巧设问题链，让向量更有“形”——以“用几何法解决向量问题”的教学为例

□黄 维

（嘉兴市第四高级中学，浙江 嘉兴 314000）

直观想象是数学学科六大核心素养之一，是发现数学结论和解决数学问题的重要素养，其具体表现是能利用图形探索并解决数学问题，构建数学问题的直观模型.然而在平时的教学中，教师由于担心学生的作图用图能力，过于强调计算，忽略了直观想象能力的培养，这对培育学生的核心素养，对学生的可持续发展，是弊大于利的.

数学问题链教学，试图通过问题去激发学生对学习价值的体验[1]，为达成预定的教学目标，先在课外预设，然后在课堂上以多种方式呈现有序的主干问题序列带.它为学生提供有效的系列问题，引导学生深入思考数学知识，为学生多样的思维与探索提供了可能性.问题链的设计应坚持以学生的认知能力为基础、以核心知识为主体的原则，将若干问题经过比较、提炼、打磨、整合、建构，形成一系列具有内在联系的问题链条[2].在向量教学中，通过贯穿教学各环节的问题链设计，充分挖掘向量问题中的几何意义，可以引领学生思维发展，促进核心素养的落实.

一、新知引入问题链：铺设情境，指向明确目标

新知引入应着眼于大多数学生的认知能力.教师通过问题链的设计，将复杂问题的切入点落在基础的情境问题上，可以让知识点的衔接更加流畅，让教学目标、教学方法更明确，进而激活学生的思维，提高其数学核心素养.作为课堂引入的问题链设计，应关注问题的相通性和范围，遵循从熟悉的知识到不太熟悉的知识、从研究较小的范围过渡到研究包含该问题的更大的范围这一层层递进的逻辑顺序.

向量本身具有数与形的双重特性，试题命制时也常常以这两种形式呈现.遇到以图形为主干知识的命题，或者能直接在题目中挖掘几何图象的命题，教师要善于将此类问题解剖成几何知识，让学生用熟悉的图形来描述问题，并借助问题推广链扩大讨论范围，培养学生的直观想象力.

例1已知向量a≠b,|b|=1,对任意m∈R,有 |a-mb|≥ |a-b|,则()

A.a⊥bB.(a+b)⊥(a-b)

C.a⊥(a-b)D.b⊥(a-b)

若期望学生能用几何的思想去解答例1，可设计如下问题链.

问题1：在△ABC中，你能找到熟悉的向量关系式吗？请在图形中描出.

（以常见知识入手，强调基础图形）

问题2：在△ABC中，你能作出的图形吗？观察其与的关系.

（继续作图，训练作图能力，强化几何意识）

问题3：在△ABC中，当m变化时，你能找到与的数量关系吗？

（从认知上看，学生最不容易明白如何用字母变量替换定值，有了问题2的设计，学生可以尝试用不同的m值,画出不同的图形，并观察数量关系的变化）

问题4：在△ABC中，若对于任意的m∈R，都有,则∠ACB=()

（从图形的变化中，体现一般到特殊的思想）

问题5：能否借问题4解决例1提出的问题？

（类比问题4，重温思考过程，熟悉解题方法）

问题6：你能用其他方法解决上述问题吗？比较方法的差异.

（比较几何法和代数法的异同，体会几何法的本质，促进直观想象能力的提升）

例1不是一个很直观的几何描述形式，学生可以用建系运算的方法解决问题，但运算量较大.基于本节课的教学目标是有针对性地使用几何法解决向量问题，因此，笔者在引入部分就设计好问题，将学生的思维暂时集中在图形方面，通过问题链的设计，指导学生尝试将符号语言图形化，并通过几何语言的转化，发现问题的几何本质是一样的，进而从几何角度找到解决问题的方法，提升数学核心素养.

二、新知探究问题链：层层递进，激发学生思维

在对新知进行探究时，教师要引导学生自主探究解题方法，进而揭示数学问题背后的数学思想、数学方法.因此，教师在设计新知探究问题链时，要充分掌握学情，由浅入深，层层递进，既要符合学生的认知水平，又要引入一定的认知冲突，让学生在探索中找寻规律、发现方法.例如，可以通过从特殊到一般的设问，让学生找寻知识的相关性，进而形成知识脉络，发展数学思维.

遇到题干没有明确图形的问题时，教师要有意识地借助问题引申链，引导学生用特殊图形来理解，然后一步一步地去解决问题，并在问题解决的过程中感悟直观想象.

在新知探究时，笔者设计了如下问题链.

问题7：已知向量=1,,若，试探究C点的运动轨迹.

（根据初中知识，可知其运动轨迹是圆，进行知识和方法的双重储备）

问题8：已知向量,若=60°,试探究C点的运动轨迹.

（经历了例1的研究后，学生形成了通过研究特殊图象问题，找到一般问题的解题方法.问题7和8再次体现了特殊到一般的数学思想）

问题9：请描述问题7和8隐藏的几何知识，能否总结规律？

（聚焦方法）

问题10：已知向量=2,若=90°,试求的取值范围.

（在直角坐标系中，条件向量的一般化对图形会产生影响，让学生探究解题方法是否也会发生变化）

问题11：已知向量a,b,c满足|a|=|b|=a⋅b=2,(a-c)⋅(b-2c)=0,求|b-c|的最大值.

（作图的难度有所增加，部分学生不能画出图象，教师适时进行辅导）

问题12：问题10和11的本质问题是什么？你能找出或编出类似的题目吗？

（追问问题本质，让学生找题、编题则是为了培养学生善于观察、善于发现的能力）

针对平面向量中的模长、垂直等问题，很多学生首先想到的是坐标法，或是看到模长马上想到平方，再借助向量数量积展开运算，过程较为烦琐，要把问题转化为一个单纯的运算问题，而且在算出结果后，也不知道其最值的含义是什么.笔者通过问题链设计，将学生的思考方向往图形上引导，让他们发现模长、垂直等问题的本质往往与圆相关，再让学生结合圆的几何含义来分析问题，这样能更好地帮助学生理解问题，培养他们数形结合的能力.

三、新知巩固问题链：厘清方法，掌握核心知识

建构主义认为，学习的各种能力都是基于经验的积累.在知识巩固阶段，教师应设计与教学主体知识相关的问题链，结合适当的评价标准，来判断学生对核心知识的掌握程度.同时，教师还要厘清核心思想、核心方法，引导学生构建知识体系，帮助学生进行深度学习.

本节课学生要形成的学科素养是：能用几何的观点描述问题，思考问题，解决问题.因此，在问题链的设计上，教师要借助综合链来引导学生画出图形，让他们从图形的角度将代数问题几何化，发现几何意义，并在图形中揣摩、求证，快速找到答案.笔者设计了如下问题链.

问题13：如何理解|a-b|=1，它的图象是什么？

（回顾知识探究时得到的收获，再次加深学生对几何意义及图象有机结合的认识）

问题14：能理解|c-a-b|=1吗？请描述它的几何含义.

（根据问题13的启示，学生基本能联想到圆.注意提醒学生|c-(a+b)|与|(c-a)-b|等不同形式下几何意义的区别）

问题15：已知单位向量a,b的夹角为60°,设向量c=xa+yb,x,y∈R,若|c-a-b|=1,试画出c的图象.

（在问题14的基础上，将代数问题几何化，让学生画出圆的图形，考查学生是否具有运用几何法思考并解决问题的能力，落实本节课几何法的素养）

问题16：在问题15的基础上，求x+2y的最大值.

（继续进行代数问题的几何化，将二元变量的问题转化为圆切线或线性规划的问题）

问题17：矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则λ+μ的最大值为（ ）

（类似问题16的文体变式描述，再次巩固解题方法）

问题18：比较问题16和17，感受偏代数和偏几何不同描述形式对解题思维形成的启发，体会挖掘几何元素对解题的帮助.

（通过研究表象形式不同但内涵相同的问题，帮助学生归纳方法，总结思想）

对于平面向量基本定理的系数问题和向量差的模长问题结合在一起的题目，学生由于作图能力还有欠缺，直接入手较为困难.但本节课的核心思想就是培养学生用几何法解决向量问题的能力，培养学生数形结合、直观想象的能力.因此，在设计问题链时，笔者充分考虑学生的已有知识，抓住解决问题的方法几何法，确立解题的关键是将题中条件转化为几何图形，在图形具象化后，再让学生借助图形的相关知识解决问题.这比代数法更形象易懂，更简单明了.

四、新知迁移问题链：融会贯通，发展创新思维

数学知识的迁移应基于基础知识的掌握，注重内在思维的迁移.因此，教师在设计知识迁移问题链时，应着重体现知识的内在联系，突出思想方法的运用，拓展学生的想象空间，提升其逻辑推理能力，发展其创新思维.

教学向量时，教师要引导学生构建与原问题等价或有关的“几何模型”，在数与形之间架设桥梁，以达到解决问题的目的.在问题链的设计上，教师要借助问题深化链来深化学生对数学概念或模型的理解，使他们能将所学的知识融会贯通.让学生经历模型构造的过程，有助于学生把握事物的本质，培养直观想象能力.

在向量几何知识迁移时，笔者设计了如下问题链.

问题19：已知|m|=1,若a·m=4,探究a的轨迹并解释其几何意义.

（向量投影法是向量几何意义的重要体现之一，要让学生充分理解）

问题20：已知m，n是单位向量，夹角为90°，若同一平面内向量a满足a⋅m=2，a⋅n=，探究a的轨迹.

（单一投影变二维投影，让学生体会图象的变化以及知识的变迁）

问题21：在问题20中，把条件同一平面改成空间向量，你能体会从二维平面到三维空间的类比关系吗？

（类比平面几何，将常见方法、知识等拓展到三维空间，是学习几何知识和获得空间想象能力的重要途径）

问题22：已知m⊥n,且|m|=|n|=1,若a⋅m=4,a⋅n=3,|a|=,则对任意实数λ1,λ2,|a-λ1m-λ2n|的最小值是（ ）

（作图建立对应长方体的数学模型，在模型中解决数量问题）

问题23：已知m,n是单位向量,夹角为60°,若空间向量a满足a⋅m=2,a⋅n=,对于任意的x,y,有|a-(xm+yn)|≥1,则|a|=____.

（进一步强化建模意识，建立平行六面体的模型，体会用模型解题的妙处）

问题24：你能尝试变化题中的条件，构建新的数学模型吗？

（开放式的问题，让学生自由发挥，形成数学建模的思想）

对于相同向量与不同向量的数量积问题，根据公式，学生想到的大多是夹角不同，而几何法揭示的则是投影的问题.因此，教师在设计问题链时，要引导学生从投影的角度出发，将问题指向图形，然后启发学生从图形的角度思考问题，并从平面图形迁移到空间图形，同时将特殊延伸到一般，将直角坐标系推广为仿射坐标系，让空间几何体的模型映入脑海，将所学的知识方法等融会贯通.这样，更能体现构建模型的数学思想.

五、小结

总之，教师在利用问题链进行教学时，设计循序渐进的问题链，将向量系列问题几何元素的挖掘过程置于问题链呈现的内容中，启发并帮助学生形成几何思想，既能引导学生解决实际问题，又能促进他们举一反三能力的提升，进而逐步培养学生的直观想象能力.

杜威说：“教育的本质是经验的改造和重组.”偏离学生实际经验的教学往往是空中楼阁.在日常教学中，教师要找准契机，帮助学生尽可能多地经历直观想象的过程.而通过有针对性的问题链设计，将直观想象分步骤、分层次、有难度、有深度地进行培养，可以提升学生的数形结合能力，促使他们形成运用图形思考问题、解决问题的意识，发展他们的几何直观和空间想象能力，进而帮助他们获得更多的可持续发展的素养.□◢