APP下载

基于函数隐零点问题的导数处理策略

2021-12-26

数理化解题研究 2021年34期
关键词:增函数极值零点

张 庆

(江苏省徐州市侯集高级中学 221300)

按导函数零点能否求精确解可以分为两类:一类是数值上能精确求解的,称之为“显零点”;另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”.对于隐零点问题,由于涉及灵活的代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧,对学生综合能力的要求较高,成为考查的难点.

一、分离函数法

例1 已知函数f(x)=ax+xlnx(a∈R).

(1)若函数f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,求a的取值范围;

(2)当a=1且k∈Z时,不等式k(x-1)

解析(1)∵函数f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,

∴f′(x)=a+lnx+1≥0在区间[e,+∞)上恒成立,

∴a≥(-lnx-1)max=-2.

∴a≥-2.

∴a的取值范围是[-2,+∞).

(2)当a=1时,f(x)=x+xlnx,k∈Z时,不等式k(x-1)

令h(x)=x-lnx-2(x>1).

∴h(x)在(1,+∞)上单调递增,

∵h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-2ln2>0,

存在x0∈(3,4),使h(x0)=0,

即当1

当x>x0时,h(x)>0,即g′(x)>0,

g(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.

令h(x0)=x0-lnx0-2=0,即lnx0=x0-2,

k

∴kmax=3.

点评变量分离是数学中最常见的一类求解方法,本例中除了采用分离变量的方法外,还需要通过函数构造进行求解,这类求解方法的好处在于不需要对问题进行分类讨论,从而使得对问题的求解更加的简便.

二、整体代换法

例2 设函数f(x)=e2x-alnx.

(1)讨论f(x)的导函数f′(x)的零点的个数;

当a>0时,方程g(x)=a有一个根,即f′(x)存在唯一零点;

当a≤0时,方程g(x)=a没有根,即f′(x)没有零点.

(2)证明由(1)可设f′(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)时,f′(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0.

故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以[f(x)]min=f(x0).

三、设而不求法

(1)讨论f(x)的单调性;

①若f′(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f′(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.

(2)证明由(1)知,f(x)存在两个极值点时,当且仅当a>2.

由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,

所以不妨设x11.由于

又g(1)=0,从而当x∈(1,+∞)时,g(x)<0.

点评利用导数解决函数问题常与函数单调性的判断有关,而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系,设而不求的方法一般在圆锥曲线中经常遇到,其实在函数问题中,若遇到函数极值,零点问题时该方法也是处理该问题的一种常见处理方式.

猜你喜欢

增函数极值零点
函数零点、不等式恒成立
极值点带你去“漂移”
导数与函数零点的不解之缘
透视函数的零点问题
一个对数不等式的改进
极值点偏移拦路,三法可取
极值点偏移问题的解法
我为高考设计题目(2)
一类“极值点偏移”问题的解法与反思
高考导数模块过关卷答案与提示