素环上的广义(θ, θ)-导子

许 莹

(吉林师范大学 数学学院，吉林 长春 130000)

2007年南京师范大学的张晓蓉[1]将Posner[2]的定理进行推广证明了: 设R是特征不为2的素环,U是R上的平方封闭Lie-理想,θ是R上的自同构,F是R上以导子d为伴随导子的非零广义导子且满足F(u2)=0, ∀u∈U, 则U⊂Z.在本文中笔者将此结果推广到广义(θ,θ)-导子[3]上.

1 预备知识

设R为环, 若∀a,b∈R, 都有aRb=0, 则a=0 或b=0 , 则称R为素环.设R为带有对合σ的环, 若∀a,b∈R, 都有σ(a)Rb=aRb=0, 则a=0 或b=0, 则称R是σ-素环.如果环R为2-扭自由的, ∀a∈R, 若2a=0, 则必有a=0.若∀x,y∈R, 满足d(xy)=d(x)y+xd(y), 则称d是R上的导子.设R为环, 若映射σ:R→R上满足：

(1)σ(x)⊂R,x∈R,(2)σ(x+y)=σ(x)+σ(y),x,y∈R,(3)σ(xy)=σ(x)σ(y),x,y∈R, 则称σ是R上的自同构.设R为结合环,g:R→R上的可加映射,θ为R上的自同构, ∀x,y∈R, 满足g(xy)=g(x)θ(y)+θ(x)g(y), 则称g是R上的(θ,θ)-导子.设R为结合环,F:R→R上的可加映射,θ为R上的自同构, ∀x,y∈R, 满足F(xy)=F(x)θ(y)+θ(x)d(y), 则称F是R上的广义(θ,θ)-导子.d是F的伴随(θ,θ)-导子.若∀r∈R,a∈I有[r,a]∈I, 则称I为R的Lie理想.

基本恒等式：

∀x,y,z∈R, 有

[x,y]=xy-yx;[xy,z]=x[y,z]+[x,z]y;

[x,yz]=y[x,z]+[x,y]z;x∘y=xy+yx;

x∘(yz)=(x∘y)z-y[x,z]=y(x∘z)+[x,y]z.

2 主要结果

引理1[4]设R是特征不为2的素环,U是R上的Lie-理想且U⊄Z, 若存在a,b∈R且满足aUb=0, 则a=0或b=0.

引理2设R是2-扭自由素环,U是R上的非零Lie理想且U⊄Z(R),d是R上的(θ,θ)-导子, 若d(U)=0, 则d=0.

证明由题设d([w,r])=0, ∀r∈R,w∈U

0=d([w,r])=d(wr-rw)=d(wr)-d(rw)=d(r)θ(w)+θ(r)d(w)-d(w)θ(r)-θ(w)d(r)=[d(r),θ(w)]-[θ(r),d(w)]=[d(r),θ(w)], ∀r∈R,w∈U

由θ是R上的自同构, 即[d(r),u]=0

∀r∈R,u∈U

(1)

用tr换(1)中的r,r∈R得,[d(tr),u]=0

d(t)[θ(r),u]+[θ(t),u]d(r)=0

∀r,t∈R,u∈U

(2)

令(2)中的t=r得

d(r)[θ(r),u]+[θ(r),u]d(r)=0

∀r∈R,u∈U

(3)

由(1)得d(r)[θ(r),u]=[θ(r),u]d(r)代入(3)中得2[θ(r),u]d(r)=0

由R的特征不为2得[θ(r),u]d(r)=0

∀r∈R,u∈U

(4)

用2uv换(4)中u得[θ(r),2uv]d(r)=0

∀r∈R,u∈U

2u[θ(r),v]d(r)+2[θ(r),u]vd(r)=0

∀r∈R,u∈U

由(4)得[θ(r),u]Ud(r)=0

∀r∈R,u∈U

(5)

应用引理1得d(r)=0或[s,U]=0 ∀s∈R

综上得∀r∈R,d(r)=0或[s,U]=0, 记G={r∈R|d(r)=0}和H={s∈R|[s,U]=0,∀u∈U}根据任意一个群都不可能是它的两个真子群的并得R=G或R=H, 因此由题设U⊄Z(R)知d=0, 定理得证.

引理3设R是特征不为2的素环,d是R上的非零(θ,θ)-导子, 若U是R上的Lie-理想且满足d(U)⊆Z, 则U⊆Z.

证明由题设知ur∈U, ∀r∈R,u∈U

由d(U)⊆Z, 得[d(ur),y]=0,

∀r,y∈R,u∈U

(6)

d(u)[θ(r),y]+[θ(u),y]d(r)=0,

用θ(u)换y得d(u)[θ(r),θ(u)]+

[θ(u),θ(u)]d(r)=0, ∀r，y∈R,u∈U

即d(u)[θ(r),θ(u)]=0, ∀r∈R,u∈U

(7)

在(7)两边同时左乘r得

rd(u)[θ(r),θ(u)]=0, ∀r∈R,u∈U

(8)

由dU⊆Z得rd(u)=d(u)r, ∀r∈R,u∈U

由(8)有d(u)r[θ(r),θ(u)]=0, ∀r∈R,u∈U

即d(u)R[θ(r),θ(u)]=0, ∀r∈R,u∈U

(9)

由素环定义得d(u)=0, ∀u∈U或

[θ(r),θ(u)]=0, ∀r∈R,u∈U

若d(u)=0, ∀u∈U, 由引理2得d=0.与已知矛盾.

若[θ(r),θ(u)]=0, ∀r∈R,u∈U,

(10)

在(10)两边同时作用θ-1得[r,u]=0, ∀r∈R,u∈U即U⊆Z(R).

定理得证.

引理4[4]设R是特征不为2的素环,U是R上的Lie-理想且U⊄Z, 则CR(U)=Z.

定理5设R是特征不为2的素环,U是R上的平方封闭Lie-理想,θ是R上的自同构,F是R上以(θ,θ)-导子d为伴随导子的非零广义(θ,θ)-导子且满足F(u2)=0, ∀u∈U, 则U⊂Z.

证明假设U⊄Z,

由题设知F(u2)=0, ∀u∈U,

(11)

由线性性用u+v换(21)中的v得

F(u+v)2=0, ∀u,v∈U

由(11)得F(uv)+F(vu)=0, ∀u,v∈U

(12)

用2uv换(12)中的v且根据R的特征不为2得

F(uvu)+F(vuu)=0, ∀u,v∈U

F(uv)θ(u)+θ(uv)d(u)+F(vu)θ(u)+

θ(vu)d(u)=0, ∀u,v∈U

(13)

由(12)(13)得(θ(uv)+θ(vu))d(u)=0,

∀u,v∈U

(14)

在(14)两边同时作用θ-1得

(u∘v)θ-1(d(u))=0, ∀u,v∈U

(15)

用2vw换(15)中的v且根据R的特征不为2得

(u∘vw)θ-1(d(u))=0, ∀u,v,w∈U

由基本恒等式x∘(yz)=y(x∘z)+[x,y]z得

v(u∘w)θ-1(d(u))+[u,v]wθ-1(d(u))=0,

∀u,v,w∈U

(16)

由(15)得[u,v]wθ-1(d(u))=0,

∀u,v,w∈U

即[u,v]Uθ-1(d(u))=0, ∀u,v∈U

从而由引理1得[u,v]=0, ∀u,v∈U或

θ-1(d(u))=0, ∀u∈U.

若θ-1(d(u))=0, ∀u∈U, 两边同时作用θ得d(u)=0, ∀u∈U, 则由引理3得U⊂Z, 与假设矛盾.

若[u,v]=0, ∀u,v∈U, 由引理4得

v∈CR(U)=Z, ∀v∈U

所以U⊂Z, 与假设矛盾.

综上, 假设不成立, 则U⊂Z.