道内声场中全息面上第m个测点的声压表示为:

图2 管道内等效源法原理图

(3)

其中,GD(rHm,rAn)为管道内的Green函数。

对于一个规则的圆形管道,存在解析的Green函数表达式,然而对于一个任意形状的管道,解析的Green函数表达式通常并不存在,此时就需要通过数值或实验方法来获取Green函数。由于采用实验方法来获取Green函数工作量大,且易受测量误差等因素的影响,因此通过数值方法来获取Green函数是较为理想的选择。

因此,本文提出一种采用等效源法来获取任意形状管道内Green函数,具体原理如下。

首先根据管道内的声传播特点,可将管道内的Green函数GD(rHm,rAn)分解为2个部分,即

GD(rHm,rAn)=GF(rHm,rAn)+GR(rHm,rAn)

(4)

其中:GF(rHm,rAn)为第n个等效源到第m个测点的直达声的传播路径;GR(rHm,rAn)为第n个等效源到第m个测点的管道壁面反射声的传播路径。由于GR(rHm,rAn)的表达式未知,本文采用以下方式获取。

因为GR(rHm,rAn)可理解为一个位于rAn且源强为1的等效源在第m个测点产生的反射声,所以可将GR(rHm,rAn)用布置在壁面外侧的一系列等效源辐射声场的叠加来近似,即

(5)

其中:q(rBj)为壁面外侧第j个等效源的源强，rBj为壁面外侧第j个等效源的位置坐标;J为壁面外侧等效源的总个数。

由 (5) 式可知,要获得GR(rHm,rAn)，就必须先获得壁面外侧所有J个等效源的源强q(rBj),j=1,2,…,J。而壁面外侧等效源源强的获取方法如下。

对于声波来说,通常情况下可将管道的壁面假设为刚性,根据刚性边界条件可知,在管道壁面上任意一点rBi均满足

(6)

其中:GF(rBi,rAn)为一个位于rAn且源强为1的等效源在管道壁面上rBi点处产生的直达声;GR(rBi,rAn)为一个位于rAn且源强为1的等效源在管道壁面上rBi点处产生的反射声;e为管道壁面上rBi点处的法向向量。

在 (6) 式中,同样将GR(rBi,rAn)用布置在壁面外侧的一系列等效源辐射声场的叠加来近似,即

(7)

将 (7) 式代入 (6) 式可得:

(8)

若将 (7) 式扩展应用于管道壁面上I个不同的点,则可获得下述矩阵等式,即

(9)

其中

(10)

其中，上标‘+’表示求矩阵广义逆。

(10) 式存在的广义逆运算常常发生不适定性问题,即输入量中的微小误差会在求逆过程中被急剧放大,严重影响求逆结果的精度。为稳定求逆过程,防止误差被急剧放大,通常会在求逆过程中采用Tikhonov正则化方法[20]来保证求逆结果的精度。应用Tikhonov正则化后,(10) 式可改写为:

(11)

其中:*表示矩阵的共轭转置;λ为正则化参数,常通过L曲线法进行选取。一旦获得壁面外侧所有等效源的源强,即可代入 (5) 式获得GR(rHm,rAn),进而通过 (4) 式获得管道内的Green函数GD(rHm,rAn)。

进一步将 (3) 式扩展应用于全息面上M个不同的点,则可获得下述矩阵等式,即

pH=GDqA

(12)

其中

在 (12) 式中,因为向量pH通过传声器测量获得,矩阵GD通过上述方法已求得,所以通过对 (12) 式求逆运算可得:

(13)

对于 (13) 式中的求逆运算,也可通过采用Tikhonov正则化方法来保证求逆结果的精度。应用Tikhonov正则化后,获得的源强为:

(14)

对于非稀疏性声源,应用Tikhonov正则化可以保证声源识别结果的精度,然而最近的研究表明[21],当声源为稀疏性声源时,采用以L1范数作为惩罚项的稀疏正则化方法能获得更精确的声源识别结果。因此对于稀疏性声源,在此引入加权L1范数迭代稀疏正则化方法[22]进行求解,该方法的主要思想是通过迭代求解加权L1范数最小化问题,即

(15)

以此获得最优的等效源源强。在(15) 式中,l为第l次迭代求解;ε为一个和噪声有关的误差项;w为加权系数向量;第l次迭代时的加权系数向量的模为:

(16)

其中:|·|为求向量的模;δ为大于0的任意常数。

如果通过(14) 式或 (15) 式获得近似真实声源的等效源源强,那么可用于识别声源或者重建声场。

当用于重建声场时,既可以用于重建真实声源在自由场中任意一点r′处辐射的声压,即

(17)

也可用于重建真实声源在管道内任意一点r″处辐射的声压,即

(18)

2 数值仿真

为验证所提方法的有效性,本文采用管道内2个单极子作为噪声源进行数值仿真,仿真模型结果如图3所示。

图3 仿真模型示意图

由图3可知，坐标分别为S1=(0.30,0.15,0.50)和S2=(0.80,0.15,0.50)的2个单极子声源位于一个沿y方向无限长的矩形管道中,管道截面面积(x×z)为1 m×1 m,2个单极子声源的源强大小均为1 Pa/m2。测量点在管道壁面(0.20 m≤y≤1.00 m)区域内分布,共分布5圈,间隔为Δy=0.20 m,每圈在管道截面周长上的分布间隔为Δx=Δz=0.25 m。近似真实声源的等效源分布在y=0.15 m的平面上,等效源点之间的间隔为Δx=Δz=0.10 m;近似壁面反射的等效源分布在壁面外侧0.05 m处,等效源点之间的间隔为Δx=Δz=0.22 m,Δy=0.20 m。重建面为y=0.20 m的平面,分析频率为f=400、100、1 500 Hz。测量点声压和重建面理论声压均采用像源法[23]计算得到,为尽可能地模拟实际测量,在测量点声压中加入了30 dB的高斯白噪声。

500、700、900 Hz 3个频率下采用自由场等效源法的源强重建结果如图4所示,采用管道内等效源法的源强重建结果如图5所示。

从图4可以看出,自由场等效源法由于受到管道壁面反射的影响,易产生明显的旁瓣效应和虚假声源,无法给出准确的声源识别结果。

图4 自由场等效源法源强重建效果

从图5可以看出,管道内等效源法可以很好地去除管道壁面反射的影响,获得准确的源强重建幅值和声源识别结果。500、700、900 Hz 3个频率下重建面上的理论声压如图6所示,采用管道内等效源法的重建声压如图7所示。

图5 管道内等效源法源强重建效果

由图6、图7可知,重建声压不论是在幅值大小上还是在空间分布上都与理论声压吻合得较好。

为了量化吻合程度,定义重建误差为:

(19)

其中:pr为重建声压;p为理论声压。

400～1 500 Hz频率范围内的声压重建误差如图8所示。从图8可以看出,在整个分析频率段内重建误差均小于20%,个别频率段内误差小于10%。

图8 重建误差

3 实验研究

为了进一步验证本文所提方法的有效性,开展了管道内噪声源识别实验研究。实验装置如图9所示,本实验选用喇叭作为声源,并将其固定在矩形不锈钢管道端口中心处管道尺寸为1 m×0.445 m×0.45 m。传声器阵列布置如图9c所示,48个1/4 inch传声器镶嵌在管道壁面上,沿管道长度方向布置成3圈,每圈间距为0.05 m,每圈布置16个传声器,相邻传声器在宽度和高度方向上均间隔0.1 m,其中第1圈传声器距离管道端口0.1 m。采集仪器为80通道的NI采集仪,采样时间为5 s,采样频率为20.48 kHz。

图9 实验装置

600、900、1 200 Hz 3个频率下,采用自由场等效源法的源强重建结果如图10所示,采用管道内等效源法的源强重建结果如图11所示。其中白色点标示真实声源的位置。

从图10可以看出,由于受管道壁面反射的影响,采用自由场等效源法无法准确地识别出声源的位置。

图10 自由场等效源法源强重建实验效果

从图11可以看出,采用本文所提出的管道内等效源法均可准确地识别声源的位置,从而证明了本文所提方法的有效性。

图11 管道内等效源法源强重建实验效果

4 结 论

本文提出可用于任意形状管道内噪声源识别的等效源法。该方法通过在壁面外侧布置等效源,利用壁面刚性边界计算出壁面外侧的等效源源强,通过壁面外侧等效源和真实声源等效源在测量点处产生的声场叠加,计算出任意形状管道内的Green函数,利用该函数构建真实声源等效源源强与测量声压之间的传递关系,然后通过测量近场声压反求出这些等效源的源强,进而用于定位管道内的噪声源和量化噪声源辐射声场。为验证所提方法的有效性,进行了数值仿真和实验验证。数值仿真和实验结果表明,由于受到管道壁面反射的影响,采用自由场等效源法的识别结果易产生明显的旁瓣效应和虚假声源,无法给出准确的声源位置,而采用本文所提方法可以很好地去除管道壁面反射的影响,获得准确的声源识别结果。虽然本文在仿真和实验中只采用了矩形管道来验证该方法的有效性,但这并不妨碍本文所提方法在其他形状管道内应用前景,在理论上该方法不受管道形状的限制,因此本文方法具有广泛的应用前景。