对运算教学中板书示范与矫正错误的探索

吴显峰

摘要

教师在运算教学中，要重视板书示范和矫正错误。板书示范时，要注意板书的细节和完整性，具体到每一步的操作说明;矫正错误时，不仅仅要纠正错误答案，更要带领学生探究错误的原因，让学生做到深度思考。

关键词

初中数学 运算教学 板书示范 矫正错误

我国著名数学教育家傅种孙先生曾指出：“教学的技艺，一方面要指示正规，另一方面要矫正错误，必须兼施并用，才会有较好的效果。”笔者结合近年来初中数学運算教学中的一些实践经验，认为运算教学要重视板书示范和矫正错误。下面笔者以乘法公式的教学为例，谈一谈个人的做法和体会。

一、例题板书示范

案例1 （平方差公式）计算（3x+2）（3x-2）。

解：原式=（3x）2-22……视为整体，添加小括号，不跳步。

=9x2-4。……展开小括号。

板书示范的细节：教师在板书之前，可先安排学生观察两个因式中的各项系数的特点，然后用不同颜色的粉笔进行标注，再写成两项平方差的形式，并在每一步的后面进行备注、解读。

案例2 （平方差公式）计算（-m+2n）（-2n-m）。

解：原式=（-m+2n）（-m-2n）……变形改写，与公式“形式”一致。

=（-m）2-（2n）2 ……视为整体，添加小括号，不跳步。

=m2-4n2。……展开小括号。

板书示范的细节：教师先安排学生观察两个因式中的各项特点，分析能否运用乘法公式进行简化运算，这里要让学生辨识并且说出哪一项相当于平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的“a”或“b”，然后提醒并示范“第一步”。教师可以使用相同颜色的粉笔标注“-m”，使用另一种颜色的粉笔标注“2n”，以促进学生辨识。

案例3 （完全平方公式）计算（a+b+c）2。

解：原式=[（a+b）+c]2……视为整体，恰当分组。

=（a+b）2+2（a+b）c+c2……运用完全平方公式展开。

=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2……展开小括号。

=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。……整理，形式上更加一致。

板书示范的细节：学生可能会直接展开成9项，然后再合并、化简。对于这道计算题来说也是可行的，但笔者启发学生运用整体眼光，连续使用完全平方公式展开，然后将a+b视为整体用小括号括起来，具体板书时还可采用留白、字号缩放的书写技巧（如图1）来帮助学生理解这一步的意图。

案例4 （乘法公式综合运算）计算（x+2y-3）（x-2y+3）。

解：原式=[x+（2y-3）] [x-（2y-3）]……观察因式中的各项系数特点，恰当组合。

=x2-（2y-3）2……视为整体，运用平方差公式。

=x2-（4y2-12y+9）……展开小括号。

=x2-4y2+12y-9。……去小括号，化简。

板书示范的细节：在初学案例4这道计算题时，学生往往不太适应，难以找出合适的分组。这时教师可在学生独立观察、思考的基础上，让学生分组交流各自的发现和尝试，然后再让全班交流分享一些成功的分组经验，最后在学生成功解出答案的基础上，进行如上的“分步运算”环节，并备注每一步的操作说明或依据。

二、矫正错误的案例呈现

案例5 计算（-3x+2y）（-2y-3x）。

学生错误：原式=-3x2+2y2。

提醒出错后订正：原式=-9x2+4y2。

第二次订正：原式=-4y2+9x2。

矫正意见：该生成绩在班级属于中等水平，第一次出错的原因是典型的跳步太多，特别是符号辨识不当，又没有添加小括号，而且对平方差公式的结构特征理解不透，化简时也没有与平方差公式在结构上保持“一致性”（结果宜写成9x2-4y2）。在师生究错讨论后，订正如图2：

案例6 计算（a+2b+1）（a+2b-1）。

学生错误：

矫正意见：由于学生第一步就出现了“组合”错误，导致后续运算全部无效，是典型的“高位出错”。教师教学时可将这种错误进行投影，让全班学生参与纠错和究错，能训练学生的观察能力。当学生观察出两个因式中有相同项（a+2b）时，再运用平方差公式即可简化运算。

案例7 运用“杨辉三角”展开（a-2b）5。

学生错误：原式=a5-10a4b+20a3b2-20a2b3+10ab4-2b5。

矫正意见：这是苏科版数学八年级教材中的一道变式拓展题。在教学过程中，笔者发现很多学生都出错了。学生出错的根本原因在于对“视为整体”的处理策略运用不熟悉，并且想“一步到位”，结果跳步出错。而少数展开成功的学生就是因为将“-2b”视为整体，然后运用“杨辉三角”逐项展开，最后再化简成功的。上述的教师示范过程如图3。教师讲评时注意让学生体会运算、书写的“序”，可以使用不同颜色的粉笔进行切换、示范。

三、关于运算教学的思考

1.站在学生角度，找准算法关键并分步示范。

教师由于对初中阶段的各类运算非常熟悉，所以备课时更需要站在学生的角度，以一个初学者的视角了解学生的最近发展区，即对于新学习的运算或变形可以与之前哪些运算或算法经验相关联，又与哪些显著不同且容易形成干扰。找准以上这些算法关键之后，教师就要做出必要的教学预设，比如在哪些关键步骤要慢下来或者停下来，而不是用PPT像“放电影”一样展示解法过程，然后再安排大量练习。笔者认为，在学生新接触一类运算之后，要组织学生“慢慢”归纳（能证明的要尽量进行推证）得出运算法则。在运用法则进行运算时，例题的算法步骤尽量不使用PPT播放，而要由教师亲自板书，通过辅以不同颜色的粉笔，恰时恰点的留白式书写和停顿式书写，甚至需要必要的“稚化思维”“有意出错”等教学艺术，突破教学难点，提醒学生关注易错点和易混点。

2.执行法则，并灵活运用数学思想解题。

学生在新接触一类运算或变形式之后，归纳得出的运算法则，要严格执行，但是运算的难点和灵活性在于运算法则是“刚性”的，而运算通性则是“柔性”的，教师往往要带领学生体会“规则下的自由”。

比如有理数的混合运算，按照不同级别运算的先后顺序进行运算时，还要灵活运用运算律简化运算。再比如，上文提到的乘法公式的简化运算，要引导学生善于整体处理，养成“视为整体”的习惯。形成这方面的能力固然与学生对运算的适应性有关，也与教师“深入浅出”“形象生动”的板书示范有着很大的关系。关于运算教学或运算习题的讲评课，笔者曾特别提醒一些初任教师，因为他们常常对运算步骤缺少深入构思，往往出现算法不够简明、重点步骤不突出等问题。因此他们要多向教材学习，弄清楚教材上针对某道例题的算法步骤为什么只给出三步，而不是四步或六步。总之，学会省略“非必要表达步骤”（力求运算过程更加简明、清楚）也是运算教学的关键和难点。

3.找出主要错因，引导学生从纠错走向究错。

笔者根据教学经验，发现学生计算出错的主要原因是跳步。笔者开展纠错时常常会向學生指出“十次算错九次跳”，并细心协助学生一起查找出他们的错误步骤，然后针对错误给出订正的建议，这其中要求学生充分展开必要的算法步骤，往往能提高学生的运算能力。另外，有些运算能力不强的学生，在订正运算错误时往往要经历多次订正才能算出正确的结果，这类学生缺少必要的反思，他们常常是为“完成任务”（仅以算到正确的结果为目标），并不主动去反思、分析前面几次出错的原因，从而失去提升运算能力的机会。因为运算能力的提升除了“严守法则、灵活处理”之外，还需要从运算失误中吸取一些教训。笔者的教学经验是，在课堂上遇到学生的典型错误时，常常会安排“大屏幕投影”，组织全体学生共同究错，然后进行订正和算法步骤的优化与简化，最后让出错学生整理自己的错误并且订正在笔记本上，而不是让他们只记录正确的算法。这样做的好处是，学生过一段时间复习时，可以对比错误算法和正确步骤，包括将来再次出现同类错误时，可以让学生对前后的运算错误进行比对、验证，防止反复出错和一错再错。

【参考文献】

[1]傅种孙.平面几何教本[M].北京：北京师范大学出版社，1982.

[2]任荣.从课堂细节处看教师真功夫——初中数学优秀课例的细节观察与思考[J].初中生世界，2019（40）.

[3]冯卫东.透过一个点，推开一扇窗——谈谈课堂微观观察的“焦点”选取[J].教育研究与评论（课堂观察），2019（4）.