波利亚在LP类函数猜想上的工作

王全来

（天津师范大学 计算机与信息工程学院，天津300387）

整函数零点分布的研究是数学分析研究中一个重要领域，整函数中一重要类是拉盖尔-波利亚类函数（简记为LP类）。该类函数首先由拉盖尔（E.Laguerre，1834—1886）在1882年研究①为了节省篇幅，本文涉及拉盖尔的学术论文可参见其数学全集，不再进行标注。。由于这个主题与黎曼猜想有一定关系，故吸引了许多大数学家如胡尔维兹（A.Hurwitz，1859—1919），波利亚（G.Pólya，1887—1985），布吕恩（de Bruijn），埃德雷（A.Edrei）等人的兴趣。1859年，黎曼（B.Riemann，1826—1866）将素数分布问题归结为函数问题，现称为黎曼zeta函数ζ（s）。黎曼猜想是指ζ（s）的所有非实根位于临界线上。设ξ（s）=s（s－1）π－s/2Γ（s/2）ς（s）/2，则ξ（iz+1∕2）是型为1的偶整函数，且若z取实值，则该函数取实值。黎曼猜想暗示ξ（s）的零点有实部1∕2，故ξ（iz+1∕2）属于LP类函数。对于ξ（s）研究激起了对LP类函数性质的探讨。波利亚在“只具实根的三角积分”，勒文（B.Levin）在1980年再版的“整函数零点分布”第八章中指出，若黎曼猜想成立，则ξ（s）属于LP类函数。

一个整函数属于LP类当且仅当f（z）=exp（－γz2+βz+α）zmΠ（1－z∕zn）exp（z∕zn），zn，α，β为实数，γ≤0，m为正整数，Σ|zn|－2收敛。LP类函数在卷积变换理论，变差变换理论，样条函数插值理论等有重要应用。该类函数在理论和应用上的研究依旧活跃，且在分析的许多方面扮演着重要角色。关于LP类函数猜想的历史研究文章目前国内外尚未见到，本文将详细研究这一历史发展，以补现有文献不足。

1 波利亚提出猜想的工作背景

1.1 波利亚之前一些学者的工作

魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass，1815—1897）关于整函数展成无穷乘积的因子定理对于整函数性质和零点分布的研究有重要作用，在复函数理论中开创了新篇章。几乎所有关于整函数理论的文献第一部分都以魏尔斯特拉斯因子定理开始，足见其影响。拉盖尔从1882年开始发表了一些与魏尔斯特拉斯因子定理有关的论文，给出了整函数的一些重要概念和性质，其中就有型的引入。整函数的型和阶是该理论的两个最基本概念。庞加莱（H.Poincaré，1854—1912）、阿达玛（J.Adamard，1865—1963）、皮卡（E.Picard，1856—1941）、波莱尔（E.Borel，1871—1956）等人依据整函数阶的概念探讨了整函数的一些问题，其中包括整函数的增长和零点分布之关系的问题。拉盖尔的大部分工作是研究型为0和1的整函数及其导数零点分布。

由幂级数表示的整函数表明一个简单事实，任一个整函数为多项式序列的极限，该序列在每个有界区域内一致收敛。若附加多项式序列一致收敛于一个其零点属于某一集合的整函数的条件，则极限函数依赖于该集合形成一个特殊类。拉盖尔在这个方向上区分了两种情况。第一种，在其中这些多项式的零点都是正的；第二种，在其中这些零点都是实的。遗憾的是，拉盖尔对第二种情况没有给出证明，波利亚在1913年给出证明。这样的多项式序列更全面的考察由林德瓦特（E.Lindwart）和波利亚在1914年进行探讨。

1.2 波利亚的早期工作

波利亚特别喜欢整函数和用多项式逼近整函数的零点集的性质有关的定理①为了节省篇幅，本文涉及波利亚的学术论文可参见其数学全集，不再进行标注。。波利亚在“利用具有全部实根的多项式逼近”（1913）、“全部根落在一个角形域内的多项式逼近”（1913）及“根与多项式序列收敛之关系”（1914）中研究了整函数 （fz）的特征，多项式序列｛f（nz）｝在D内一致收敛于 （fz），当每个f（nz）的全部根αnk位于给定的集合T内或当对αnk指定某个收敛指数k（即∑|αnk|－k≤M）一般化了拉盖尔的早期结果。波利亚后来的大部分工作起源于此。波利亚在“利用具有全部实根的多项式的逼近”（1913）中证明，若αnk是实的，则 （fz）=exp（az2+b）Φ（z），其中 Φ（z）为型是0或1的整函数，a，b为实数，a≤0。在“根与多项式序列收敛之关系”（1914）中证明，若指数k为给定整数，则f（z）=exp（bz）Φ（z），Φ（z）为型是k－1的整函数。受这些文章激励，其他学者从不同的区域和集合T研究了类似问题。

在拉盖尔、阿达玛等人工作基础上，波利亚和舒尔（I.Schur，1875—1941）在开创性的论文“在代数方程理论中的两类因子序列”（1914）中把LP类函数特征化。他们证明所有把具有实根的多项式变为具有实根的多项式的乘积序列可由特殊类型的整函数产生。这些函数现在被称为波利亚-舒尔函数或拉盖尔-波利亚类函数。乘积序列理论始于拉盖尔的工作，深化于波利亚和舒尔的开创性工作。波利亚和舒尔指出，实序列T=｛γk｝使得，若一个多项式p（x）=∑akx k只有实根，则多项式T［p（x）］=T［∑akxk］=∑γk akxk也只有实根，γk为实数。以此揭示了LP类函数的一些重要性质。

令Ψ（s）=∑（βjsj）∕j！为一个整函数，则下面性质等价：（1）Ψ属于LP类；（2）Ψ可在紧致集上利用只具有实根的多项式p（nx）=∑βjcjnx j，q（nx）=∑βjcjnx n－j一致逼近；（3）若p（x）=∑Cjx j是一个只具有非正实根的多项式，则q（x）=∑βj Cjxj只有实根。对形式幂级数F（s）～∑akxk，F（D）p（x）=∑akDkp（x），其中D=d∕dx，上述结论也成立。波利亚在“关于型为0和1的整函数的代数研究”（1915）中指出，假设Ψ（s）属于LP类，Ψ（0）＞0，Ψ（s）≠eas+b，1∕Ψ（s）有泰勒展开∑（βjsj）∕j！，则由此确定的汉克尔矩阵为正定的。设p→（1∕Ψ（D））p为零点减少的变换，p（x）=（∑aj xj）2，通过计算（1∕Ψ（D））p，得到了属于LP类函数的一些必要条件。然而，汉克尔矩阵的正定性对Ψ（s）属于LP类不是充分的，由汉伯格尔（H.Hamburger）在“关于波利亚所提问题的注释”（1920）中证明。这些工作为波利亚提出其猜想奠定了基础。

2 波利亚在LP类函数猜想上的工作

2.1 LP类函数猜想的提出

在多项式和超越整函数零点分布理论中，考虑施于微分运算的整函数零点将如何变化的一般性问题，波利亚做出许多贡献，其中之一是提出LP类函数的有关猜想。LP类函数在微分运算下保持封闭，故属于LP类函数，其任意阶导数只有实根。一个函数在何种条件下为LP类函数呢？对于该问题涉及较早的是数学家威曼（A.Wiman）。据威曼的学生阿朗尔（M.Ålander）在其博士论文中称，威曼在1911年曾猜想，若（fx）为实整函数②在实轴上取实值的整函数称为实整函数。，且 （fx）和二阶导数f（΄΄x）只有实根，则 （fx）属于LP类。威曼关于整函数的首篇论文处理了米塔格－莱夫勒函数E（αz）=∑zn∕Γ（αn+1）的零点问题，与魏尔斯特拉斯因子定理有关，这可能是其提出该猜想的重要原因。威曼的猜想暗示如下结果，“若一个超越实整函数和其二阶导数的零点是实的，则所有导数的零点位于实轴上”。

在定理中假设（fx）为实整函数是该猜想的最基本要求，这一点由波利亚的学生埃德雷在1955年通过例子 （fz）=exp（exp（iz））说明［1］。波利亚1914年前往瑞士苏黎世，在此期间，他研究的问题之一是整函数的性质和逼近于整函数多项式零点集性质之间的联系。他和胡尔维兹经常探讨这方面的学术问题，为波利亚深入研究波利亚－舒尔函数或拉盖尔-波利亚函数的相关问题奠定了基础。

波利亚在“关于整函数的一个问题”（1914）中提出一个比威曼猜想稍弱的猜想，指出若（fx）为实整函数，且它同其各阶导数只有实根，则（fx）应属于LP类函数。该问题现被称为波利亚猜想。波利亚在该文开篇提到了LP类函数的性质，随后指出，“是否存在其它函数，其和它的各阶导数只有实根。这个问题，我感到非常困难，然而，我将能够解决非常简单的一部分”。实际上，证明了如下定理。

设整函数F（x）满足条件：（1）F（x）的型有限；（2）F（x）的零点数有限；（3）F（x）各阶导数的零点全为实数，则F（x）∈LP。若F（x）满足条件（1）和（2），F（x）=g（x）exp（H（x）），g（x）和H（x）为多项式，设H（x）的次数为m+1，则命题可以转化为：若m+1≥3，F（x）=g（x）exp（H（x））及其导数有些非实根；若m+1=2，H（x）中x2的系数为正的，结论同样成立。波利亚利用舒尔告知的微分多项式方法给出了简要证明。

波利亚的“整函数理论注释”（1915）是其上文的扩展。他在该文猜想，除去形如f（z）=aebz，f（z）=a（eicz–eid），（a，b，c，d为常数，c，d为实数，b为复数）的函数外，所有整函数及其各阶导数只有实根一定为下列形式czrexp（－γ2z2+dz）Π（1－d nz）exp（d nz），其中除c外，所有常数都是实的，Σdn2收敛。并给出如下3个定理。

定理1：F（x）为有限型，且只有有限个根，F（x）的各阶导数无虚根，则F（x）为LP类函数或为F（z）=aebz（a，b为复数）。

定理2：若F（x）=g（x）exp（H（x）），g（x），H（x）为多项式，H（x）的次数至多为2，最高次的系数为正，则F（x）的各阶导数从某阶起至少有一对虚根。

定理3：F（x）=g（x）exp（H（x）），g（x），H（x）为多项式，F（x）的各阶导数只有实的非正根，则在给定g（x）和H（΄x）为常数的情况下，H（x）=γx+δ，γ≥0，δ为常数。

波利亚在假设整函数是有限型的，且只有有限个零点的情况下通过构造多项式序列及其微分多项式巧妙地给出证明。

2.2 波利亚后续的相关工作

波利亚虽然未能证明自己提出的猜想，但在后续工作中亦对此有一定研究，得到一些重要结果，与之有关的论文是“具有三个零点的有限型整函数的确定”（1921），“连续阶导数的零点”（1922），“傅里叶关于超越方程有关的一些问题”（1930），“某个整函数各阶导数零点的实性”（1937），“一个函数导数的零点和其解析性”（1943）等。在“具有三个零点的有限型整函数的确定”及“连续阶导数的零点”中，波利亚继承了其在1914年、1915年上述论文中的思想，采用构造辅助函数列的方法证明，当f是一个实整函数，且f，f΄，f"无零点，则f是一个指数型函数。这一结果以各种方式被一般化，特别是柯达斯（G.Csordas），诺福克（T.Norfolk），瓦尔加（R.Varga）在1986年证明，若f，f΄，f΄，f΄只有实根，则f或为指数类型函数，或为波利亚-舒尔函数，或为A（eicz－eid），A为常数，c，d为实数［2］。海勒斯坦（S.Hellerstein）、陈（Li-Chien Shen）、威廉森（J.Williamson）1983年对亚纯函数得到进一步的结果［3］。

波利亚在“连续阶导数的零点”的注脚处指出，若g（z）为整函数，且假设（1）g（z）和g（΄z）无零点；（2）g（΄΄z）至多有有限个非实根，则g（z）具有下列形式之一：g（z）=exp（az+b），a和b为常数或g（z）=exp［c+exp（（iξz+η））］，ξ，η为实常数，c为常数。埃德雷在1955年的论文中推广了上述定理。令g（z）为至多有有限个非实根，形如g（z）=P（z）eQ（z）的整函数，Q（z）为任意整函数，P（z）为有限阶的整函数。方程g（z）=0，g（΄z）=0，g（΄΄z）=0除有限个零点外为实的，则Q（z）的阶一定是实的，且不超过1。在该文中，波利亚引入了对于一个整函数或亚纯函数关于连续阶导数零点集的极限点集合的最后集概念，并确定亚纯函数的最后集，最后集是一个多边形，其顶点距离两个最近的极点等距。确定整函数的最后集比较困难，对于一个拉盖尔-波利亚类函数，其阶大于1，在实轴上取实值，以整个实轴为最后集似乎是成立的。在一些条件限制下，这个结果由陈1986年证明［4］。波利亚在“傅里叶关于超越方程有关的一些问题”中证明对于阶小于2∕3的实整函数，只有有限多个非实根，则零点几乎全部是实的。威曼在1930年、1937年中改进到阶至多为1［5］，波利亚在“某个整函数各阶导数零点的实性”中改进到4∕3。在“一个函数导数的零点和其解析性”中，波利亚考察了到1942年之前几乎每个与之有关的问题，并进一步指出，若阶小于2的实整函数f只有有限多个非实根，则存在正整数m0，使得若m≥m0，f（m）只有实根。这个结果由柯瑞文（T.Craven），柯达斯，史密斯（W.Smith）在1987年［6］和同年的论文得到证明［7］。在证明过程中，詹森-纳格-沃什定理起着重要作用。早在1836年，高斯在数学笔记中就对多项式导数的零点给出了物理解释。1874年，拉卡奇（G.Lucás）阐述并证明了高斯-拉卡奇定理。该定理描述了复系数多项式的一个性质：多项式导数的零点一定在原多项式的零点所构成的凸包内。除了高斯－拉卡奇定理外，詹森（J.Jensen，1859—1925）在1913年发表了一个未证明的定理，基于詹森椭圆思想给出了实多项式导数零点更为准确的信息。该定理的第一个证明由沃什（J.Walsh）1920年基于高斯－拉卡奇定理给出，纳格（J.Nagy）1922年也给出证明。其实早在1914年，阿朗尔已有该定理的思想，并证明若 （fz）为有限阶ρ=ρ（f）的整函数，λ＞ρ，w∈C，C为复数域，存在无穷多个正整数n，使得f（n）（zn）=0，则|zn－w|＞（log2）n－1+1∕λ。阿朗尔1914年在威曼指导下完成博士论文《整函数导数的零点迁移》，对函数连续阶导数的零点问题进行深入研究，先后发表与之有关的几篇论文，主要结果和型是2，3，4，5的整函数及有理函数有关，阐述了一些值得注意的观点和猜想，以及一些启发性研究的例子，对波利亚的研究有重要影响，这一点可从波利亚的“某类整函数几乎所有导数的零点的实性”（1937）论文中看出。

3 LP类函数猜想的影响

3.1 LP类函数猜想的解决

波利亚关于LP类猜想的工作在20世纪引起许多学者的关注，研究成果众多。阿朗尔受威曼和波利亚影响，随后发表了一些相关文章。阿朗尔在1914年［8］、1916年［9］证明，若f是整函数，其阶为 λ，型小于 σ，则（fz）=AzkeP（z）（1－z∕an）exp（z∕an+··+zq∕qaqn），A为常数，k为非负整数，P（z）为多项式，q为最小非负整数使Σ｜an｜－q－1＜+∞。f的型 σ 是q和P（z）的次数的最大值，且满足 σ≤λ≤σ+1。他于1922年引入一种整函数分类方法［10］，对任意整数p＞0，类V2p为g（z）exp（－az2p+2）构成的集合，其中a≥0，g（z）为一个具有实根的实整函数，且阶至多为2p+1；类U2p由U0=V0，U2p=V2p/V2p－2，p≥1定义；由定义知U0=LP。阿朗尔证得，若f∈U2p，f΄只有实根，则f"恰有2p个复根。

需要指出的一点是，阿朗尔在该文中只对有限型的整函数研究了该定理，但勒文、奥斯特罗夫斯基（I.Ostrovskii）1960年论文的第324页注脚1［11］、海勒斯坦、威廉森1975年论文第229页注脚［12］和1977年的论文［13］，坎贝尔（D.M.Campbell）、克拉尼（J.Clunie）、海曼（W.K.Hayman）在“在复分析中的研究问题”2.64问题中未有关于有限型的限制［14］。他在该文中称可以将这个结果推广到任意p。阿朗尔1923年将这个结果推广到有限阶的任意整函数，并证明，若f是一个有限阶的严格非实整函数，f，f΄，f΄只有实根，则（fz）=aebz或 （fz）=A（eicz–eid）［15］，详细证明出现在海勒斯坦、威廉森的1975年论文中。

然而波利亚1943年的论文中只提到了阿朗尔1914年、1916年的论文，并未提到1922年的论文。海勒斯坦向其老师埃德雷提出这个奇怪现象，引起埃德雷的注意。为回答埃德雷的疑问，波利亚在一封信中回应称，他注意到了阿朗尔1922年的论文，但文中的证明不能使他信服，且他也不能证明该证明是错误的。阿朗尔的证明涉及在U2p中与调和函数水平集有关的研究。

萨克斯（W.Saxer）为波利亚的博士生，受波利亚工作的影响，于1923年利用威曼－瓦利龙法指出，若f为整函数，且在假设f，f΄，f"无零点的情况下，（fz）=P（z）exp（Q（z）），P（z），Q（z）为多项式［16］。科斯格（P.Csillag）1935年在假设f，f（m），f（n）对某些m，n只有有限多个根时加强了萨克斯的上述定理，1≤m≤n［17］。萨克斯-科斯格定理后由图目若（Y.Tumura）1937年推广：令f（z）为一个无零点整函数，且存在导数f（n）（z）（2≤n）不为0，则 （fz）=eaz+b［18］。海曼1959年在假设f和f"只有有限多个零点的情况下，将萨克斯的结果进一步一般化。海曼提出是否他的结果同科斯格一样，可以在只假设f，f（n）（n≥2）有有限多个根的情况下，一般化萨克斯的结果［19］。克拉尼1962年肯定回答了这个问题。克拉尼的证明基于早期由图目若考虑的一类微分多项式的结果［20］。海勒斯坦、杨（C.Yang）1972年进一步在半平面内推广了克拉尼定理［21］。

LP类函数猜想第一个重要的进步由勒文和奥斯特罗夫斯基在1960年上述论文中获得。他们以整函数对数导数为基础证明，若f为无穷阶的只有实根的实整函数，则f"有无穷多个非实根。他们把对数导数表示成两个函数的乘积，其中一个没有极点，另一个将上半平面映射成自身。这种思想成为研究LP类函数猜想的基础。勒文和奥斯特罗夫斯基在该文中另一贡献，是对来自半平面内亚纯函数值分布理论思想的运用。他们的思想和方法在整函数零点分布研究中起着关键性作用，并为后来学者广泛使用。海勒斯坦1966年通过引入复数上A-集的概念，精确化了勒文和奥斯特罗夫斯基的相关结果［22］。

海勒斯坦、威廉森利用函数对数导数的方法在LP类函数猜想上取得重大成就，1975年证明，若f为有限阶，且f，f΄，f"只有实根，则LP类函数猜想成立。随后，海勒斯坦、威廉森1977年对无穷阶的情况证明了波利亚猜想。至此，LP类函数猜想完全解决。在证明LP类函数猜想的过程中，对于f为实的，且为有限阶，海勒斯坦、威廉森发现了f的增长和f"的非实根数之间的关系，并为其后研究者使用。对于具有有限多个实根的实整函数，贝韦勒（W.Berweiler）、甫士（W.Fuchs）在1993年证明，若f为实整函数，且f，f"只有实根，则 （fx）属于类LP［23］。

3.2 LP类函数猜想的相关工作

解决了LP类函数猜想后，许多学者开始研究整函数倒数的表示问题，并获得一些重要成果。海勒斯坦、威廉森1977年证明，若f为实整函数，连同其各阶导数只有实的非正根，则（fz）=Ceaz，C和a为实常数，或 （fz）=CzreazΠ（1+z∕｜zn｜），a≥0，Σ｜zn｜－1＜∞［24］。海勒斯坦、威廉森1981年发现在f"的非实根和（1∕f）"的实根之间的关系，并证明，若F=1∕f，f为只有实根（至少有一个根）的有限阶的实整函数，F΄，F"只有实根，则（fz）=（az+b）n，a为不等于0的实数，n为正整数。此外，F"的实根数和f"的非实根数相等且有限［25］。罗西（J.Rossi）在威廉森指导下完成博士论文，受其工作影响，他于1982年将上述结果推广到f为无穷阶的情况［26］。

海勒斯坦、陈、威廉森在1983的上述文章中考虑了严格非实整函数类，证明若f为整的严格非实函数（即不是一个实函数与一个常数之积），f，f΄，f"只有实根，则：（1）若f为有限阶的，f（z）=aebz或f（z）=a（eicz–eid），其中a不等于0，b，c，d为常数，b为非实数，c，d为实数；（2）若f为无穷阶的，则（fz）=aexp（e（icz+d））或 （fz）=Aexp｛k［（icz+d）－e（icz+d）］｝，A不等于0，c，d为实数，－∞＜k≤－1∕4。他们在该文中还证明，若f为严格非实亚纯函数，且只有实极点，f，f΄，f"只有实根，则 （fz）=Ae－（icz+d）∕sin（cz+d）或 （fz）=Aexp［－2（icz+d）－2exp2（icz+d）］∕sin（2cz+d），A为常数，c，d为实数。他们的工作后由欣克内（A.Hinkkanen）和罗西于1984年进一步研究，科斯（W.Kohs）和威廉森1988年进一步减弱了定理成立的条件。尼克斯（A.Nicks）2009年通过利用科斯和威廉森的有关方法将欣克内和罗西的结果一般化［27］。

对于实亚纯函数f，使得f，f΄，f"只有实根的一个完整特征由陈、威廉森、海勒斯坦1984年给出。设f是具有实根和实极点（每个至少有一个）的实亚纯函数，若f΄无根，f"只有实根，则f为下列三种形式之一：（fz）=Atan（az+b），（fz）=（az+b）∕（cz+d），ad－bc≠0，（fz）=A（1－a（2z－b）－2），A，a，b，c，d为实常数，A，a，c都不等于0。此外，若f是有限阶，且f的极点为单重，则不需要对f"的零点进行限制，且f为上述前两式之一［28］。科斯1986年去掉f΄无零点的要求下证明了最后一式［29］。陈、威廉森、海勒斯坦在该文中还提出如下猜想，至今未能解决。设f是非有理实亚纯函数，只有单重实极点，若f，f΄，f"只有实根，则f（z）=A［tan（az+b）－（cz+d）］，A，a都不等于0，c，d为适当选择的实常数。

希尔司马（T.Sheil-Small）1989年通过构造辅助函数，且研究这些函数水平线的方法证明，若f∈U2p，则f"至少有2p个非实根［30］。同年，他利用上文中有关结果得到如下定理：令f为至多有有限个实零点的有限阶的整函数，假设f"无非实根，则f（z）=eb+az，a，b为常数，或存在实常数θ，使得f（z）=eiθg（z），其中g（z）∈LP［31］。2002年爱德华兹（S.Edwards）、海勒斯坦将希尔司马的结果推广到具有有限多个非实根的实整函数，引入实整函数的另一类U2p*，其为f=Pf0的集合，f0∈U2p，P为实多项式。每个有限阶的具有有限多个非实根的实整函数属于U*。f∈U*当且仅当f=c（z）g（z），g（z）∈U，c（z）为无实根的实多项式。

2p2p2p

爱 德 华 兹 和 海 勒 斯 坦 证 明 ，若f∈U2p*，则2p为f（k）的 非 实 根 数 的 下 界 ，k≥2［32］。 贝 韦 勒 、赫 曼（A.Eremenko）、兰利（J.K.Langley）2003年推广到无穷阶的函数，即对每个无穷阶的实整函数，f，f΄有无穷多个非实根。兰利2005年证明，若f为平面内无穷阶的实亚纯函数，且f有有限个极点，则f和f（k）至少一个有许多非实根，k≥3。其结果和爱德华兹、海勒斯坦的结果相结合，证明了类似的LP类函数猜想。若f为实整函数，f，f（k）只有实根，k≥3，则f∈LP。2009年兰利确定了在平面内所有实亚纯函数的形式，使得f΄有有限个零点，而f，f（k）有限个非实根，k≥2。2011年证明，若f为平面内无穷阶的实亚纯函数，具有有限多个根和非实根，则f"有无穷多个非实根［33］。

在LP类函数猜想的影响下，2012年尼克斯给出了一个实整函数属于类LP或类U*之一的条件。他

2p证明，若f为一个实整函数，M＞0，1≤j＜k，设f，f（j），f（k）的非实根有有限的收敛指数，f的零点重数至少为k，至多为M，则f∈LP，且f（m）的所有零点为实的，m≥0。利用这个结果，兰利证明，若f为实整函数，f和f（n）只有非正实根，则 （fz）=ceaz，a为实数，或f∈LP。在这个假设中，条件f（n）不能弱化为对一些N只有非正实根，n=1，2，···，N。在尼克斯的证明过程中用到了与埃德雷有关的一个定理：令 （fz）=exp（－rz2）G（z），r＞0，G（z）∈LP，且型小于等于1，则f连续阶导数的零点在实轴上几乎处处稠密。尼克斯给出一个实函数属于LP或U2p*的条件，这些条件涉及f或其导数或ff΄－a（f）΄2非实根的探讨，a为参数［34］。2019年兰利又证明，若f为具有有限多个非实根的无穷阶的实整函数，a为正实数，则f"+af有无穷多个非实根［35］。

4 结语

波利亚关于LP类函数猜想的工作，不仅丰富了整函数零点理论的内容，产生许多重要结果，而且在证明的过程中出现一些重要思想和方法，如函数对数导数的方法和零点的最后集思想。在证明波利亚猜想的过程中，许多学者都是师生关系，如阿朗尔为威曼的学生，海勒斯坦为埃德雷的学生，尼克斯为兰利的学生等，可见学术传承在数学研究中的重要性。

此外，许多学者如科雷瓦（J.Korevaar）、兰利、苏亚雷斯（D.Suárez）等人把LP类函数的概念一般化［36］，勒文在“LP类的整函数”（1984）中引入了另一类类似于LP类的整函数，并得到与LP类函数猜想相似的结果［37］。柯达斯等人1989年从积分变换的角度［38］、柯（H.Ki）和柯姆（Y.O.Kim）2016年从微分算子的角度［39］更广泛的研究了LP类函数的性质；德米特里（K.Dimitrov）和谢赫（Y.B.Cheikh）2009年探讨了詹森多项式和LP类函数的关系，以此为据给出贝塞尔函数的零点为实的一个简短优美的证明［40］。

1914年波利亚和舒尔证明，实序列｛γn｝为乘积序列当且仅当∑γnzn∕n！在类LP中表示一个整函数。特别是，｛γn｝为型是1的序列乘积，当且仅当∑γnzn∕n！表示在Lp1类中的一个整函数。其实，拉盖尔早在1881年就已经给出了一个在LP类中整函数参数族的例子φ（z）=∑cos（ψ+nθ）zn∕n！，对某个参数θ选择，其系数符号形成一个非规则序列。因此，给定一个具有迈克劳林级数φ（z）=∑anzn的实整函数，如何利用系数序列｛an｝给出保证φ∈LP的条件，是德米特里和奥利让（W.D.Oliveira）2016年研究的问题，并建立了一些重要定理［41］。