指向数学学科核心素养的可视化教学
2021-12-29岳峻
当今，“互联网+教育”成为数学教学的必然之举。中学数学教学须倡导以超越课堂面授的陪伴为途径、以提升数学核心素养为宗旨、以锤炼数学思维为核心的谋略式培育。可视化无疑是一项行之有效的策略。林崇德认为：“核心素养具有可教、可学的外显部分，同时也存在无声、无形，但可感、可知的内隐部分。”[1]核心素养的外显部分，亦即知识层面，可以借助一些形式“教”出来;而内隐部分，亦即思想层面，只有在教学过程“玩”数学中慢慢地渗透，只有在学习过程“玩味、联想”中才能“悟”出来。如何借助可视化技术，提升学生的数学核心素养？笔者应用GeoGebra软件，“仰望星空，脚踏实地”，做了一些教学层面上的实践。
一、数学可视化与GeoGebra动态演示工具
数学可视化就是将抽象的数学学习对象（概念原理、结构关系、思想方法等）用可看见的表征形式（图形、图象、动画等）清楚直白地呈现出来，使人们对数学学习对象有一个形象、直观、整体的认识和理解[2]。
在数学可视化教学中，教师借助“形”的“图示”与“数”的“析理”、构图元素的“隐藏”与“虚实”、曲线的“色彩”与“动画”等，通过信息技术手段进行表征，可以建立“可视”与“抽象”之间的内在联系，突破“只可意会，不可言传”的交流障碍。这是理解信息元素的交互、洞悉数学本质的美感的好办法，也是提升学生数学核心素养的捷径。
GeoGebra软件是数学可视化的重要“云梯”，是数学教学中的“诗意催化剂”。教师借助GeoGebra软件可进行“形”与“数”的自由转换，建立“可见形式”与“抽象形式”的直接联系。该软件的应用拓展了数学的学与教的空间，有效地改进了“诱思探究”的方式，有利于激发学生潜能，调动学生读懂数学“玄妙”的渴望，提高学与教的有效性，实施更多具有探索性的数学实验。GeoGebra软件是教师课堂教学的动态演示工具，也是学生自主学习、探究“遨游”的“隐形的翅膀”，其手机版的推广更为学生课后深度学习、思维深化，提供了在“玩”数学中进行数学实验的空间。寓教于乐是该软件保持活力的关键所在。
二、数学可视化提升数学核心素养的实践
数学核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面。在知识模块的教学中，教师可以渗透一项或多项素养的培养。在GeoGebra软件的支持下，指向学科核心素养培养的教学融合度和效能将大大提高。笔者结合实例侧重从如下几个方面阐述思路与做法。
（一）透彻理解数学概念，提升数学抽象素养
数学概念是数学学科的灵魂和精髓，是数学课程“四基”和“四能”教与学的核心。学生掌握数学概念才能形成对数学的基本的、概括性的认识。数学概念教学有赖于学生对数学概念的透彻理解。GeoGebra软件支持“人机交互”数学实验，可帮助学生高效理解数学概念，助力学生在情境中用数学眼光“看”世界，抽象数学概念和思想方法，积累从客观到主观的活动经验;养成观察问题、思考问题的素养，用数学思维“探”世界，把握事物的本质，以简驭繁;运用数学抽象的思维研析问题、思考问题，进而提升直观想象和数学抽象素养。
【例1】异面直线的理解：不同在任何一个平面内的两条直线。
理解：选取直线工具构建异面直线，，选取旋转工具使得经过直线的平面绕直线旋转，并构建滑动条，拖动滑动条改变旋转角度的大小。仔细观察发现：无论如何旋转平面都不会经过直线（如图1）。
同理，经过直线的平面也无论如何不会经过直线。
【例2】导数的几何意义：设曲线上一点（， （）），过点的一条割线交曲线于另一点（ +Δ， （ +Δ）），如图2所示，则割线的斜率为：
。
当点沿曲线向点运动，并无限靠近点时，割线的斜率逼近的切线的斜率，即当 Δ无限趋近于0时， 无限趋近于点处的斜率，有：
理解：首先，在指令栏输入指令 （）=- 3
+2+ ，选取直线工具构建割线，选取切线工具构建曲线在点处的切线，选取斜率工具分别求出切线、割线的斜率;然后，选取文本工具分别创建相应的文本，选取移动工具拖动点的位置，使之无限逼近点，观察割线的斜率的变化;最后，选取移动工具拖动点的位置，观察点处的切线与曲线公共点个数（如图3）。
感悟：异面直线是立体几何教学的“说不清道不明”的数学概念。以往不管教师怎么阐述总是词不达意，学生因刚接触空间对象，直观想象素养有待于强化，理解起来颇有“行走在云端”之感。教师借助GeoGebra软件的“3D功能”进行动态演示，让学生对这一概念能轻松、透彻理解。导数的几何意义涉及无限逼近思想，数学可视化使学生在操作体验中，经历变化率从“平均”到“瞬时”、直线从“割”到“切”的过程，增加了更多的真实体验。学生感知割线“无限逼近”与“量变到质变”的哲学思想，实现“向技术学习”，这是传统教学无法做到的。在导数的几何意义的动态演示中，教师还可以引导学生观察曲线的切线的不同形式，认识到切线与曲线的公共点未必只有一个，真正地理解切线的数学本质。
（二）高效破解教学难点，提高数学思辨能力
高效破解难点是衡量教师教学素养的标尺。教学难点之所以成为难点，原因在于数学的抽象不易理解，或者推理的技能技巧不易掌握，又或者是模型的构建经验不足。
数学思辨能力指学生通过对数学对象进行分析、思考、推理和辨析等思维活动，透彻认知数学知识的能力，包括准确分析、明晰推理和清楚表达三项具体要素。《普通高中数学课程标准（2017年版）》所设定的核心素养的本质就是抽象、推理和模型[3]。“抽象、推理和模型”对应的哲学思考就是“三会”，而直观想象、数学运算、数据分析已经融入“抽象、推理和模型”之中“结伴而行”。明晰推理就是数学思辨素养追求的目标，模型意识是数学思辨素养表达层面的四项要素之一。
数学可视化可以帮助学生破解学习过程中的难点，还能帮助教师高效地提高课堂教学的专业素养。GeoGebra软件是一个超级“数学实验室”。教师应用该软件建立几何直观与抽象概念之间的印证关系，体现知识的多元联系，体现实证与抽象的和谐统一，让学生体验发现的乐趣和欣喜，实现数学教学与信息技术的高度融合，有效地破解了传统教学遇到的困局，弥补了传统教学方式的不足，减轻了学生的认知负荷。
【例3】同底数的指数函数 （） = （>0， ≠1）与对数函数 （） = log （>0，≠1）最多有 个交点。
破解：首先，选取滑动条工具构建底数的滑动条，指令栏输入函数 （） = （>0，≠1）、=与 （） = log （>0，≠1） ，选取交点工具构造指数、对数函数的公共点。然后，拖动滑动条改变底数的大小，引领学生观察发现：当>1时，随着的增大，两个函数的公共点个数先后出现2个、1个、0个的情形，此时，两者至多有两个公共点，且公共点都在直线=上。当 0<<1时，随着的减小，两个函数的公共点先是出现1个，且在直线=上，而后放大绘图区，再点击滑动条上的，用放大工具缩放绘图区（也可以使用键盘方向键微调，还可用鼠标滚轮变焦）使得值缓缓减小，小于0.065时，两个函数的图象的公共点又增加了两个，且这两个点关于直线=对称（如图4）。
感悟：学生学习数学须做到“脑中有形，心中有数”。教师利用GeoGebra软件可以实现动画渐变效果，细致入微地“看图说话”，可以很容易地破解教学难点，引导学生“向技术学数学”。“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，看见“不可见”，这样的理性认识才是有“根基”的。
（三）渐进发展空间观念，提升直观想象素养
相对于其他数学教育软件而言，GeoGebra软件拥有简约的外观，但在立体几何方面具有非常“强悍”的表现力，不仅能直观地“3D动画”演示立体图形，真实地刻画“色彩可视”的三维空间，将“只可意会不可言传”的问题（如图形的割补、展开、折叠，几何体的内切球、外接球等问题）“暴露”得“迎刃而解”，而且可以发挥绘图区、运算区、表格区等多区域联动表征的优势，将数学模型意识、直观想象素养实现得“酣畅淋漓”。
【例4】（2020年广东省佛山市普通高中高二质量检测）在棱长为2的正方体-中，点是正方体棱上一点，丨丨+丨丨=。
（1）若=4，则满足条件的点的个数为 ;
（2）若满足丨丨+丨丨=的点的个数为6，则的取值范围是 。
发展：选取正六面体工具构建正方体-，构建直线与平面，在该平面内选取一点，并构建焦点分别为，，经过点的椭圆;创建绘图区2，构建底数=的滑动条，将椭圆绕直线旋转角度，在指令栏输入序列指令构建椭圆序列，输入曲面指令构建椭球面，并选取复选框工具创建相应的复选框;移动点改变椭圆的大小，观察椭球面与正方体的各棱的交点个数，进行如下演示。
（1）若2 <<4，如图5所示，可得点的个数为6。
（2）若=4，点的个数为4。
（3）若4<<2+2 ，点的个数为4。
（4）若=2+2 ，点的个数为8。
（5）若2+2 <<4 ，点的个数为6，如图6所示。
（6）若=4 ，点的个数为2。
（7）若>4 ，点的个数为0。
感悟：数学可视化蕴含着神奇、孕育着创造。动态解析立体几何问题是教与学的难点，它渗透着“动”与“静”的哲学思想和直观想象素养的培养。教师借助GeoGebra软件将抽象的立体几何问题用“看得见”的多种表征形式呈现出来，虚实清晰，层次鲜明。学生感叹：GeoGebra软件就是数学魔术师。
（四）多维启迪问题探究，积累基本活动经验
数学学习的成效如何，教师需要对学生学业水平进行检测。学生对数学知识的掌握往往通过分析问题、解决问题来完善和体现。数学问题是锤炼数学思维的重要载体。解题教学非常重要，在增强创新意识，认识数学的科学价值、应用价值，树立善于思考、严谨求实的科学精神等方面有积极作用。GeoGebra软件充当超级“数学实验室”的角色，让学生拥有动手操作的愉悦感受，经历“感知—感悟—新知”“实验操作—大胆猜想—推理验证”的过程，养成良好的数学学习习惯，将获取知识的经验转化为认识世界的智慧。
【例5】（2019年浙江卷）已知点 （1， 0）为抛物线2=2 （ >0）的焦点（如图7）。过点 的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，使得△的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧，记△， △的面积分别为，。
（1）求的值及抛物线的准线方程;
（2）求 的最小值及此时点的坐标。
启迪1：已知=2，抛物线方程为2=4，其准线方程为=-1。
首先，在运算区，设过点的直线的方程为=+1，代入抛物线方程得2-4-4=0。
设 （，）， （，）则+= 4，= -4，+= （+）+2=42+2。
设（，），由于△的重心在轴上，则 ，即=-4。
因为= =42，所以 。
因为在点的右侧，所以在点的右侧， >1，即2> 。
为了研究的需要，需满足=-4，2> 。
启迪2：教师应用GeoGebra软件，首先，在指令栏输入抛物线的方程，以及直线的方程=+1，并创建的滑动条，设置范围 ，步长为0.001;然后，构建△及其重心，选取面积工具分别计算出△，△的面积，;最后，创建绘图区2，在指令栏赋值=，= ，构造点，选取文本工具创建文本与的比值，拖动滑动条可以发现“牵一发而动全身”。结合动画演示，可以“看”到比值 的变化，并“慢动作”地寻求 最小值为1.866时，=0.707。
启迪3：=0.707是近似值，准确值是多少呢？它是哪个常见实数的近似值呢？是 吗？ 最小值1.866呢？是1+ 吗？
感悟：数学实验旨在让学生“知其然”，帮助学生直观感知，培育学生的合情推理的素养，但“知其所以然”尚需推理论证，这个数学化过程则是培育学生形成数学思维、锤炼逻辑推理素养的极好路径。两者之间需寻求恰当合理的动态均衡，各得其所，一体考量方能相得益彰。
三、总结
数学核心素养是新课程教学改革深化的重大成果，基于GeoGebra软件进行数学可视化教学是提升数学核心素养的重要途径，有着巨大的应用空间，还有待于在学习中挖掘，在教学中熟练，在探究中提炼。只有将信息技术深度融合于数学内容中，并将可视化操作从教师手中转移到学生手中，才能实现从形式到内涵的转变。学生通过直观感知，展开想象，通过操作积累基本活动经验，逐渐提升数学核心素养。
当然，数学是以计算和推理为主的一门学科，数学可视化仅是教学的辅助手段，不能为“可视化”而可视化，应该在学生独立思辨、拥有困惑的基础上，对手动难以作图或用语言难以表述清楚的内容进行及时展现，解惑。
“马不伏历，不可以趋道;士不素养，不可以重国。”数学核心素养是学生先天条件和后天学习的综合素质的体现。数学核心素养如何培养呢？t0yklyCwtJNLIM7S0JxChwz+7sMervwhJWQyP6xHCso=正如史宁中教授所言：“信息技术正在通过与学科的融合来改造我们的教学，形成一种全新的教学模式。”[4]基于GeoGebra软件的数学可视化之路，必然是提升数学核心素养的有效路径之一。广大同仁且行且探索。
注：本文系安徽省教育信息技术研究课题“基于GeoGebra的数学实验与可视化教学的实践研究”（立项号：AH2019210）的阶段性成果;阜阳市教育科学规划课题“核心素养下高中数学教学中学生反思能力有效性实践的研究”（立项号：FJK043）的成果。
参考文献
[1] 李金聪.核心素养视角下离心率试题的命制与评价[J].福建中学数学，2018（1）：3-5.
[2] 张志勇.高中数学可视化教学：原则、途径与策略——基于GeoGebra平台[J].数学通报，2018（7）：21-24.
[3] 刘祖希.访史宁中教授：谈数学基本思想、数学核心素养等问题[J].数学通报，2017（5）：3-7.
[4] 祝元志，牟艳娜.深度融合信息技术，提升小学数学教学魅力[J].中小学数字化教学，2019（11）：5-8.
（作者系安徽省太和中学高级教师，华中师范大学考试研究院特聘研究员）
责任编辑：祝元志
