基本不等式在解题中的应用

廖永福

(福建省厦门第二中学 361009)

基本不等式结构简单，形式优美，它是高中数学的重要内容，也是高考数学的重要考点.应用时要依次满足条件：一正、二定、三相等，三者缺一不可.基本不等式是解决最值问题的有力工具，在解题中有着广泛的应用.

一、求最值

例1 (2020·江苏)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是____.

点评本题考查应用基本不等式求最值，考查转化思想和运算能力.解法一思路朴实，过程直接.解题关键是消元.把目标代数式表示成关于y的函数，直接应用基本不等式求解；解法二构思巧妙，方法灵活,解题关键是由条件等式构造出两个正数5x2+y2与4y2之积为定值，进而可用基本不等式的变式求解，属于中档题.

二、证明不等式

应用基本不等式证明不等式，常常与分析法、综合法、作差(商)法等结合使用，解题关键依然是构造两个正数之和(积)为定值，使之符合基本不等式的三个条件.

例2 (2020·全国卷Ⅲ(理))设a,b,c∈R，a+b+c=0，abc=1.

(1)证明：ab+bc+ca<0；

解答(1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0，

∵abc=1,∴a,b,c均不为0，则a2+b2+c2>0，

(2)不妨设max{a,b,c}=a，由a+b+c=0,abc=1可知，a>0,b<0,c<0.

点评本题主要考查不等式的性质以及基本不等式的应用，属于中档题.

三、恒成立问题

对于含参数的不等式恒成立问题，常常将它转化为函数的最值问题求解.常用的结论有：(1)任意x∈D，f(x)>m恒成立⟺f(x)min>m；(2)对任意x∈D，f(x)

点评本题考查绝对值不等式，考查不等式恒成立问题的解法，考查二次函数最值的求法，考查利用基本不等式求函数的最值.解题关键是如何把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，属中档题.

四、实际问题

应用基本不等式解决实际问题时，一般把要求最值的变量定义为因变量，根据实际问题抽象出函数的解析式后，利用基本不等式求出函数的最值，注意检验解是否在定义域内.

例4 (2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是____.

点评本题考查基本不等式的实际应用，考查推理与运算能力，属中档题.

五、与其它知识点交汇的问题

与其它知识点交汇的问题是高考的热点，解决这类问题一般从这些知识点出发，建立变量之间的等量关系，再选用适当的方法求解.

例5 (2018·江苏)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为____.

分析根据面积关系建立a,c的方程，再用基本不等式求解.

点评本题考查三角形的面积公式，考查基本不等式的应用，利用常数代换法是解决本题的关键，属中档题.

A.4 B.8 C.16 D.32

分析根据双曲线的渐近线方程求出点D，E的坐标，根据△ODE的面积为8，可得ab的值，再结合基本不等式，即可求得答案.

点评本题主要考查双曲线的性质和渐近线方程，考查基本不等式的应用，解题关键是应用a2+b2≥2ab建立双曲线的焦距与△ODE的面积之间的关系，属于中档题.

从上述例子可以看出，应用基本不等式解题要注意以下两点：一是注意基本不等式成立的条件；二是合理构造基本不等式中的和或积.

练习

1.(2020·海南)已知a>0，b>0，且a+b=1，则( ).

(1)如果不限定车型，l=6.05，则最大车流量为____辆/小时；

(2)如果限定车型，l=5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加____辆/小时.

5.(2020·全国卷Ⅱ(理))△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

(1)求A；(2)若BC=3，求△ABC周长的最大值.