基于ARM的时变频率测量算法设计

党存禄，陈国国

（兰州理工大学 电气工程与信息工程学院，兰州 730050）

国家规范对电力系统的频率有着严格的要求，一般情况下频率的偏差值为±0.2 Hz，它反映的是系统有功功率的平衡[1]。风力发电和光伏发电的装机容量越来越大，但是在这些新型能源系统中，频率是不稳定的，是随着时间不断变化的[2]。例如：负载波动引起的有功功率不平衡，系统发生各种故障时，也会引起有功功率的不平衡。波动的频率不仅会影响到其测量的准确性，而且有可能会使低频减载装置误动作或拒动[3]。

在新能源系统中，频率的测量主要由嵌入式微机系统来实现[4]。随着科学技术的发展，新能源系统中各种自动装置对系统频率的测量精度要求日趋严格[5]。当前，离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）以及过零点测频算法是嵌入式装置中普遍使用的软件测频算法[6]。其中DFT 测频算法当采样点数比较少时，会发生频谱泄漏和栅栏效应[7]，并且高次谐波对其影响很大，对以上的问题后期进行了各种各样的改进算法，其中加窗函数修正的DFT 测频算法[8]存在主要的问题是它的实时性达不到预计的要求；文献[9]结合插值和迭代的优点得到的DFT测频算法计算复杂，反应周期长，不利于应用到嵌入式装置中。

基于频率的变化率，本文提出了时变频率测量算法，解决了频率随时间变化时，现有的测频方法精度不高、误差大、计算复杂等问题。首先把原始的信号送入滤波器进行滤波，滤除信号中所含的高次谐波、直流分量和噪声；然后在每一段小区间内对滤波后的信号采用过零点检测算法[10]进行频率值的计算，将所得到的频率值作为最小二乘非线性曲线拟合的迭代初值，在每一段小区间内进行正弦曲线拟合；最后对拟合后的曲线以调整采样频率的方式对其进行二次采样，将所得到的二次采样数据进行动态频率测量算法计算频率，解决现有的算法计算量大、测量精度不高和占用内存大等问题。

1 频率算法的基本原理

1.1 滤波器的设计

在实际运行的电力系统中，信号波形往往不是标准的正弦曲线，其中夹杂着高次谐波、直流分量以及各种噪声的复杂曲线[11]；系统正常运行时，频率在50 Hz 左右波动，其中的谐波频率也在随着工频不断变化[12]，这就给频率的准确测量带来了很大的测量误差，因此需要设计滤波器。

本文采用基于巴特沃斯型带通滤波器的设计[13]来滤除原始信号中所含的噪声和谐波，文中主要设计参数：通带范围为45～55 Hz，通带上限为60 Hz，通带下限为40 Hz，通带最大衰减为2 dB，阻带最小衰减为15 dB。带通滤波器频率响应如图1所示。

图1 带通滤波器频率响应Fig.1 Frequency response of bandwidth filter

分析图1可得，当信号经过这款滤波器后，信号中的高次谐波分量和直流分量的衰减接近于0，最后只剩下50 Hz 附近的频率可以通过滤波器。从而滤除掉原始信号中掺杂的直流分量和高次谐波分量，减小其对基波信号的干扰。

信号中不仅含有以上对信号的干扰项，而且含有各种随机噪声，带通滤波器不可能把所有的干扰项全部滤除，经过滤波器滤波后的信号中仍然含有一部分噪声，这些未被滤除的噪声很容易产生频率泄漏，所以还要对信号的噪声进行处理。

1.2 基于列文伯格-马夸尔特的最小二乘非线性曲线拟合原理

滤波后的信号中仍然含有部分的噪声信号，这些噪声信号很容易造成频率的泄漏[14]，这就在很大程度上影响了现有测频算法的测量精度。

本文运用基于列文伯格-马夸尔特的最小二乘非线性曲线拟合[15]方法对滤波后的信号进行正弦曲线拟合。其基本原理为在滤波后信号的每段区间Vi中把滤波后的信号拟合成标准的正弦曲线Yi，表示为

式中：Yi为第i 段的标准正弦拟合函数。

标准正弦拟合函数的各种参数，如相角、幅值和频率的最优值采用列文伯格-马夸尔特方法来获得，其中的初始值设为0.01。为了减小迭代次数，把迭代频率的初始值设为过零检测算法所得的频率值，取0～π 中的任意值作为相角θ 的值。假如得到的参数值不在合理范围值之内，重新调整θ 的值对参数进行优化估计，直至参数值在合理范围值之内。最后对拟合后的正弦曲线进行二次采样，进一步去除信号中的各种噪声，从而提高频率测量的算法精度。

1.3 频率变化率与周期的关系

首先假设被测信号的幅值是Um，频率为f，相角是φ（f，t），那么信号的表达式可以表示为

如果f 是随时间变化的，那么f 的一阶导数肯定不为零，则每一时刻的相角φ（f，t）可以表示为

式中：ω=2π f 是角频率；dω/dt 是角加速度；φ0是零时刻（t=0）的初始相角；ω0=2π f0是零时刻的初始角速度，f0为初始频率。以紧邻3 个过零点处的相位角为研究对象，如图2所示。

图2 信号波形与过零点示意图Fig.2 Signal waveform and zero crossing diagram

把过零点0 设置为起始点，则在t=0 处，相角φ0=0，频率为f0。在过零点1 处，相角为2π，过零点2 处，相角为4π。

由式（3）得：

解得：

其中：

由式（5）和式（6）可以求出频率的变化率d f/dt和过零点0 处的初始频率f0。

根据以上所求得的结果可以计算出每一时刻的频率。如图2所示，假设过零点2 为最新的过零点，采样点m 为当前时刻的采样点，过零点2 到当前时刻之间的采样值个数为m，因此当前时刻的频率为

式中：Δt 是过零点2 与采样点1 之间的时间；Ts为相邻两个采样点之间的时间，即采样时间间隔。

1.4 计算周期T

1.4.1 Δt 的计算

如图2，在采样的时候信号的过零点经常并不一定与采样点重合，要准确求出周期T，则必须首先要求出过零点与过零点后的第一个采样点之间的时间Δt。

对于信号的真正过零点是没有办法直接求解出来的，但是可以通过其他的方法近似求解，比如，可以把零点附近的波形看作是直线，然后采用相似三角行的方法来求解[16]。

为了解决相似三角形方法解得的过零点值精度不高的问题，本文采用牛顿多项式[17]f（x）来逼近：

接下来就是计算式（8）的各项系数即a0，a1，a2，a3。

如图3所示，依据式（8），从众多的采样点中取4 个采样点，分别为过零点之后的第一个采样点（tk，uk），过零点之前的三个采样点（tk-1，uk-1）、（tk-2，uk-2）、（tk-3，uk-3）。根据这4 个采样值可以建立向后差分表[18]，见表1。

图3 牛顿插值多项式示意图Fig.3 Schematic diagram of Newton interpolation polynomial

表1 牛顿向后差分表Tab.1 Newton backward difference table

其中，

则，式（8）又可表示为

x 与Δt 之间的关系式为

从而求得式（8）的各项系数如下：

令f（x）=0，求解牛顿三次插值多项式过零点：

利用牛顿迭代方法求取f（x）=0 的根：

为了减少迭代的次数，首先采用相似三角形的方法求出迭代初值x0，见图4所示，由相似三角形原理可得：

图4 计算过零点时间方法示意图Fig.4 Schematic diagram of method for calculating zero crossing time

把Δt=-xTs代入式（16），可得：

所以迭代初值可以取为

当迭代精度达到所要求的精度时可以得到x 的值，最后计算出Δt=-xTs的值。

1.4.2 周期T 的计算

假设两个紧邻过零点之间的采样点数为N，那么周期T 的计算公式为

式中：Δt1和Δt2是过零点与过零点之后第一个采样点之间的时间值。

2 算法的实现过程

（1）对过零点的判断。当uk*uk-1<0 时在uk与uk-1之间必有一个零点。

（2）按式（9）、式（12）计算拟合函数f（x）的系数a0～a3。

（3）求解过零点。首先依据式（18）算出迭代初值，再根据式（8）、式（13）、式（14）计算出过零点的近似解x 的值。

（4）当前周期T 的计算。利用式（11）计算出Δt的值，再根据式（19）得到当前周期T。

（5）最后计算采样点处的频率。采用式（7）计算频率f。

3 算法的仿真

接下来分别对标准正弦波信号、含高次谐波和噪声、频率波动情况下，对本文提出的算法进行MATLAB 仿真，将仿真所得的结果与文献[19]中的DFT 算法和文献[20]中的过零点算法进行比较，以验证本算法的优越性。

3.1 标准正弦波

设标准正弦信号的数学模型为u（t）＝Umsin（2π ft+φ），频率f 取45～54 之间，φ 角随机选取。测量数据如表2所示。

表2 标准正弦信号下的频率误差Tab.2 Frequency error under standard sinusoidal signal

3.2 含有噪声和谐波

设含有噪声和谐波信号的数学模型为

频率f 取45～54 之间，φ 角随机选取，ξ 为50 dB的白噪声。测量数据如表3所示。

表3 含有噪声和谐波信号下的频率误差Tab.3 Frequency error with noise and harmonic signal

3.3 频率发生波动

对发电机启动过程的频率进行模拟，取开始的频率为35 Hz，初始相角为-10°，频率变化率10，那么频率和输入电压信号模型为

式中：ω0=2π f0；ω=2π f。测量数据如表4所示。

表4 频率发生波动时的频率误差Tab.4 Frequency error in case of frequency fluctuation

4 结语

在频率发生波动的条件下，以紧邻两个过零点之间的相位为依据，推算出了每一时刻频率的数学表达式，从而提出了一种动态频率测量算法。本算法原理简单，实验仿真结果表明，本文算法在标准正弦信号下的频率测量精度达到10-6Hz 级，在含有噪声和谐波信号下的频率测量精度可达10-3Hz 级，在频率波动下的频率测量精度达到10-4Hz 级。

本文算法测量频率的精度高、测量范围广、计算速度快、能有效地抵抗噪声的干扰、在算法的准确性和稳定性方面有所提高，验证了本算法的可行性和有效性，解决了频率波动条件下，频率测量精度不高、计算量大、占用嵌入式内存大等问题。