价值、内容、方法：让数学史更好地走进小学数学课堂*

□ 苏龙霞

数学史可以看作是人类的一部奋斗史，是数学发展的结晶。正因为有前人不断的探索与研究，才有如今简约的数学概念、公式、定理。因此，从“依据数学发生发展的过程学习数学”的角度看，数学史也可以看作是数学教学的指南。将数学史融入小学数学教学，不仅能够还原数学的发生发展历程，还能还原数学背后的人文价值。“循本以治末，由近以及远”，更好地定位价值，更好地选取素材，在教学中有机融入数学史，能帮助学生获得更为丰厚的数学知识，实现真正意义上的深度学习，促使素养的提升。

一、价值取向：教与学的统一

（一）教师的教——触及本质

每一个数学知识都是一部浓缩的历史，教师了解数学史，能够更好地了解知识点的由来，明了知识的本质，体会每一个发现所经历的曲折历程。熟悉数学史的教师在教学中不仅会关注到知识本身的逻辑，还能关注到数学历史发展的逻辑；不仅能看到教材上所呈现的教学体系，还能透过教材看到历史上的知识原型。比如数的产生，起源于计数把数数出来，发展于记数把数表示出来。最早的计数方式，无论是利用身体部位、自然物件，还是使用人工制品，其背后的原理就是“一一对应”。当各个文明的记数符号出现后，尽管还有一一对应的痕迹，但已开始实现从半抽象到抽象的过渡。当面对较大数量物品的计数问题时，人类又创造了各种进制，再在十进制的基础上引入了数级。不过此时数的各种进制表示运用的是叠加法，直到十进位值制的出现，数的表示才趋于完善。由此可见，数基、十进制、数级、其他进制是认识自然数的核心内容，从一一对应走向抽象数码、从抽象数码走向十进位值制才能体现知识的本质。教师走进数学史，才有真正意义上的厚积，进而实现源源不断的“薄发”，让教学触及知识的本质，走向更深处。

（二）学生的学——明确方向

历史上，每一个数学知识的发生发展都经历了较长的时间，是几代数学家共同努力的结果，而数学家在知识的发生发展过程中遭遇到的困难往往就是学生数学学习的难点。因此，数学史为教学难点的突破提供了方向。例如在历史上，认识平行有四个视角：一是直观视角。比如欧几里得在《几何原本》中提出，平行直线是“在同一平面内的直线向两个方向无限延伸，不论哪个方向都不相交”。二是方向视角。比如“在同一平面内，与同一条直线在同侧成相同角度的两条直线互相平行”。三是角度视角。借助同位角、内错角、同旁内角等判定平行。四是距离视角。比如墨子的“平，同高也”。不同视角整体体现了从直观几何走向实验几何、从实验几何走向演绎几何的发展过程。因此，在“平行”的教学中，教师可以采用对视错觉图形的判断让学生感受直观定义的弊端；进而通过对学生所举平行例子（长方形物体）的探究，引出距离的定义；再通过画平行线的探究活动，引出角度的定义等方式[1]。可见，数学的发展不仅为学生提供了突破难点的方向，还为学生的探究提供了参照。

二、内容取向：教育与历史的融合

（一）走进教材中的数学史

教材是学习的载体和支架，教材中编排的数学史料为教师将数学史融入教学提供了素材与参照。教材中运用数学史的方式有五种：点缀式、附加式、复制式、顺应式、重构式，运用水平依次提高。前两种方式，数学史独立于教材正文内容以外，后三种方式则是将数学史融入教材正文[2]。

在小学数学教材中有数学史的显性呈现，也有数学史的隐性渗透。如人教版教材中的“你知道吗”“数学阅读”以及一些例题与练习，就是显性呈现，它们对应于数学史运用方式中的点缀式、附加式、复制式。而像北师大版教材从形的角度研究质数、合数，“如果给定的数只有一种长方形的表征，那这个数就是质数，否则就是合数”使用了古希腊素数定义和研究的方法，这是数学史的隐性渗透。这些渗透与数学史运用方式中的顺应式、重构式相对应。类似的隐性渗透还有很多，如各个版本教材从部分与整体、测量、除法三个角度呈现分数，是隐性重构了分数发展的三个里程碑事件。教材是运用数学史最直接的参照，教师要走进教材中的数学史，了解每一处数学史运用的方式，特别是顺应式、重构式运用数学史的隐性渗透。

（二）走进数学对象的发展脉络

尽管各版本的小学数学教材都编入了数学史，但当运用数学史进行某些主题的教学尝试时，教师仍旧感觉无从下手。其中一个主要原因是教师掌握的与主题相关的数学史料太少。显然，仅仅了解教材中显性呈现、隐性渗透的数学史是不够的，要使学生的深度学习真实发生，还需要将设计的主题置于历史的发展脉络之中进行考察。比如将数学史融入角的认识的教学，可以将其置于角的发展脉络之中，历史上对角的认识有质（形状与特征）、量（大小）、关系（两边）三个维度，从质的角度认识角，是角的认识的基础，也是从关系的角度认识角的起点。这时，学生需要了解角“是由一个顶点和两条直边组成的”“从一个顶点出发的两条射线”等概念。进而，当学生从质的角度对平角、周角等特殊角进行判断时，会引发认知冲突，此时再从关系的角度引入角的定义，对角“是由一条射线绕顶点旋转而成的图形”的理解就变得自然而然。从量的角度认识角，一方面要引出角的分类，另一方面要回到度量的原点——单位1的确定来帮助学生理解。对数学对象发展脉络的梳理是将数学史应用于教学的难点所在，这不仅需要教师广泛阅读数学史和HPM 文献，还需要教师进行数学对象发展脉络的梳理以及数学史与教材内容、学生学习水平的勾连。唯有走进数学对象的发展脉络之中，教师才能厚积薄发。

三、方法取向：发生与重构的交融

（一）多元融入，重构历史

教学中数学史在哪里用、怎样用，取决于教学的需要。一般来说,根据小学生认知特点和教材安排，重构式多用于数学概念的教学,复制式和顺应式多用于运算、命题和问题解决的教学,而附加式则可用于任何一类主题的教学[3]。重构教学要遵循学生的认知特点，与知识发生发展规律相吻合。弗赖登塔尔在《数学教育的主要问题》的报告中指出：“数学史是一个图式化不断演进的系统化的学习过程，儿童无须重蹈人类的历史,但他们也不可能从前人止步的地方开始。从某种意义上说，儿童应该重蹈历史,尽管不是实际发生的历史，而是倘若我们的祖先已经知道我们今天有幸知道的东西，将会发生的历史。”[4]这就是说，数学教学不能为历史而历史，而需要找到数学对象发展历程中最为关键和本质的步子，多元融合，引导学生进行再创造。如某教师在教学“位置的表示方法”时，重构了“位置的表示从一维射线到二维平面到三维空间”的发展过程，引导学生思考：当苍蝇飞到屋顶天花板边界时，其位置如何表示？——可以用已经学过的数线段的方式表示；当苍蝇飞到天花板中间位置时，该如何表示？——这是本节课的教学重点，可以用数对表示位置，引导学生重蹈历史，进行再创造；当苍蝇飞到房内的其他位置时，该如何表示？——学生知道可以用三个数表示，这是以后要学习的内容，而数对和三个数可以表示空间物体的位置就成为学生再创造的起点。整个教学围绕位置表示方法的发展历史关键和本质的步子展开，重构了知识的发生发展过程。同时，教学围绕发明坐标系的数学家笛卡尔的一天展开，附加式地介绍了笛卡尔发现数对的过程和历史上数对的表示方式，重构式与附加式并重，显性呈现和隐性融入相结合，动机引领、探究为重，引发了学生的深度学习。

（二）单元构建，突出主线

钟启泉教授认为，我们要理解主题设计、单元设计的价值和作用，它是撬动课堂转型的一个支点。[5]以史为鉴，遵循历史的发展，可以关联历史的发生探究过程，在知识的历史脉络中探究数学的前世今生，感悟古人的探究过程。而以单元作为数学史融入的基本单位有诸多益处，不仅有持续时间的保证，连续内容的供给，还有多元评价数据的呈现，这都将促使现时的学习与历史脉络相吻合，从深层次感受数学的意义与价值。基于数学史的单元构建，可以以教材中现有的单元为基本单位，比如教材中“圆”这一章，以“以直代曲”的转化思想为主线，并从数学文化的角度对其进行考察，进而统摄“圆的认识、圆的周长、圆的面积”三部分，在“圆的认识”中，渗透圆与方的关联，在“圆的周长”中，从实验几何走向论证几何，在“圆的面积”中凸显论证几何，最终指向几何直观、逻辑推理等核心素养；也可以重组单元，比如将长度测量与因数和倍数或者比结合在一起，将具有深刻历史根源的单位1作为主线统摄整合后的单元。在长度单位的学习中，学生需要理解单位1的可变性，它可以是我们常见的1 厘米、1 米、1 分米，也可以是任意长度，它可以根据需要进行变动。当长度测量与因数和倍数进行统整时，可以有这样的任务：（1）给定整数长度的线段，可以被哪些整数长度的线段（单位1）量尽，这一任务指向因数的学习。（2）它（单位1）可以量尽哪些长度的线段，这一任务指向倍数的学习。而当长度单位与比统整时，可以给定两条线段，请学生思考可以用哪些长度的线段同时量尽这两条线段，只要能量尽，给定两条线段长度的比就等于这两条线段被单位1度量的次数比。

每个数学知识背后都有故事，有轨迹，有文化。“数学史在课堂中扮演的是一名额外的学生。”为了更好地发挥数学史的这一角色，在教学时，教师需要从价值、内容、方法三个维度，进行综合、深度的思考。唯有如此，才能更好地体现数学的本质，更好地发挥数学教学的育人功能，更好地促进教师的专业成长。