多视角解析一道2021年三模压轴题

贺凤梅

(新疆伊犁巩留县高级中学 835400)

一、题目呈现

(1)求椭圆C的标准方程；

二、总体分析

定点、定值是圆锥曲线中的常见问题，问题的呈现形式有：以两直线斜率乘积、和、比值为定值引出的直线过定点；或已知直线过定点，能否得出两直线斜率之积、和或比值为定值.本文拟以直线过定点，两直线斜率比值为定值进行多视角探究，旨在理清问题的本质，找到解决此类问题的行之有效的方法.

三、试题解答

以下重点探讨第(2)问.

视角1利用直线的普通方程求解.

将④⑤代入，化简整理,得

视角2圆锥曲线齐次化，借助椭圆的第三定义求解.

又直线m(x+3)+ny=1过点F(-2,0)，所以m=1.

此时，直线方程设为mp+nq=1.⑦

直线过点(1,0)，所以m=1.

将⑦代入⑥，得9y2-30nxy-25x2=0，

评注以上三种解法的本质是圆锥曲线的齐次化，其中一种策略是平移圆锥曲线，比如以上的解法5，不过学生对这种方法有些陌生.笔者将方法稍微改变一下，步骤为：

(1)设直线方程为m(x-x0)+n(y-y0)=1；

(4)得出结论：比如以上的解法3和解法4.当然还需要借助椭圆的第三定义联合求解.

视角3借助韦达定理求解.

评注圆锥曲线结合韦达定理，求解的方法又称圆锥曲线的公式联立，其实是一套求解椭圆(或双曲线)与直线相交时，联立方程求判别式、韦达定理与相交弦等问题的公式，平时并不多见.针对学有余力的学生，教师可以适当介绍，开阔学生的视野，提高学生的思维能力.

四、解后反思

《普通高中数学课程标准(2017)》指出，高中数学的六大素养为数据分析、逻辑推理、数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算.高中数学的学习急需提高学生的综合能力.在数学学习的过程中，教师要鼓励和引导学生在学习的过程中勤思考、多动脑，在对两直线斜率比值、乘积以及和为定值的问题探究过程中，培养学生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养.教师可以根据核心素养所提出的相关理论进行教学方式、教学目的的调整，使学生能够得到更全面的发展，将立德树人的根本任务落到实处.

“一题多解”既可以丰富教学内容，也可以让枯燥的数学课堂变得活泼生动，充分调动学生的积极性，让每个学生都自觉地投入到课堂中来，不仅可以使学生集中注意力，还可以使学生的思维越来越缜密，考虑越来越周全.应用“多题一解”的教学，可以锻炼学生归纳总结的能力，使得学生“做一题，会一类”.“多题一解”的数学教学方式，不仅能提高学生学习数学的能力，还能映射生活的哲理，对于学生生存能力的提高也有效果.