端点效应解题举隅

2021-12-26蒋满林

数理化解题研究 2021年34期

蒋满林

(福建省古田县第一中学 352200)

导数含参数恒成立问题的常用方法是字母讨论、分离参数等，但对于分类讨论往往比较繁杂而半途而废，分离参数对于分离函数的导数很难把握.利用端点函数值的特殊性，先得到必要条件，再证充分性，因其思路简洁方法实效，我们把它称为端点效应，下面以例示之，与大家交流.

一、端点效应

1.连续型端点效应

例1(2017全国Ⅱ文21)设函数f(x)=(1-x2)ex.

(1)略；

(2)当x≥0时，f(x)≤ax+1，求a的取值范围.

解析(2)令g(x)=(1-x2)ex-ax-1(x≥0)，g′(x)=(1-x2-x)ex-a，由于g(0)=0，

所以必有g′(0)=1-a≤0，可得a≥1(必要条件)，下面去证明a≥1满足题意(充分性证明).

当a≥1时，g′(x)=(1-x2-x)ex-a≤(1-x2-x)ex-1，记h(x)=(1-x2-x)ex-1(x≥0)，h′(x)=(-x2-4x-1)ex<0，所以g′(x)≤0，g(x)在[0,+∞)上单调递减，g(x)≤g(0)=0.

综上所述，a的取值范围为[1,+∞).

评注所求参数为连续实数的端点效应我们称之为连续型端点效应，连续型端点效应的解题步骤.

(1)取端点或特殊点的函数值；

(2)求出满足参数的必要条件；

(3)证明参数范围满足充分条件.

2016年全国Ⅱ文20题等，也可以用此法解答.

2.离散型端点效应

下面去证k=3 满足题意(充分性证明).

当k=3时，g(x)=(x+1)[ln(x+1)-3x+1](x>0)，g′(x)=ln(x+1)-1(x>0)，令g′(x)=0，得x=e-1，g(x)在(0,e-1)上单调递减，在(e-1,+∞)上单调递增，g(x)≥g(e-1)=2e-3(e-1)=3-e>0.

综上所述，k=3满足题意.

评注所求参数为整数的端点效应我们称之为离散型端点效应，离散型端点效应的解题步骤.

(1)取端点或端点附近的特殊点如f(1),f(2),f(e)等；

(2)求出满足参数最值整数的必要条件；

(3)证明参数的最值整数满足充分条件.

其中离散型端点效应，端点选点不唯一，只要便于计算又能确定参数整数的必要条件均可.

3.二阶型端点效应

例3已知a∈R，函数f(x)=ex-ex-a(xlnx-x+1)的导函数为g(x).

(1)略；(2)略；

(3)若x≥1时，f(x)≥0恒成立，求a的最大值.

评注原函数与一阶导函数均应用端点效应，我们称之为二阶型端点效应，二阶型端点效应的解题步骤.

(1)原函数端点函数值为0；

(2)一阶导函数端点函数值为0；

(3)取二阶导函数端点或特殊点的函数值，求出满足参数的必要条件；

(4)证明参数范围满足充分条件.

二、变式训练

例1 (2020年3月厦门市质检理21题)已知函数f(x)=aex+2e-x+(a-2)x(a∈R，e是自然对数的底数).

(1)略；

(2)当x≥0时，求f(x)≥(a+2)cosx，求a的取值范围.

解析(连续型端点效应)记g(x)=f(x)-(a+2)cosx=aex+2e-x+(a-2)x-(a+2)cosx(x≥0)，g′(x)=aex-2e-x+(a-2)+(a+2)sinx(x≥0)，由g(0)=a+2-(a+2)=0,g′(0)=a-2+a-2≥0，得a≥2(必要性)，下证，a≥2成立(充分性).当a≥2时，x∈[0,π]时，g′(x)=aex-2e-x+(a-2)+(a+2)sinx≥2(ex-e-x)+(a-2)+(a+2)sinx≥0，g(x)≥g(0)=0，成立；当a≥2时，x∈[π,+∞)时，g′(x)=aex-2e-x+(a-2)+(a+2)sinx≥2(eπ-e-π)+(a-2)-(a+2)=2eπ-2e-π-4>0.

综上所述，a≥2成立.

注：导函数中含有三角函数sinx，对x∈[0,π]与x∈[π,+∞)进行分段讨论，这种对三角函数取值进行讨论是近年考试的热点，要引起大家的关注.