反距离权重插值法模拟降水分布时的幂系数优化

陈 星

(广东省水文局韶关水文分局，广东 韶关 512028)

降水分布情况可用于流域水资源量计算[1-3]、降水分布规律及时空变化特征分析[4-7]、洪水预警预报分析[8-9]等水文学研究工作当中。反距离权重插值法是4种常用的区域平均降雨深的确定方法之一[10]。本文主要针对反距离权重插值法在模拟降水分布时采用的一种权重幂系数动态优化方法进行讨论。

1 反距离权重插值法

已知数个雨量站位置及该位置处降水量观测值,对需要插值计算的区域，以网格划分为多个子区域，各子区域的降水量，按如下方式插值：

(1)

式中:

Pi——待求的第i个子区域降水量；

Pj——区域内第j个雨量站的降水量观测值；

n——区域内的雨量站数；

λj——区域内第j个雨量站的权重。

其中λj通常定义为：

(2)

(3)

式中:

dij——第i个子区域中心至第j个雨量站的距离;

α——权重幂系数。

2 权重幂系数的动态优化

对于邻域内已知点高度聚集的插值点，由于所有相邻已知点都应当带有相对较大的权重，因此倾向于使用较小权重幂系数；反之当插值点领域内已知点相对分散时，来自最近的已知点的估算可能会有更高的可靠性，为提高其权重，倾向于使用较大的权重幂系数[12]。

2.1 位置特征值

引入一个位置特征值来表示插值点在计算区域中与各已知点之间的位置的特征，以此来决定权重幂系数的取值。位置特征值由密集系数和方位系数两部分组成。

2.1.1密集系数

以插值点与各已知点间距离倒数的方差来表示插值点邻域内已知点的聚集程度：

(4)

式中:

当插值点远离已知点群时，与各雨量站间距离倒数相差较小，方差较小；而靠近某个已知点或已知点群时，因其距离倒数样本值增大，方差变大。为消除不同比例地图对方差的影响，将方差和插值点与各已知点间平均距离的平方相乘，得到密集系数：

(5)

式中:

Ai——第i个插值点的密集系数。

2.1.2方位系数

特殊情况下，当插值点位于点群中心，且与各已知点的间距相差不大时，其密集系数将同样偏小。此时无法判断插值点是位于点群中心，还是在点群之外并与所有点都有较大间距。若插值点位于点群中心，又倾向于使用较大的位置特征值，与位于点群之外的情况相反，因此引入另外一个方位系数与密集系数相乘来修正插值点与已知点群间相对位置带来的误差。

将插值点与所有已知点连线，求各相邻连线间的夹角，取最大的一个夹角，规定该夹角为π时，方位系数为1，密集系数即为位置特征值；而当该夹角小于π时，说明插值点正位于点群内部，需要较大的位置特征值，使方位系数大于1；反之则使方位系数小于1。可以按如下方式将最大夹角归一化为方位系数：

(6)

式中:

Bi——第i个插值点的方位系数;

βmax——最大夹角;

e——自然对数底数。

图关系曲线示意

使密集系数Ai与方位系数Bi相乘得到位置特征值：

Ki=AiBi

(7)

式中:

Ki——第i个插值点的位置特征值。

2.2 权重幂系数

位置特征值的分布与预想的权重幂系数的分布是相反的，需用使用归一化公式进行转换，经分析，当插值点较为远离已知点群，位置特征值取值约为0.3时，权重幂系数取值4为宜；而当靠近已知点时，使权重幂系数逐渐接近2。可按下式对Ki归一化处理得到初始权重幂系数：

α0i=-0.4lnKi+3.5

(8)

式中:

α0i——第i个插值点的初始权重幂系数。

当权重幂系数低于2时，模拟的降水分布会围绕雨量站形成尖锐的峰形，与一般认为的降水沿空间应当有较平滑分布的情况不符，因此规定其最小值取2。

(9)

式中:

αi——第i个插值点的权重幂系数。

各插值点权重幂系数按式(9)中方法取值，权重幂系数随位置变化而动态变化，称其为动态取值方法。

3 应用实例

为了演示权重幂系数动态取值方法与常数取值方法插值效果的区别，本文以广东省始兴县为研究区域，县域内15个整编雨量站2019年降水量为已知点及其观测值，分别以权重幂系数取常数2、常数4、动态取值3种方案进行插值。广东省始兴县15个整编雨量站分布及其2019年降水量如图2所示，使用动态取值方案时的位置特征值Ki分布如图3所示。

图2 始兴县雨量站分布及2019年降水量示意(单位：mm)

图3 动态取值方案的位置特征值Ki分布示意

权重幂系数取值分别为常数2、常数4、动态取值时，插值结果如图4所示。

a)幂系数2

b)幂系数4

c)动态幂系数

3.1 插值点分布对比

在降水分布图上对插值点均匀采样，每张分布图上的样本数量为4 828个。3种方案下的插值点样本标准差见表1所示；将样本按数值大小分成10个等值区间，每个区间内的插值点样本数量占比如图5所示，将各样本按数值从低到高的序列排列(如图6所示)。

表1 3种方案所得样本标准差

图5 3种方案所得样本在各数值区间的占比示意

a) 幂系数2

b) 幂系数4

c) 动态幂系数

从图5可见，当权重幂系数为2时，最大、最小两个区间的样本偏少，仅占总数的5.9%；而位于20%～70%的中间各区间样本占比则高于使用幂系数4或动态幂系数时的数量；从图6可见，该方案下最小的4个已知点和最大的4个已知点位置非常接近，对应的头尾两段曲线斜率明显高出中间部分。从表1可见其标准差也小于另外两种方案。显然，在使用2作为权重幂系数时，其插值点整体分布将更趋向于所有参与插值的已知点的平均值，多数点子聚集于数值的中间部分，数值上偏大和偏小的已知点能够影响的范围有限。

相比于以2作为权重幂系数，另外两种方案的样本在各数值区间的分布更加均匀；在图6的序列曲线上各已知点附近的曲线斜率更为一致，两段的已知点同样能够有效影响到附近的插值点。这两种方案在样本标准差、在各数值区间的分布、样本点序列分布较为一致，主要区别在于：当取幂系数4时，在已知点附近更容易形成数值相近的点群聚集，如中心桃、北山、司前、澄江、小古菉4个点附近均有较多数值相近的样本聚集，分布曲线呈现为阶梯状；相比之下取用动态幂系数时分布曲线更为平滑，图5中最大、最小区间的点子数量略高于使用动态幂系数时的数量，也是位于两端的已知点形成的数值相近的点群范围更大导致的。

3.2 剖面对比

选取3条剖面，在剖面上对3种插值方案所插数值进行比较，3条剖面位置如图7所示，各剖面对比如图8所示。

图7 3条剖面位置示意

a) 剖面1

b) 剖面2

c) 剖面3

从图8可以看出，当取用幂系数2时，插值点在距离已知点很近的地方形成了凸出的峰形，当插值点远离某个已知点时，该已知点对插值点的权重迅速下降，而在缺少距离较近的已知点时，插值会趋向各已知点的平均值，如在剖面2中的小古菉—结龙湾段、梅子窝—车扒岭段，中间都有大幅偏向平均值的凸起。一般认为，当两个雨量站观测的降水量相近时，两个站之间的降水量会与两个站的观测值相近，相比之下，取用幂系数4或动态幂系数时，这两段已知点之间的过渡更加平直；通过剖面1中的结龙湾—始兴段、剖面3中的小古菉—始兴段，也可以看出当已知点距离剖面有一定距离时，使用后两种方案仍然可以对插值点产生显著的影响，而取用幂系数2时则会大幅偏向各已知点平均值。

取用幂系数4或动态幂系数时，整体结果较为一致，主要区别为：取用幂系数4时，各已知点会在一定距离内的插值点上获得压倒性的权重，表现为在已知点周围插出面积较大的、数值相近的点群，如剖面2的结龙湾、梅子窝、车扒岭，剖面3的北山附近，插值点的分布最平坦，延续的距离最长。这种情况会导致相邻的两个点群之间形成更加陡峭的过渡；当已知点较密集且呈梯度分布时，插值点容易呈现阶梯状分布，如剖面3中结龙湾—小铁寨—小安—黄腾径段；而采用动态幂系数时，各已知点附近形成的点群范围较小，在阶梯分布的已知点附近也可以获得更为平缓的过渡。

3.3 点群分布对比

对3.1中获得的采样点，在已知点相邻的区域中查找与其数值相近的采样点作为点群。规定采样点值与该已知点值之差不超过所有已知点最大值与最小值的差的某个百分比时，视为数值相近。百分比分别取0.1%、0.5%、1%时，3种方案获得的点群如图9～图11所示，点群占所有采样点的比值见表2。

a) 幂系数2

a) 幂系数2

a) 幂系数2

表2 3种方案点群占采样点比值 %

从图9～图11及表2可见，当取权重幂系数2时，由于在附近插值点中的权重衰减过快，许多已知点在插值面上形成高凸的峰形。其点群是最小的，并且其点群容易形成蝌蚪状尾巴，如深渡水、司前、中心桃，最夸张的是图11a)中中心桃的点群，已经绕到隘子的背后了，此时在隘子南部已经没有已知点了，该部分插值点应当更多地考虑隘子的权重，显然在此处的插值是不合理的。另外两种方案下的点群一般呈团状，即便有蝌蚪状尾巴长度也较短，基本能在附近的插值点中保留已知点的特征。

当取权重幂系数4时，点群是最大的，即使只考虑0.1%范围内的点群也占到了所有采样点的9.8%，已知点附近的插值面非常平坦，呈圆台状，这又会导致点群间的过渡陡峭，整体分布不够平缓，与上文中的结论一致。

采用动态幂系数时在一定程度上规避了前两种方案的缺点，但是在图9c)中，司前、中心桃的点群是不连续的，原因是已知点附近位置特征值过高，导致在远离已知点的过程中实际权重先迅速减小然后再增大，使得该处插值点的分布也出现了一定的反曲波动。

4 结语

通过对比3种方案的插值结果，认为：当取用小的幂系数时(幂系数2)，已知点在其附近插值点中的权重衰减迅速，大部分的插值点会偏向所有已知点平均值，无法保留其附近已知点的特征；取用大的幂系数时(幂系数4)，已知点在其附近插值点中的权重衰减缓慢，已知点附近形成与其值相近的点群，各点群间有陡峭的过渡；而当取用动态幂系数时，插值点在能较好保留附近已知点特征的同时，在不同的已知点之间也能形成平缓的过渡，更加接近现实中降水分布的情况，模拟效果较好。虽然已知点附近可能出现反曲波动，但是波动的范围、数值都较小，在实际应用中可以忽略不计。

虽然本文中动态幂系数的计算过程较为复杂，但反距离权重插值法本身计算量大，仅适用于借助计算机计算的情景。在计算机的协助下，该计算过程仍然可以高效地完成。此方法可用于推算降水观测站点分布不均匀的区域降水量、以邻近站点推算无降水观测的小区域降水量，也可用于洪水预报中降水分布等分析。