高中立体几何“存在型”探索性问题求解策略

杨 帆

(江苏省海门中学 226100)

一、直接求解

“存在型”探索性问题虽然属于形式多样的复杂问题，但其中有些问题与我们所熟知的封闭性的问题相似，对于这类问题在解答时可以引导学生直接从题目所给的已知条件出发，从结果出发推导原因，进行相关的理论逻辑推理从而获得结论.

(2)若线段AE的长度为2，能否求解出二面角D-BF-C的余弦值.

解析(1)如下图所示，过点D作DH⊥EF，垂点为H,将BH、GH分别连接,又因为已知平面AEFD和平面EBCF垂直，因此DH⊥平面EBCF,又因为EG在平面EBCF中,因此可得线段EG垂直于DH.

所以四边形BGHE为正方形,同时可知线段EG和BH互相垂直.

因为线段BH和线段DH相较交于H,因此线段EG和平面DBH相互垂直.

又因为BD在平面DBH内,所以线段EG和线段BD互相垂直.

二、假设一推证一定论

同时学生也可以采用假设—推证—定论的方式解决一部分存在型探索性的数学问题.即：先提出一个与题干相矛盾的假设的存在，通过推理得出这个结论不正确最终得出所探索的问题的正确性，或是从正面利用演绎推理的方法证明所探索的问题的正确性.

柴油机电站在1月的烟气产生量为330 m3/min，日产生量为Ve=475 200 m3/d，烟气经过保温可达Te1=300℃，热量交换后尾气温度取Te2=130℃，烟气所含热值通过公式（5）计算：

例2下图为正方体棱长为1,BB1、AB的中点分别是M、N,B1C的中点是O,过O作直线OQ,使得OQ交AM于P,交CN于点Q.

(1)能否求出图中线段PQ的长度；

(2)无限延展平面A1B,T是平面A1B中的一个不规则动点,T点距离直线DD1与距离P点的长度平方差为1,能否在此情况下尝试建立一个直角坐标系最终求解出动点T所构成曲线的方程K.

(2)过T作TE⊥DD,过T作TF⊥AA1，DD1⊥TE，DD1∥AA1，所以AA1⊥平面TEF,故AA1⊥EF,所以EF∥AD.在Rt△TFE中,TF2=TE2-EF2=TE2-1=PT2.由此可得点T的轨迹实际上是以AA1为准线，以P为焦点的一条抛物线.此时可以将以P点到AA1的垂线段的中点作为原点去建立一个直角坐标系.由此可设抛物线的方程y2=2px(p>0).

三、先猜后证

对于一些特征较为明显的存在性探索问题学生往往可以采用先猜后证的方式进行求解.

解析由图中信息我们不难猜测D为AC的中点，此时可以连结A1B，使得且A1B与AB1交于E,则E为A1B的中点.

因为BC1∥平面AB1D，DE为平面AB1D与平面A1BC的交线，所以BC1∥DE,由此就可以证明出点D确实是为AC的中点.

总而言之，“存在型”探索性问题并没有学生想象的那么复杂，还有向量法等多种方法都可以应用到立体几何问题求解的过程当中，本文旨在希望能够通过分析相关求解思路给广大学子带来解题建议.