认识“为什么不是”背后的价值

□吴海燕

布鲁纳认为，学习就是能把一个人学得的编码系统应用到新的学习上，正迁移就是一种适当的编码系统被应用到一系列新事件的学习上；负迁移是一个人错误地把编码系统应用到新的学习上[1]。课堂教学中，正迁移一般会获得教师的关注和认可，对结论和其背后的“为什么是”都能得到较全面而清楚的诠释。如首都师范大学郜舒竹教授在《“平行四边形面积”之难》一文中谈到，通常“平行四边形面积”的教学，是将平行四边形通过剪拼，转化为长方形，进而运用长方形面积公式推导出平行四边形面积公式[2]。在剪拼的学习活动的支持下，学生不但知道了平行四边形面积等于长乘高，而且在可视图形的支撑下明晰了事实、理解了道理。但对于负迁移往往是草草收场，表现得重视不够，探究不足。在一般情况下，负迁移的结论是伴随着正迁移结论得到肯定的同时而被否定的。在负迁移结论被否定的同时，负迁移的话题也就随之结束了，对其背后的“为什么不是”基本不会再进行讨论与探究。缺失的“为什么不是”是否有探究的意义呢？这个问题背后又蕴含着怎样的深刻意义？

一、“不是”——真问题的“种子”

学生受到原有认知和经验的影响，生发“错误猜想”和“不当推理”现象在学习中时有发生，“不是”就成为课堂中常有的一个真实的存在。就如在“平行四边形面积”教学中，学生依托长、正方形面积的学习经验，在研究平行四边形面积伊始，呈现出平行四边形面积等于两邻边相乘的猜想。郜舒竹教授在《“平行四边形面积”之难》一文中清晰地陈述了学生形成这一猜想的缘由，即是由平行四边形与长方形的相似之处及学生的原有经验和知识所致。此“错误猜想”就是布鲁纳所说的负迁移，是学生在自己的原有经验和认知基础上的一个真实“生成”。“生成”是杜威知识学习观的核心观点之一。“生成”强调的是一种从无到有的过程，是一种自然的生长过程。杜威认为知识的学习不是机械地接受人类的认识结果，简单地将外在的知识置于头脑之中，而是充分调动头脑中已有的经验，通过对已有经验的重组或改造，对所接收到的信息进行主动解释，生成个人的意义或自己的理解[3]。学习中，类似这样“不是”的生成还有许多。如在“角的初步认识”有关角的大小比较的学习中，教师呈现出两个边长短不同（射线画出的部分不同）但大小相同的角，请学生判断角的大小，大多数学生会判断画出的边比较长的角比较大；在学习小数加减法计算时，学生会把小数的末尾对齐列竖式；在学习分数加减法计算时，学生会用分子加分子，分母加分母，等等。

虽然这些“不是”形成的缘由各不相同，但都是学生在自己原有经验基础上自觉、自主、自动的思维的外化，是学生经过复杂思维活动的真实产物。遇到新的问题时，学生要在头脑中把新问题与原有的知识相关联，在对比异同的基础上进行迁移，做出推理和判断，然后得出了如上这些“不是”的结论。在学生进行比较、推理和判断的过程中，出现了一些学生并不自知的bug，但都是学生学习中鲜活的“生成”。爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅仅是一个数学上或实验上的技能而已,而提出新的问题，新的可能性，从新的角度去看待旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”由此我们知道问题的发现和提出是如此的重要。但真问题的发现和提出是需要土壤的，发现问题、提出问题的种子是需要被呵护的。当学生在学习中出现不同猜想时，就是问题生发之时，因此猜想中的“不是”就是发现问题、提出问题的种子，它需要教师小心呵护用心对待。在“不是”的猜想中隐藏着认知上的缺陷和漏洞，它有待改造或改组，这样学习才真正发生。因此，学习中，学生生发的“不是”恰是学生认知之树成长的“种子”，它需要被教师看到，需要被关注、被尊重、被培养。

二、“为什么不是”——科学方法的“土壤”

科学猜想与假设是科学研究中的重要环节，科学猜想与假说是通向真理的桥梁。大科学家牛顿有句名言：“没有大胆的猜想，就不可能有伟大的发现和发明。”猜想的结论必然有“是”或“不是”两种情况，随之也必然生发“为什么是”和“为什么不是”这样的问题。关于“是”“不是”“为什么是”这三个问题，在一般情况下都会引起教师重视，学生会得到明确的结论和清晰的论证。如在“平行四边形面积计算”的学习中，学生通过教具、学具的支持，在割补、数格等具体活动的支撑下，获悉平行四边形面积等于底乘高的事实，明确平行四边形面积等于底乘高的缘由，等同就知道了平行四边形面积不等于邻边相乘。但“为什么不是”这个问题就被教师所忽视，表现为教学中的忽略。就如郜舒竹教授在《“平行四边形面积”之难》一文中的建议：在学习中要补充学习活动，通过学习活动使学生认识到平行四边形的形状和大小与图形各边的长度不具备确定的因果关系，使学生清楚知道平行四边形面积不等于两邻边相乘之乘积。

那“为什么不是”这个问题会被忽视呢？实际上，这是因为师生的思维不在一个层面上。对于“是”“为什么是”“不是”“为什么不是”这几个问题的处理，教师是以不相容选言推理作为活动设计的基础的。不相容选言命题的逻辑是：该命题所有选言只有且只有一个为真，其余的都为假。因此，以某个不相容选言命题为前提，如果能断定某个支为真，则能推出其他支为假[4]。那么，在平行四边形面积的教学中，就出现了平行四边形面积等于两邻边相乘或等于底乘高两个选言支。通过操作、数格等活动说明了平行四边形面积等于底乘高这个选言支是正确的。按照推理逻辑，也就说明另一选言支两邻边相乘是错误的。所以，当教师引导学生说清楚了“为什么是”，伴随着就说明了“为什么不是”，故学习活动也就停止了。

那学生遇到这几个问题又是怎样思考的呢？一个问题出现两个不同的结论，实际上可以看成是两个猜想、两种假设。那么这两个结论是否正确呢？需要论证每一个假设，才能获得清晰的认知。即每一种都做出实实在在的论证，清楚知道：是，它为什么是；不是，它为什么不是。还以“平行四边形面积”为例，是的理由在操作实践中已然清晰，但不是的理由也要说得明白才行。也就是如郜舒竹教授建议的，需补充不是的缘由，通过边的固定和面积的变化认识到平行四边形的面积与两条邻边的乘积没关系。如上两种处理方法最大的差别在于一个是以教师的原有认识为基础的设计，一个是以学生的原有认知为主体的设计。因为教师在开展探究活动之前就清楚地知道了结论，所以当课堂上出现不同的结论时，教师清楚地知道只有一个结论是正确的，所以教师采用了不相容选言推理为设计的基础。实际上这里无论是出现两个选言支还是多个选言支，只要设计从已知结果的角度采取不相容选言推理的方式，都会呈现舍去探究“为什么不是”的环节。但是，如果站在学生的视角去思考，面对研究假设，就需要去论证每一种假设，才可确定研究的结论。因此，对待“为什么不是”问题，反映出的是以谁为课堂主体的问题，反映出的是怎样探究的问题，积累的是研究假设的活动经验。因此，当我们从学生角度选择适当的方法处理学生的问题时，就是培养学生科学研究精神、奠基科学研究经验的过程，使学生掌握科学研究之方法。

以此为例，在其他雷同课例中呈现出“不是”的结论，教师也要以学生为主体，以科学方法为支撑，设计并补充适宜的学习活动，帮助学生真实理解“为什么不是”。如，角的大小为什么跟边的长短无关；小数加减法为什么不说末尾对齐；分数加减法为什么不能分母直接相加减；等等。

三、“是与不是”——触碰概念本质之“门环”

数学概念的准确认识和理解是建构数学大厦的基石，它是数学判断、推理、生发的根基。因此，深刻领悟概念是数学学习的一件大事。当学生在新知识的认识和理解中出现了迁移，无论“是”或者“不是”其背后都指向对关系的认识与理解。以平行四边形面积的计算为例，学生生成两种猜测。其一，平行四边形面积是两邻边之乘积，指向的是平行四边形面积与两邻边长短之关系；其二，平行四边形面积等于底乘高，指向的是平行四边形面积与底和高之关系。当我们聚焦于数学事实、关注结果的时候，实际上就在不经意间忽视了一个最重要的问题，那就是按照思维的顺序，要知道平行四边形面积的计算方法。首先要找到影响面积大小的相关联的量，这就回到了数学的最根本价值上。在《马克思主义哲学全书》中，对数学是这样定义的：“数学是一门研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。”[5]研究数量关系的第一步就是要找到数量间是否存在着关系，有怎样的关系，从而实现对数量关系的认识和理解。因此，在对平行四边形面积计算方法的探究中，学生研究的实际上是两个问题。第一个问题，平行四边形的面积与谁有关系？第二个问题，有什么关系？因此，对于“为什么不是邻边相乘”的研究，是探究平行四边形面积与两邻边长短是否存在确定关系的过程，是积累认识和发现数量关系经验的过程，是触碰数学学科本质的过程。在探究数学事实的过程中认识数学事实，重要的是深化对关系的理解，积累探究的经验，获得数学研究的科学方法。

探究“为什么不是”的学习活动，不仅可以清楚知道平行四边形面积与邻边存在不确定的关系，也进一步清晰了长和宽与长方形面积、边长与正方形面积的确定关系，深化了图形特征的认识。在对比辨析中深层次理解图形的同与不同，深入认识平行四边形易变形的特征。一个“为什么不是”的研究其意义深远，它触碰到数学学习的本质。美国数学教授柯普阑认为，数学是一种对关系的学习，教师应鼓励儿童发现数学关系，不要只顾灌输知识而扼杀了他们独立思考的机会和发现的乐趣。

雷同的对“为什么不是”的挖掘，都可以引领学生叩击数学本质之大门。如角的大小比较中，为什么角的大小与边的长短没有关系；被2、5整除的数的特征为什么只看个位上的数就可以判断，而被3整除的数的特征不能只看个位上的数来确定；小数加减法为什么不能末尾对齐直接加减；等等。

在不同的学习内容中，我们看到学生思维上产生的相通的问题，而这些相通问题都指向了对数学学科本质的探索。因此，教师要认真对待教学中“为什么不是”的问题，关注学生的真问题，给学生提供发现真理的机会，让他们真实地去探究以获得真知。