高中数学辩证思维赏析

武 婷

(四川师范大学附属中学 610066)

数学与哲学是两门独立的学科,同时又是两门联系紧密的学科.正如数学家Demollins所指出的那样：“没有数学，我们无法看透哲学的深度；没有哲学，人们也无法看透数学的深度；若没有二者，人们就什么也看不透.”恩格斯也指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，……”.在《普通高中数学课程标准(2017年版)》修订的基本原则中也要求：“坚持正确的政治方向……充分体现马克思主义的指导地位和基本立场……”.课程标准全书的表述中也渗透了辩证法的很多观点，比如：具体与抽象、一般与特殊、现象与本质以及普遍联系的观点等等，所以在高中数学的教学中，教师要结合数学学科的特点潜移默化的给学生渗透辩证法的基本思想，坚持用“辩证观点分析和解决数学问题”，逐步培养高中学生运用辩证思维解决数学问题的能力.

一、对立统一规律

对立统一规律是唯物辩证法的三大规律之一.根据对立统一规律，矛盾双方既相互依赖，又相互排斥,并在一定条件下可以相互转化.在笛卡尔之前的数学，“数”与“形”就是一对矛盾.数学家华罗庚说过：“数缺少形时少直观，形缺少数时难入微”.数形结合的解题方法就是对立统一的辩证思维在解题中的具体体现.

以形助数，可以充分利用形的直观性来揭示数学问题的本质属性；以数辅形，有助于寻找运动规律.数形结合，促成矛盾双方顺利转化，创造条件使对立双方达到统一，从而培养学生对立统一观点.

二、量变质变规律

唯物辩证法认为：量变是质变的必要准备，没有一定的量变,就不会发生质变.质变是量变的必然结果，单纯的量变不会永远持续下去,量变达到一定的程度必然引起质变.

例2 已知动点P与两个定点A(0,0),B(3,0)的距离比为k，求动点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

当k=0,P点轨迹退缩为点A；

本题的数学背景就是著名的阿波罗尼斯圆：设A,B是平面内两个定点，平面内的动点C到点A的距离与到点B的距离比为定值λ(λ>0且λ≠1)，则点C的轨迹为圆.在对k的分析中，我们充分体现了辨证法中由量变到质变的过程.

三、否定之否定规律

否定之否定规律表明事物自身发展的整个过程是由肯定、否定和否定之否定诸环节构成的，揭示了事物发展的全过程和总趋势.事物都有肯定方面和否定方面，当肯定方面居于主导地位时，事物保持现有的性质、特征和倾向，当事物内部的否定方面战胜肯定方面时，旧事物就需要转化为新事物.

高中数学的解题思想中有一种叫“补集思想”，也就是“正难则反”，充分反映了否定之否定的辩证思想.有些问题如果从正面入手，情况复杂，毫无头绪，若从问题的反面去想，有可能“峰回路转，柳暗花明”，所以掌握正与反的辩证思想它可以帮助学生从不同的侧面去思考问题，进而解决问题.

例3已知直线l过定点P(3,0)且斜率为k，试求k的取值范围使得曲线C：y=x2的所有弦都不能被直线l垂直平分.

分析要使得曲线C的所有弦都不能被直线l垂直平分，正面考虑就得分三种情况：

l与C没有交点；

l与C虽然有交点但曲线C的所有弦都与l不垂直；

l与C的弦垂直但中点不在l上.

显然要找出满足条件的斜率正面入手相当困难，那我们不妨从反面考虑，问题转化为曲线C中至少有一条弦能被直线l垂直平分的斜率范围，然后再取补集得解.解答如下：

四、普遍联系的观点

事物的联系具有普遍性，任何事物或现象之间以及事物的内部要素之间都是相互影响，相互依赖，相互作用的.唯物辩证法要求我们用普遍联系的观点看问题.

五、矛盾分析的方法

1.运动与静止

在辩证唯物主义的自然观中，运动是绝对的，静止是相对的.“运动”是一个具有普遍意义的范畴.恩格斯是这样描述的：“运动”，就一般的意义来说，就它被理解为存在的方式，被理解为物质固有的属性来说，它包括宇宙中发生的一切变化和过程，从单纯的位置移动起直到思维活动.动中有静、静中有动.“动”与“静”在一定条件下可以相互转化.

在解析几何的教学中理应积极渗透运动变化的思想，有目的、有计划地展现数学对象运动的基本过程，揭示数学对象运动变化的本质和规律，以利于培养学生唯物主义世界观、掌握科学的辩证思维方法，提高分析问题和解决问题的能力.

例4教材上的一道例题：已知圆O:x2+y2=r2，求经过圆O上一点P(x0,y0)的切线方程.

赏析这条切线是确定的、静止的，如何化静为动呢？我们会以点P(x0,y0)为圆心作一个半径为ε的充分小的圆，使它与圆O相交于A,B两点，则圆P的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=ε2，两圆方程作差即可求出相交弦AB:2x0x+2y0y=2r2-ε2，现在令ε不断变小趋近于0时，直线AB就与过点P的切线重合，可得方程：x0x+y0y=r2.

本题运用割线逼近思想求切线，化静为动，把某些静态问题转化为动态研究，达到化静为动，动中求静的目的.

2.共性与个性

3.整体与局部

整体与局部既相互区别又相互联系.整体居于主导地位，统率着局部，二者不可分割又相互影响.解决高中数学问题时我们既要立足整体，统筹全局，又要把握好局部，通过对用局部的研究去推动对的整体的研究.此所谓“滴水反映出太阳的光辉！”

显然上述第二个方法通过对渐近线方程的整体把握，大大降低了运算量，教师在教学当中应向学生渗透整体与局部的辩证思想，让学生树立整体观念、全局思想，从整体出发，在整体上选择最佳方案，实现最优目标但同时也要搞好局部，使整体功能得到最大发挥.

4.现象与本质

本质与现象是揭示事物内部联系和外部表现相互关系的一对辩证法的基本范畴.本质是事物的内部联系，是决定事物性质和发展趋向的东西；现象是事物的外部联系，是本质在各方面的外部表现.本质与现象是对立统一的关系.在高中数学解题中我们一定要善于透过现象看清本质.

例6已知圆M:x2+(y-3)2=1，直线l:x-2y=0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.求证：经过A,P,M三点的圆必过定点.

图4

我们发现通过对圆上定点的分析，我们挖掘了圆与直线的位置关系以及圆中直径所对的圆周角为直角的本质快速的找到了定点，透过现象看动圆过定点问题的本质，理解就更深入了.

唯物辩证法是辩证思想发展的高级形态，在高中数学的教学实践中，教师如果能够充分挖掘其中的辩证思维素材，有效的指导学生进行辩证思维，必将大大促进学生对数学知识的理解，提升学生看待问题的观点和分析问题、处理问题的能力，也必将提高他们的思维品质和科学素养！