通过计数原理感悟运算真谛利用排列组合提升思维品质

2021-12-30章建跃

数学通报 2021年11期

章建跃

(人民教育出版社课程教材研究所 100081)

计数问题在日常生活、生产中普遍存在.例如，幼儿会通过一个个数的方法，计算自己拥有的玩具数量；学校要举行班际篮球比赛，在确定赛制后，体育老师要算一算共需举行多少场比赛；用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同的信号，也需知道一共可以组成多少种不同信号；……数量很少时，一个一个数也不失为一种好方法；但如果数量很大，这种方法不仅效率低而且容易出错.所以，需要研究高效且准确的计数方法.

实际上，自然数系就是人类在生产、生活中，通过长期的“数个数”实践而逐渐发展起来的数学工具，自然数是人类的发明创造，其对人类文明的贡献可以与火的使用相媲美.为了使自然数系在计量中更加有用、好用，人们定义了具有交换律、结合律和分配律的加法、乘法，这是将若干个“小的数”结合成“较大的数”的最基本方法.这两种方法经过推广就成了本单元的分类加法计数原理和分步乘法计数原理.这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，应用它们，还可以得到两类特殊计数问题的计数公式，即排列数公式和组合数公式，应用公式就可以方便地解决一些计数问题；应用计数原理与计数公式，还可以推出二项式定理，这是一个在数学的许多领域都有重要应用的定理.

下面对本单元的课程内容和教学进行概要讨论.

1 课程定位

课程标准指出，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决计数问题的基础，称为基本计数原理；排列与组合是两类特殊且重要的计数问题；二项式定理是重要的代数公式，在数学中有重要的应用，可以通过两个基本计数原理进行推导.本单元的学习可以帮助学生理解两个基本计数原理，学会运用计数原理探索排列、组合、二项式定理等问题.本单元内容包括两个基本计数原理，排列与组合，二项式定理.课程标准要求学生通过本单元学习，能结合具体实例，识别和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其作用，并能运用这些原理解决简单的实际问题；能结合具体实例，理解排列、组合、二项式定理与两个计数原理的关系，能运用两个计数原理推导排列、组合、二项式定理的相关公式，并能运用它们解决简单的实际问题，特别是概率中的某些问题.

分析上述内容和要求，可得如下认识：

首先，就像加法、乘法是所有运算的基础一样，两个计数原理是解决计数问题的基础，课程标准将它们称为基本计数原理.高中阶段被冠以“基本”二字的定理只有基本不等式、向量基本定理等少数几个，足见其重要性.

其次，排列与组合是两个特殊的计数问题，可以利用两个基本计数原理推导出计数公式.事实上，研究一类数学对象时，往往要在研究一般性问题后考察特例，由此得出的结论也具有特殊作用.例如各种乘法公式就是特殊多项式相乘的结果，它们在代数学中具有重要地位；等腰三角形和直角三角形的相关结论在几何学中也有特殊的重要性；等等.

第三，二项式定理是有广泛应用的代数公式，二项式定理的推导就是两个计数原理、组合数公式的重要应用.

顺便指出，两个基本计数原理近乎常识，容易理解，但具有极大的灵活性，所以要熟练掌握并不容易.

2 本单元的内容与要求

课程标准对本单元提出了如下内容与要求.

(1)两个基本计数原理

通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.

(2)排列与组合

通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.

(3)二项式定理

能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

3 内容的理解与教学思考

3.1 对内容的整体分析

我们知道，两个基本计数原理是处理计数问题的两种基本思想方法.面对一个复杂的计数问题时，通过分类或分步将它分解为若干个简单计数问题，在解决这些问题的基础上，将它们整合起来得到原问题的解，这在日常生活中也被经常使用.通过对复杂计数问题的分解，将综合问题分解为单一问题的组合，再对单一问题各个击破，可以达到以简驭繁、化难为易的效果.

返璞归真地看两个计数原理，它们实际上是加法与乘法的推广，是解决计数问题的理论基础.

由于两个计数原理的这种基础地位，并且在应用它们解决问题时具有很大的灵活性，是训练学生逻辑推理的好素材，所以需要在教学中给予充分重视.另外，学生还不习惯用它们来分析和解决问题，所以需要通过具体实例概括出两个计数原理，并通过由易到难、由单一到综合的解题训练，使学生有较多机会来熟悉原理及其基本应用.

排列、组合是两类特殊而重要的计数问题，解决它们的基本思想和工具就是两个计数原理，其内容安排可以按如下思路展开：从简化运算的角度提出排列与组合的学习任务，通过具体实例的概括得出排列、组合概念；应用分步乘法计数原理得出排列数公式；应用分步计数原理和排列数公式推出组合数公式.对于排列与组合，有两个基本想法贯穿始终，一是根据一类问题的特点和规律寻找简便计数方法，就像算术运算中乘法作为加法的简便运算一样；二是注意应用两个计数原理思考和解决问题.

二项式定理的研究是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思路是“先猜后证”.“猜想”是直接应用两个计数原理对展开式项的特征进行分析得出的，这个分析过程不仅是学生认识二项式展开式与两个计数原理之间内在联系的基础，而且也为证明猜想提供了基本思路.

两个计数原理几乎是一种常识，这样简单朴素的原理易学、好懂、能懂、好用，但要达到会用的境界，则需要经过一定的应用性训练.所以，需要选择恰当的应用问题，引导学生用两个计数原理进行分析、推理和论证，使学生在应用中加深对原理的理解，提高思维的缜密性.

用排列、组合概念解决问题的过程中，困难在于问题背景不易把握而导致重复或遗漏，为此需要让学生掌握一些基本类型的计数技巧.

猜想二项式定理的主要困难在于学生很难想到把“展开式”与“计数”联系起来，因此用计数原理对(a+b)2的展开过程进行细致分析非常重要，需要加强引导.

3.2 关于两个基本计数原理

在思想方法上，用分类加法计数原理解决问题就是将一个复杂问题分解为若干“类别”，然后各个击破，分类解决；用分步乘法计数原理则是将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”，先分析每个步骤，再组合为一个完整的过程.其目的都是为了分解问题、简化问题.因为排列、组合及二项式定理的研究都是作为两个计数原理的典型应用而设置的，所以理解和掌握两个计数原理是学好本章内容的关键.

1. 如何帮助学生理解“完成一件事情”

两个基本计数原理都是讨论“完成一件事情”所有不同方法种数的问题.“完成一件事情”是一个比较抽象的概念，它比“完成一件工作”“完成一项工程”等的含义要广泛得多.某些问题的实际背景以及文字表达中一些关键词的语义往往会引起学生的困惑，造成理解困难，需要在教学中结合实例加强辨析.例如：

从甲地到乙地；从甲地经丙地再到乙地.

从所有教科书中任取一本；从所有教科书中任取数学书、语文书各一本.

从1～9这九个数字中任取两个组成没有重复数字的两位数；2160的正因数.

排列、组合中的“确定一个满足条件的排列”“确定一个满足条件的组合”也是指“完成一件事情”.

学生容易把“完成一件事情”与“计算完成这件事情的方法总数”混同.例如：

在分析“从1～9这九个数字中任取两个，共可组成多少没有重复数字的两位数”时，学生容易把要完成的“一件事情”理解成“求满足条件的两位数的个数”；“求2160有多少个不同的正因数”要完成的“一件事情”是“计算2160正因数的个数”；在解决“求(a1+a2+a3) (b1+b2+b3+b4)·(c1+c2+c3+c4+c5)展开式的项数”时，大多数学生都不清楚这里要完成的是“得到展开式的一项aibjck(i∈{1，2，3}，j∈{1，2，3，4}，k∈{1，2，3，4，5})”.

2. 两个计数原理的区别

分类计数原理与“分类”有关，类与类之间互不相容，用任何一类中的任何一种方法都可以完成这件事；

分步计数原理与“步骤”有关，只有依次完成每一个步骤，才能完成这件事情.

利用集合进行抽象表示，可以得到如下结果：

设完成一件事的方法的集合是U，且

card(U)=N.

如果完成这件事的方法可以区分为互不相同的A，B两类，即A∪B=U，A∩B=∅.记

card(A)=m，card(B)=n，则

N=card(U)=card(A∪B)

=card(A)+card(B)=m+n.

如果完成这件事需要分成A，B两个步骤，即U=A×B={(a,b)|a∈A，b∈B}.记

card(A)=m，card(B)=n，那么

N=card(U)=card(A×B)

=card(A)×card(B)=m×n.

分类要做到不重不漏：分类加法计数原理中的“完成一件事有两类不同方法”，是指完成这件事的所有方法可以分为两类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务，两类中没有相同的方法，且完成这件事的任何一种方法都在某一类中.

分步要做到步骤完整：分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法都要分成两个步骤，在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事，即各个步骤是相互依存的，每个步骤都要做完才能完成这件事情.

3. 两个基本计数原理的教学

基本计数原理看似简单，但要真正把握其本质并不容易，教学中应注意使学生充分经历通过具体实例概括计数原理的过程，特别是要在分析问题的本质特征上多给学生一些时间和空间.为了使学生更好地概括和领悟计数原理，教学中要注意使用典型例子，例如从A地到B地的不同路线问题、参加某项活动的人员组合问题等，也可以让学生自己举一些例子.

两个计数原理的教学应该在同一课时中进行，这样可以让学生进行对比，在比较中加深认识.一般地，学生在刚刚接触一个概念时所留下的印象是最深刻的，这里进行对比学习，可以让学生先入为主地明白两个计数原理的差异及其相互联系.

这里再次强调，关键是要让学生分析清楚要完成的“一件事情”是什么.为此，教学中应当采取一些措施，例如“树状图”的使用可以使思路的梳理更加清晰，应要求学生学会使用“树状图”分析问题.

3.3 排列

数学研究中，大致都会经历这样的过程：先在一般意义上定义研究对象(问题)，再研究关键性的特例.“一般性寓于特殊性之中”，通过特例的研究，达到对研究对象(问题)的基本认识，获得相应的数学模型，并在解决具体问题时，设法将问题化归为能应用模型加以解决的形式.例如，一般意义上研究函数的概念与性质后，研究基本初等函数，在给出数列的一般概念后再研究等差数列、等比数列，在一般性地讨论空间基本图形位置关系后重点研究直线、平面的平行与垂直等等.

排列、组合是两个基本计数模型，在解决计数问题时有非常重要的作用.

1.排列的定义

排列的定义包含两个步骤：取出元素，按一定顺序排列.这里，“元素”的意义是非常广泛的，通常可以抽象为集合语言进行表示，即从集合{a1，a2，…，an}中取出m个元素，再按一定顺序排列.因此，确定一个排列要完成的“一件事情”是：取出m个元素，再按顺序排列.

学生可能对“一定顺序”的理解会有困难，可以结合具体实例进行解释.例如：

(1)甲、乙、丙3人中选2人，一人参加上午的活动，一人参加下午的活动，“甲上午、乙下午”与“乙上午、甲下午”是不同的，这样，“上午在前、下午在后”就是“一定的顺序”；

(2)1，2，3，4，5中选3个数字组成三位数，尽管123与132，213，231，312，321有相同的数字，但却是互不相同的数，因为其中数字的顺序不同，这样，“百位、十位、个位”就是“一定的顺序”.

所以，元素不同或元素相同但顺序不同的排列都是不同的排列，当且仅当两个排列的元素和顺序都相同才是同一个排列.

2.排列数公式

从n个不同元素中取出m个元素作成一个排列要完成的“一件事情”包含两个动作，一是“取”二是“排”.完成这两个动作可以用两种方法，一种是“取一个排一个”，另一种是“取出m个，再将这m个元素按顺序排成一列”，就是把m个元素全排列.

按前一种方法，根据分步乘法计数原理可以得到

按后一种方法，根据分步乘法计数原理可以得到

3.排列数公式的变式

对排列数公式进行一些变形，可以得到一些变式，这些变式往往蕴含了一定的实际意义.例如：

……

4.带有限制条件的排列问题

对于有限制条件的计数问题，由于对限制条件的处理不同，通常有两种计数方法：一种是直接计数，即根据限制条件分解问题(往往是进行分类)，把符合限制条件的排列数直接计算出来；另一种是先不考虑限制条件而计算出所有排列数，再从中减去不符合条件的排列数，从而得出符合条件的排列数.

如果不符合限制条件的情况较少，那么往往采用第二种方法，这有点“正难则反”的味道.

3.4 组合

1.组合的概念

组合要完成的“一件事情”是“从n个不同元素中取出m个”，所以，组合可以看成是排列的一个步骤.用集合的语言表达，就是从集合{a1，a2，…，an}中取出m个元素，得到它的一个子集.

排列与组合都要“从n个元素中，任取m个元素”，所不同的是，排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“不管顺序地并成一组”.因为集合的元素具有无序性，所以用集合的语言解释组合是非常恰当的.由此也可以想到，排列、组合概念的理解与用数学的语言表达现实问题有紧密的关联，是培养学生数学抽象素养的良好载体.

教学中可以通过具体问题的比较，启发学生抓住“顺序”这个关键来区分排列问题与组合问题.

2.组合数

要提醒学生注意公式推导过程中蕴含的“算两次”思想——一个故事用两种方式讲解，由此可以发现其中的规律.

3.组合数的性质

首先，对于一个代数等式，本质上反映了“一个事物的两种等价形式”.解决计数问题，往往可以用不同的方案，而不同计数方案得出的结果应该相同，其数学表达也就是相应的组合等式.所以，证明组合恒等式可以从纯粹的代数运算进行，也可以通过构建实际背景给出解释.

3.5 排列与组合的教学

排列与组合是有内在联系的两类特殊计数问题，教学时应加强对比.“从n个不同元素中取出m个元素”，这是最简单也是基本而重要的，取出的元素是互不相同的，与概率中的不重复抽取样本对应；其变式是“可重复排列”，例如“学校食堂的一个窗口共卖5种菜，3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？”

排列、组合的问题，困难在于对问题背景的理解，这是一个数学化的过程，需要通过不同情境加强训练(有时还需要一定的有迷惑性的问题进行辨析).

要让学生掌握一定的技巧.例如：先分类，后分步；特殊元素、特殊位置先排；“插空法”、“捆绑法”……

3.6 二项式定理

二项式定理源于解决高次幂开方的问题，当帕斯卡建立了正整数次幂的二项式定理之后，这个定理又应用到了自然数幂和、组合理论及概率计算等方面；牛顿则把指数从整数推广到了有理数，而他的弟子泰勒则将其进一步推广到泰勒定理，这个定理是引进多项式的微分学的一个重要起点.

中学阶段，二项式定理安排在计数原理、排列组合之后，随机变量及其分布之前，可以让学生感受到二项式定理作为联系不同领域数学知识的纽带作用.二项式定理的课程定位是既作为计数原理和组合知识的应用，也为解决有关概率问题奠定基础.

1.二项式定理的起源

在古代，解方程是重大问题，这就必然需要解决开方问题.

古代的开方算法中，二项式系数扮演着重要角色.为了发现各项系数所遵循的规律，人们将这些系数按n的取值顺次排成三角形，我国称为“杨辉三角”，西方称为“帕斯卡三角”.经过长期观察，人们从这个算术三角形中发现了二项式展开式系数的各种性质，乃至一般规律，由此建立了二项式定理.

2.二项式系数取值规律的发现

首先，二项式定理是一个数学公式.归根到底，它是一个多项式乘法问题.所以，多项式乘法法则是推导二项式定理的“本源”之一.结合组合数公式可以得出每一项的系数，但从多项式乘法问题联系到组合问题，跨度很大，难.

其次，这是一个特殊的多项式乘法问题.“特殊”在其因式都是相同的“二项式”，由此而决定了其展开式的规律性.

第三，因为多项式乘多项式的结果是多项式，所以分析展开式的规律，应从多项式概念的要素出发：项、次数、项数，其中最关键的是各项的系数.

第四，对于“项”的规律，关键看结构特征，具体表现在系数、a的次数、b的次数各有什么规律，因此这一分析也包含了展开式各项次数的规律.

第五，如果不合并同类项，那么展开式有2n项，其中有(n+1)类同类项an-kbk(k=0，1，2，…，n)，所以合并同类项后有(n+1)项.而an-kbk的个数，就是相应的二项式系数，可以根据多项式乘法法则和组合数公式而得到.

3.二项式定理的教学设计

背景引入：前面学习了排列组合知识，下面我们运用这些知识推导一个用途很广的公式——二项式定理，即(a+b)n的展开式，它是初中学过的乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2的推广.

请大家先回顾多项式概念，多项式乘法法则，以及我们是如何推出乘法公式的.

设计意图：让学生明确要研究的问题，提取长时记忆中关于多项式乘法的相关概念.

问题1：代数公式往往是从具体实例中归纳共性而发现的.为了得到二项式定理，我们可以先分析n=2，3，4时二项式(a+b)n展开式的共同特征.

你能从(a+b)2=a2+2ab+b2出发，得到(a+b)3、(a+b)4的展开式吗？

预设：希望学生能想到如下方法

(a+b)3=(a+b)(a+b)2

=(a+b)(a2+2ab+b2)

=a3+2a2b+ab2+ba2+2ab2+b3

=a3+3a2b+3ab2+b3；

(a+b)4=(a+b)(a+b)3

=(a+b)(a3+3a2b+3ab2+b3)

=a4+3a3b+3a2b2+ab3+ba3+3a2b2+3ab3+b4

=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

追问：(1)根据多项式的概念，你认为应从哪些角度观察三个公式的共同特征？(2)由此你能得到(a+b)n展开式的哪些猜想？(3)你能用上述递推方法得到(a+b)n的展开式吗？

设计意图：引导学生有目的地观察、有逻辑地思考，而不是“撞大运”.在概念的指引下，观察多项式的“要素”即项数、次数、项及其系数的规律，教师要在“项的特征”上加强引导，如每一项的次数都是n，a的次数从n到0降幂排列，b的次数从0到n升幂排列等等.

问题2：用上述递推的方法得出展开式的各项系数有困难.能否换个角度看问题呢？

追问1：对于(a+b)2=a2+2ab+b2，你能抽象出展开式各项的一般形式吗？

预设：估计学生独立得出a2-kbk(k=0，1，2)有困难，可以安排合作学习，必要时也可以由教师讲解.

追问2：你能结合多项式乘法的过程，利用组合知识解释ab项的系数为什么等于2吗？

预设：这是本堂课的主要难点所在.教师可以通过如下追问引导学生思考：

追问2.1：这里要完成的“一件事情”是什么？——得到展开式的ab项.

追问2.3：类比上述分析，你能用组合数表示(a+b)2展开式各项的系数并写出展开式吗？

问题3：仿照上述过程，你能给出(a+b)3，(a+b)4的展开式吗？

预设：这个问题由学生独立完成后再进行全班交流，因为有(a+b)2的研究经验，估计学生可以完成.

问题4：归纳n=2，3，4时二项展开式的共性，你能得出(a+b)n展开式的猜想吗？你能证明吗？

设计意图：课堂教学线索一定要反映学生的认知规律，这个规律也与数学公式的归纳过程一致.从具体到抽象而展开，也就是先对n=2，3，4时(a+b)n的展开式进行结构分析，发现规律进而归纳出一般结论.对(a+b)2，(a+b)3，(a+b)4的观察中，最容易得到的规律是展开式的项数、每一项的次数.困难在于项的结构和系数，教师要在从一般角度看特殊事例上加强引导，概括各项的共性得出结构an-kbk，这里体现了代数的基本思想——从具体到抽象地归纳一般结论.

发现系数的取值规律是困难的.要回到运算的出发点，利用多项式乘法法则进行分析：