试解“新高考”2021年数学全国Ⅱ卷第21题

汪继波

(重庆市远恒佳重庆公学高中部 401200)

“新高考”2021年数学全国Ⅱ卷(海南、辽宁、重庆)第21题：

一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，…，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(x=i)=pi(i=0,1,2,3).

(1)已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E(X)；

(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p=1，当E(x)>1时，p<1;

(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

本题第(1)、第(3)问较易回答，此处不予讨论，在此仅讨论第(2)问：

求解想法此问关键在于找到这个关于x的三次方程的最小正实根，于是，可以考虑求出它的根(至多3个实数根)，进行比较，但纵观全国高考题的特点，直接求出此方程的所有实数根，并非易事！这一来，解题者应有心理准备，讨论方程根的特点，比较大小，找到最小正实根，可尝试通过分解因式能否找到几个根，余下根可根据限定条件，缩小其取值范围，进而比较方程根的大小；也可以考虑构造三次函数，转化为讨论此函数的零点，求出值或比较几个零点的大小，从而找到原方程的最小正实根.

解法一由概率分布列的性质，知p0+p1+p2+p3=1，p0=1-(p1+p2+p3)，

方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x

⟺1-(p1+p2+p3)+p1x+p2x2+p3x3=x

⟺1-x-p1(1-x)-p2(1-x2)-p3(1-x3)=0

⟺(x-1)[p3x2+(p2+p3)x+(p1+p2+p3-1)]=0

⟺x=1或p3x2+(p2+p3)x+(p1+p2+p3-1)=0

①当E(x)≤1，即p1+2p2+3p3≤1时，g(1)=p1+2p2+3p3-1≤0，如图1，g(x)在(0,+∞)上单调递增，在[1，+∞)也单调递增，据零点存在性定理，知g(x)在(0,+∞)上存在唯一零点x0，显然x0≥1，所以，方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的最小正实根等于1，于是，p=1.

②当E(x)>1，即p1+2p2+3p3>1时，g(1)=p1+2p2+3p3-1>0，而g(0)<0，如图2，g(x)在(0,+∞)上单调递增，由零点存在性定理，在(0,+∞)上存在唯一零点x0，且0

综上所述，当E(x)≤1时，p=1；当E(x)>1时，p<1.

解法二由概率分布列的性质，知p0+p1+p2+p3=1，从而p0=1-(p1+p2+p3)，

方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x

⟺1-(p1+p2+p3)+p1x+p2x2+p3x3=x

⟺1-x-p1(1-x)-p2(1-x2)-p3(1-x3)=0

⟺(x-1)[p3x2+(p2+p3)x+(p1+p2+p3-1)]=0

⟺x=1或p3x2+(p2+p3)x+(p1+p2+p3-1)=0

②当E(x)<1，即p1+2p2+3p3<1时，(x1-1)+(x2-1)<0，且(x1-1)(x2-1)<0，因x1≤x2，x1x2<0，故x1<0，x2>1，且|x1-1|>x2-1，此时，方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的最小正实根为1，所以，p=1.

综上所述，当E(x)≤1时，p=1；当E(x)>1时，p<1.

解法三由概率分布列的性质，知p0+p1+p2+p3=1，方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x⟺p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0=0.

构造函数f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0，显然有f(1)=0，函数f(x)的导函数f′(x)=3p3x2+2p2x+p1-1，如图3，由p3>0知抛物线f′(x)开口向上，f′(0)=p1-1，由p1<1，知f′(0)<0，于是，f′(x)有两个零点x1、x2,不妨设x1

①若E(x)≤1，即p1+2p2+3p3≤1，则f'(1)=3p3+2p2+p1-1≤0，据此二次函数f′(x)的性质，知x1<0<1≤x2.

x(-∞,x1)(x1,x2)(x2,+∞)f ′(x)+-+f(x)↗↘↗

所以，f(x)在(x2,+∞)上有且只有一个零点x0≥x2，因此，1是函数f(x)在(0,+∞)上的最小正实根，从而p=1.

②若E(x)>1，即p1+2p2+3p3>1，则f′(1)=3p3+2p2+p1-1>0，如图4，据f′(x)的性质，知x1<0

因f(0)=p0>0，f(x2)

综上所述，当E(x)≤1时，p=1；当E(x)>1时，p<1.

考题通过数学与生物学的融合，倡导了数学的广泛应用性.在教学和学校管理中，应重视学科间的融合，可鼓励学生关注以数学为基础的交叉学科或边缘科学，比如，生物数学、生物统计学、生态数学、数学地质学、数理统计学，等等，不要过早“文理分科”，现在不少地方或学校过早“选科”，从高一开始要求学生选定首选和再选科目，没有选考的科目随便安排几节课或考前突击式教学，以应付学业水平考试！如此过分功利化的学校教育恐难培养“健全的人”，也不利于国家的长远发展！