以问题为导向的复变函数教学与实践

摘要：本文主要总结了研究性教育理念及其在大学数学课程中的应用研究，提出了问题设置在研究性教学方法应用中的意义，并分析研究了教师在课堂教学各个环节中应注意的关键问题。以复变函数计算和逆拉普拉斯变换课程研究为例，探讨了基于该问题设计的研究性课程在复变函数课程中的应用。

关键词：问题导向;复变函数;拉普拉斯逆变换;教学实践

中图分类号：G4 文献标识码：A

新一轮教学改革的目标会更加明显，那就是更好地培养学习者解决问题的能力，而不仅仅是死记硬背知识点[1]。这必将为课程设计理念的发展提供更新和变化的要求。将研究性教育理念应用于高等教育，可以说是一种全新的教育理念创新，同时也是一种探索[2]。研究性学习是指对学习者所拥有的属性进行问题研究。数学作为解决问题和科学研究的重要工具学科，在教育工程技术领域应用广泛。以复变函数教学为例。课程的特点要求教师以教学改革的理念，通过创新课程理念和方法，重新设计教学过程，从而有效培养学习者研究问题、解决问题的能力。

一、研究型教学综述

对于大学的本科或专业课程，在教学活动过程中借助研究型课程模式可以提高课堂活动的有效性，但首先，“教”与“学”的主体都要对这种概念发展模式有统一的认识，形成构建理论知识的“学习共同体”。只有在共识的基础上，“教”与“学”的主体意识才能迅速进入教学角色，让最先进的教育理念充分发挥其有效功能，从而实现教育教学改革的总体目标[3]。

目前，一些专家学者对研究性教学在高校传统数学教育中的应用进行了较为完整、系统的理论分析和实践探讨。有学者探讨了“高校数学课程问题导向教育管理模式”在微分分数“定积分的定义”教育研究中的应用，并指出了教育过程中不同的研究内容和重点[4]。探讨了“问题驱动教学”在高校数学教育实践中的应用。由于试题设计精巧，带动了“中值定理”的教育进程，取得了良好的教育效果。王芬玲[5]通过分析复变函数教学中存在的问题，阐述了研究性教育在复变函数教学中的重要性，并对教育过程中的实际问题进行了探讨。

综上所述，研发成果表明，研究性学习教育是以研究问题为特征的教育。研究性教学模式与传统教学方式最大的区别在于，问题是起点，问题研究过程是教育的主线。课程教育过程是教师引导学生按照“解决、分析、讨论、解决问题”的课堂教学框架进行研究性工作。教育学生运用旧知识独立建构和发现新知识的教育过程。那么，我们的老师也可以借鉴研究生论文的指导过程，引导和教育学生从教授的角度去学习，而不是从导师的角度去学习。遵循教学方法和指导的主要工作方式是：选题、总结基础理论知识、研究性教育、答辩式考试。

二、基于问题导向的研究型教学各环节的注意要点

（一）问题导向，合理选题

在充分研究情境分析的基础上，选题质量在更大程度上直接影响学校課堂教育质量。然而，不同学科的学习者由于专业知识储备能力的差异，对这种教学模式的接受程度不同。学习者已有的解决问题的基础知识和基本技能直接影响“选择”的倾向和视角。设计在我国数学教育基础相对薄弱的学校和整个教育过程中起着关键作用。是老师们最感兴趣的基石。尤其是在教研型教师的教学过程中，更要注重利用学生学习兴趣的能力，将中国学生对未知的压力转化为发展学习者求知探索的动力。因此，在问题设计中应特别注意激发中国学生对数学思维的浓厚兴趣。

（二）开放式研究、教学筹备，必须储备基础的知识和技能。

教师备课全面透彻，学生提前做好科研工作准备的前提是准备相应的科学理论知识作为思维的基石，准备相应的科研工具作为工作的依据。因为科研的过程充满了不确定性，尤其是对于基础知识有限的学习者来说，在进行科研练习之前，一定要储备一定的基础知识和技能，防止科研思维脱节，从而进入较低层次的科学认知圈而不突破。但是，教师本身需要接受培训，回答学生发展提出的各种社会问题，也需要形成一种提前预测学生学习研究偏差的能力，从而通过不断正确地处理来分析和回答学生的问题，引导学生在自己处理这些问题的方式上继续朝着正确的方向前进， 深入知识经济的新领域，总结和完善企业的知识，从而获得企业科研的好成绩，完成课堂教学。 这就要求教师积累理论知识和经验，全面透彻地备课，提出更有针对性和预见性的课堂教学方法。

（三）引导研究、教学，做教学管理者

有效地指导和控制研究性教学过程是研究性教学对教师的新要求。研究性教学不能只靠灌输知识来进行。从教育管理的角度来看，如果上述的“选择”和“准备”只能视为“工作目标的确定”和“规划”，那么“正确的引导和控制”应该深刻理解为“检查和纠正”。因此，学生要想通过一个开放的、不确定的探究工作发展过程来完成自己的教学目标和任务，就要对探究工作过程进行适当的控制。要培养教师的学科发展能力，及时合理地指导我校的科研设计思路，关注学生科研分析过程中的重要难点，合理地控制学生的科研状态，防止学生的科研兴趣受到科研主要任务难度或复杂性的影响，有助于培养学生通过研究学习的激情和效率。教师不仅要“以身作则”，更要“用心管理课堂”。

考虑到开放探究工作在时间和空间上的连续性，决定了学生在不参与课堂教学的情况下，要在课后继续探究，因此必须充分利用一切可利用的时间和资源，积极思考教学质量。有了这么多因素，才是真正的“做研究”，才会有收获，才会有回报，才有可能取得研究性教育的成果。因此，教师要重视教学管理者，但同时也不能局限于课堂教学的某个角落。要重视“第二课堂”的建立和发展，将研究性学习活动延伸到学生生活和学习中的各个空间和时期。

（四）考核方式，（分组）总结答辩

为了与新课程模式相匹配，研究性学习教育有效性的评价指标必须改变传统的课堂作业评价方法。着眼于进一步推动教学理念模型的实际应用，并立即获得指导性研究成果。在以问题为导向的研究性教学模式中，对学生学业成绩的评价要全面，强调对学生行为的评价。具体评价内容和指标主要包括学生研究性学习成果质量、课堂积极参与程度、学生小组合作能力等。根据教育教学方法和指导的工作路径，这种课程模式下教学成果的最终形式应该是将一个问题归类为研究性书面报告和学术论文，并体现在课堂教学答辩的改进形式上。从而保证评价指标和评价方法的构成反映学习者的综合素养水平。

三、基于问题设计的研究导向型教学在《复变函数》教学中的应用探索

在总结个人教育实践的基础上，以复微分的运算和拉普拉斯逆变换的教育为例，系统地探讨了问题导向的研究性课程在复分析教育中的应用。

（一）复变函数的计算

1.学情分析，问题设定

教材不同章节给出了复杂分数的计算方法，但没有仔细对比分析不同方式之间的联系和区别，以及不同方式解题的差异。因此提出一些问题，启发和引导学生在已掌握的主要知识点上探索创新问题，从而进一步掌握主要知识点，找出各种解题教学方法和可应用于各种研究方法的创新问题。从而培养学生整理好自己的知识和习惯。

2.教学准备

把全班分成六个学习小组。课前复习柯西积分公式、高阶导数公式以及留数运算的相关知识点，为处理具体题目做准备。每组选择三个题目进行解决，在解决问题的过程中注重方案的选择和知识点的应用。

3.课堂管理

分析问题，探索解决方案。由小组对可以选择的问题进行具体的解题步骤，归纳分析后总结出具体的解题方法。

比较、总结、反思。根据封闭曲线中奇点的类型，假设奇点是奇点或极点。柯西积分公式、高阶导数公式和留数定理的应用基础是相同的，即（1）、（2）和（3）。使用柯西积分公式或高阶导数公式更简单，因此不需要确定极点的阶数。当奇点是自然奇点时，如问题（5），利用留数定理求解，留数定理可以解决更多的实际问题。如果曲线有几个奇点，用留数定理比用复合闭路定理简单。但是，如果有限公司孤立奇点的留数不容易通过运算，如问题（6），那么无穷远处留数的特征和规律可以同时用于分析和运算。

4.学习效果评价考核

引导学生探索和分析各种方法之间的区别和联系，以及各自的优缺点，使学生提高对整合方法的理解，取得良好的教学效果。

3.效果评价

通过一题多解的研究性课程，学生可以自主讨论和探究，从而培养学习兴趣，与教师的互动更加丰富，课堂气氛更加活跃。

四、以问题为导向的课堂教学策略与方法

1.情景创设，激发兴趣

情境教学策略应用广泛，创设方法灵活多样。自然科学、哲学社会科学的课堂教学可以根据自己的需要，结合本课教学内容的课程类型和实际需要灵活运用。情境设计更容易充分调动学生的情感，点燃学生的热情，激发学生对内容的浓厚兴趣和迫切的求知欲，从而培养学生丰富的想象力和创造能力。它可以看作是课堂教学方法应用中的一种切实可行的策略选择，可以为进一步有效发展以问题为导向的课堂教学范式奠定良好的基礎。

2.促进协作，初步认知

（1）互助合作。这种学习方式有助于提高学生的团队精神，促进学生的合作意识。科研团队协同研究是未来科技发展的必然趋势。（2）资源共享。小组学习有利于学生之间共享学习资源。小组成员的课前预习、课中阅读以及他们已有的知识、经验和见解都可以充分分享，从而拓展小组成员的整体视野。（3）分享意见。在小组学习中，学生可以查询、收集和整合资源，从而相互合作，充分表达自己的观点和理解。通过小组学习和交流，学生的观察和归纳能力会进一步提高，在这个过程中，他们会逐渐形成对“问题”的来源、属性和内涵的初步认识。

3.深刻辨析，形成认同

（1）学生在学习和交往过程中形成的思想亮点。因此，教师要借助教师丰富的知识储备和更强的知识力量，作出积极的评价，从更高、更广的视角进行拓展，这将对学生的学习热情产生很强的促进作用，大大增强学生的自信心、学习获得感和成就感。（2）是指学生在学习和交往过程中形成的思想偏差。教师要理性分析原因，找出问题的症结所在，列出正确的认识和理解进行对比分析。这有助于引导学生逐渐学会“概念+判断+推理”的正确逻辑思维形式。（3）根据课堂教学内容的系统性，整合学生小组学习和小组讨论形成的初步认知框架。以关键问题为切入点，教师可以进一步全面、系统、深刻地分析“问题”的来源、属性和内涵，让学生对本课教学内容体系中要表达的思想有更深刻的理解，达到被本课教学内容体系认可的目的。

结束语

探索问题导向的教学与研究型教育模式，不仅是为了提高教与学的整体效果，也是为了在一定程度上培养每个学生的政治思想能力，全面培养学生的综合素质能力，这是当前我国教育改革大潮中企业所追求的最基本的教学目标。在复变函数的教学中，引入了基于问题导向的探索研究的教育理念，尝试新的教学方法，引导学生深入思考，用数学方法处理实际问题，重构教学过程。要努力培养学生的创新精神和探索问题的能力。

参考文献

[1]张勇，张昊，袁培森.应用型本科院校“对分课堂”线上线下教学模式探索——以复变函数为例[J].科技风，2021（31）：144-146.

[2]吴延红.复变函数与积分变换课程教学与学习情况调研分析及对策研究[J].黑龙江科学，2021，12（17）：102-103.

[3]孟华，罗荣，杨晓伟.以问题为导向的复变函数教学与实践[J].大学数学，2020，36（03）：40-44.

[4]冯建中.一题多解在复变函数教学中的应用研究[J].现代商贸工业，2012，24（20）：133-134.

[5]曹月波，吴昭君，田宏根.复变函数教学中直观性原则应用的思考与实践[J].数学教育学报，2011，20（06）：86-88.

作者简介：阿布力米提·米吉提，1967年3月，男，维吾尔族，籍贯：新疆维吾尔自治区、伊宁市，职务职称：副教授，学历：本科，单位：伊犁师范大学数学与统计学院、伊犁师范大学应用数学研究所，研究方向：分析学、微分方程