基于函数隐零点问题的导数处理策略

张 庆

(江苏省徐州市侯集高级中学 221300)

按导函数零点能否求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”.对于隐零点问题，由于涉及灵活的代数变形、整体代换、构造函数、不等式应用等技巧，对学生综合能力的要求较高，成为考查的难点.

一、分离函数法

例1 已知函数f(x)=ax+xlnx(a∈R).

(1)若函数f(x)在区间[e，+∞)上为增函数，求a的取值范围；

(2)当a=1且k∈Z时，不等式k(x-1)

解析(1)∵函数f(x)在区间[e，+∞)上为增函数，

∴f′(x)=a+lnx+1≥0在区间[e，+∞)上恒成立，

∴a≥(-lnx-1)max=-2.

∴a≥-2.

∴a的取值范围是[-2，+∞).

(2)当a=1时，f(x)=x+xlnx，k∈Z时，不等式k(x-1)

令h(x)=x-lnx-2(x>1).

∴h(x)在(1，+∞)上单调递增，

∵h(3)=1-ln3<0，h(4)=2-2ln2>0，

存在x0∈(3，4)，使h(x0)=0，

即当1

当x>x0时，h(x)>0，即g′(x)>0，

g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增.

令h(x0)=x0-lnx0-2=0，即lnx0=x0-2，

k

∴kmax=3.

点评变量分离是数学中最常见的一类求解方法，本例中除了采用分离变量的方法外，还需要通过函数构造进行求解，这类求解方法的好处在于不需要对问题进行分类讨论，从而使得对问题的求解更加的简便.

二、整体代换法

例2 设函数f(x)=e2x-alnx.

(1)讨论f(x)的导函数f′(x)的零点的个数；

当a>0时，方程g(x)=a有一个根，即f′(x)存在唯一零点；

当a≤0时，方程g(x)=a没有根，即f′(x)没有零点.

(2)证明由(1)可设f′(x)在(0，+∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，+∞)时，f′(x)>0.

故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增，所以[f(x)]min=f(x0).

三、设而不求法

(1)讨论f(x)的单调性；

①若f′(x)≤0，当且仅当a=2，x=1时f′(x)=0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减.

(2)证明由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a>2.

由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2-ax+1=0，

所以不妨设x11.由于

又g(1)=0，从而当x∈(1，+∞)时，g(x)<0.

点评利用导数解决函数问题常与函数单调性的判断有关，而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系，设而不求的方法一般在圆锥曲线中经常遇到，其实在函数问题中，若遇到函数极值，零点问题时该方法也是处理该问题的一种常见处理方式.