两直线斜率积问题分类解析与命题推广

武 刚 李秀元

(1.湖北省武穴中学 435400;2.湖北省武穴市实验高级中学 435400)

平面解析几何的教学，从知识层面上讲，需要掌握直线、圆及圆锥曲线的定义、方程和几何性质，熟悉直线与二次曲线位置关系问题的处理方式；从思想方法层面讲，主要是传授数形结合与模型化思想；从能力层面，包括但不仅仅限于发现问题、提出问题，语言表达以及运算与推理等能力培养；从核心素养层面，则需重点提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养，其中，数学运算尤为突出，很多结论的获取，都是基于计算结果，解题过程大部分是运算过程展示.在圆锥曲线的学习过程中，我们发现，两直线斜率积问题比较常见，从课本到高考都有体现，试题大致可分为四类：已知过动点两直线斜率积为定值，求动点轨迹方程；已知动直线与圆锥曲线相交于两点，两点所对应的两条直线斜率积为定值，研究动直线的特点；证明两直线斜率积为定值；在两直线斜率积为定值的基础上，探讨直线方程中参数关系等.

一、已知斜率积求动点轨迹方程

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)已知直线l：y=kx+m，C的右焦点为F，直线l与C交于M，N两点，若点F是△AMN的垂心，求直线l的方程.

分析这类题是课标实验教科书《数学》(选修2-1)中例题的变式.课本例题可以看成产生椭圆的一种方式，揭示了椭圆的一条性质.

因此，基于两个关于原点的对称点，若两动直线斜率之积为定值(负值)，则动点轨迹一定是椭圆(除去两已知点).应用模型识别，我们可以提前定位曲线类型，识别方程结构.

本题条件直译后，化简即得动点轨迹方程，但在表示斜率时要注意坐标的限制条件，即轨迹方程的限制条件，而第(2)小题，则需要借助互相垂直的两直线斜率之积为-1来转化运算.

反思椭圆这一性质的产生，应该源于任一直径所对圆周角为直角，且互相垂直的两直线斜率之积为定值-1的基本事实.圆和椭圆同属于二次曲线，两者之间可以互相转化，进行类比推理，从特殊入手，进而得到椭圆的一般化命题.椭圆具有的性质，双曲线也会有类似的性质，我们要做的只是想办法将它们统一起来.在圆锥曲线章节复习时，以课本例习题为载体，设置一次探究活动，重点关注性质的产生过程与整合，对落实逻辑推理、数学抽象和数学运算等核心素养意义非凡.

二、探讨或证明两直线斜率积为定值

图1

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点P是椭圆C上异于A，B的点，与x轴垂直的直线l分别交直线AP，BP于点M，N，求证：直线AN与直线BM的斜率之积是定值.

反思由于定值结构形式与椭圆性质一致，二者之间应该有一定的联系.事实上，如果将AN和BM延长，设交点为Q，只要能说明点Q在椭圆上，或者由直线BM与椭圆交于另一点Q，能说明A,N和Q三点共线，则两个问题也就合二为一了.由于是纯字母运算，无论是运算方向的把握，还是运算过程的落实，难度值都是很大的.但经过核算，这是对的.因此有

我们甚至可以更大胆地猜想，将椭圆长轴换成任一直径，直线l与直径垂直，所得两直线斜率之积也是定值，读者不妨试一试.

下面继续来看斜率积为定值的其他形式的问题.

(1)求椭圆的方程；

(2)圆C的方程为x2+y2=5，若圆C与直线l相交于P，Q两点(两点均不在坐标轴上)，试探究OP，OQ的斜率之积是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由.

(2)当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，

因为直线l与椭圆C有且只有一个交点，所以Δ1=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)=0，即m2=1+4k2.

设直线OP1，OP2的斜率分别为k1，k2，则

结果同样与椭圆性质形式一致.一般地，我们有

(1)求C的方程；

(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB的中点为M.证明：直线OM与直线l的斜率乘积为定值.

(2)设直线l:y=kx+t(k≠0，t≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(xM,yM).

三、基于两直线斜率积为定值，研究动直线特点

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设点Q是椭圆C与x轴正半轴的交点，斜率不为0的直线l与椭圆C交于不同的两点D，E，若kQD·kQE=9，问直线DE是否恒过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

所以y1y2=9(x1-1)(x2-1)=9(ty1+m-1)(ty2+m-1)，进一步整理，得(9t2-1)y1y2+9(m-1)t(y1+y2)+9(m-1)2=0.

因为m≠1(直线不过(1,0)点)，故有(9t2-1)(m+1)-18mt2+3(m-1)(1+3t2)=0，解得m=2.

故直线DE恒过定点(2,0).

四、基于两直线斜率积为定值，研究动直线方程中参数的特点

(1)求椭圆C的标准方程；

依题意，Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)>0，化简，得m2<4k2+1.①

所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.

所以(4k2-5)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0.

虽然我们对一些命题进行了推广，但也只是一般化而已，如果能在不同曲线上展现，这样的研究也许更有意义.不管是哪种类型，问题解决最终都是展现数学运算能力，因此，在平时的解题教学中，除了逻辑分析外，还是需要留足时间，展示运算过程，突破运算技巧，提升运算能力.